क्या कोई उदाहरण है जहां केंद्रीय सीमा प्रमेय नहीं है?

32

विकिपीडिया कहता है -

प्रायिकता सिद्धांत में, केंद्रीय सीमा प्रमेय (सीएलटी) स्थापित करता है, ज्यादातर स्थितियों में , जब स्वतंत्र यादृच्छिक चर जोड़े जाते हैं, तो उनकी ठीक से सामान्यीकृत राशि एक सामान्य वितरण (अनौपचारिक रूप से एक "घंटी वक्र") की ओर झुकती है, भले ही मूल चर खुद न हों। सामान्य रुप से वितरित...

जब यह कहता है कि "अधिकांश स्थितियों में", किन स्थितियों में केंद्रीय सीमा प्रमेय काम नहीं करता है?

— रयान मैककौली
स्रोत

33

इसे समझने के लिए, आपको पहले केंद्रीय सीमा प्रमेय के एक संस्करण को बताने की आवश्यकता है। यहां केंद्रीय सीमा प्रमेय का "विशिष्ट" कथन दिया गया है:

लिंडबर्ग-लेवी सीएलटी। मान लें कि और साथ iid यादृच्छिक चर का अनुक्रम है । आज्ञा दें । फिर रूप में अनन्तता के पास, यादृच्छिक चर एक सामान्य वितरण में अभिसरण करते हैं अर्थात ${X_1, X_2, \dots}$ $E[X_i] = \mu$ $Var[X_i] = \sigma^2 < \infty$ $S_{n}:={\frac {X_{1}+\cdots +X_{n}}{n}}$ $n$ $\sqrt{n}(S_n − \mu)$ $N(0,\sigma^2)$

$\sqrt{n} ((\frac{1}{n} Σ_{मैं = 1}^{n} {एक्स}_{मैं}) - μ) \overset{घ}{\to} एन (0, σ^{2}) ।$ ${\displaystyle {\sqrt {n}}\left(\left({\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}X_{i}\right)-\mu \right)\ {\xrightarrow {d}}\ N\left(0,\sigma ^{2}\right).}$

तो, यह अनौपचारिक विवरण से कैसे भिन्न होता है, और अंतराल क्या हैं? आपके अनौपचारिक विवरण और इस विवरण के बीच कई अंतर हैं, जिनमें से कुछ पर अन्य उत्तरों में चर्चा की गई है, लेकिन पूरी तरह से नहीं। इसलिए, हम इसे तीन विशिष्ट प्रश्नों में बदल सकते हैं:

यदि चर पहचान योग्य रूप से वितरित नहीं हैं तो क्या होगा?
क्या होगा अगर चर में अनंत विचरण हो, या अनंत का मतलब हो?
स्वतंत्रता कितनी महत्वपूर्ण है?

एक समय में ये लेना,

समान रूप से वितरित नहीं किया गया , सबसे अच्छा सामान्य परिणाम केंद्रीय सीमा प्रमेय के लिंडबर्ग और लायपोनोव संस्करण हैं। मूल रूप से, जब तक मानक विचलन बहुत बेतहाशा नहीं बढ़ता, तब तक आप इससे बाहर एक सभ्य केंद्रीय सीमा प्रमेय प्राप्त कर सकते हैं।

लायपुनोव CLT। [5] मान लें कि स्वतंत्र यादृच्छिक चर का एक क्रम है, प्रत्येक परिमित अपेक्षित मान और भिन्नता परिभाषित करें: ${X_1, X_2, \dots}$ $\mu_i$ $\sigma^2$ $s_{n}^{2}=\sum _{i=1}^{n}\sigma _{i}^{2}$

यदि कुछ , लायपुनोव की स्थिति संतुष्ट है, तो का योग मानक सामान्य यादृच्छिक चर में वितरण में होता है, क्योंकि n अनंत तक जाता है: $\delta > 0$ $\lim _{n\to \infty }{\frac {1}{s_{n}^{2+\delta }}}\sum_{i=1}^{n}\operatorname {E} \left[|X_{i}-\mu _{i}|^{2+\delta }\right]=0$ $X_i − \mu_i / s_n$

${{\frac {1}{s_{n}}}\sum _{i=1}^{n}\left(X_{i}-\mu_{i}\right)\ {\xrightarrow {d}}\ N(0,1).}$

अनंत विचरण प्रमेयों केंद्रीय सीमा प्रमेय अनंत विचरण के साथ चर के लिए अस्तित्व के लिए समान है, लेकिन स्थिति काफी सामान्य केंद्रीय सीमा प्रमेय के लिए की तुलना में अधिक संकीर्ण हैं। अनिवार्य रूप से संभावना वितरण की पूंछ को asymptotic होना चाहिए के लिए । इस मामले में, उपयुक्त स्केल किए गए सारांश एक लेवी-अल्फा स्थिर वितरण में परिवर्तित होते हैं । $|x|^{-\alpha-1}$ $0 < \alpha < 2$

आजादी के महत्व के गैर स्वतंत्र दृश्यों के लिए कई अलग अलग केंद्रीय सीमा प्रमेयों हैं । वे सभी अत्यधिक प्रासंगिक हैं। जैसा कि बैटमैन बताते हैं, मार्टिंगलेस के लिए एक है। यह सवाल अनुसंधान का एक निरंतर क्षेत्र है, जिसमें ब्याज के विशिष्ट संदर्भ के आधार पर कई, कई अलग-अलग विविधताएं हैं। Math Exchange पर यह प्रश्न इस प्रश्न से संबंधित एक और पोस्ट है। $X_i$

— जॉन
स्रोत

2

मैंने एक आवेग ">" को एक सूत्र से हटा दिया है जो मुझे लगता है कि उद्धृत प्रणाली के कारण क्रेप हो गया है - अगर यह जानबूझकर था तो अपने संपादन को उल्टा करने के लिए स्वतंत्र महसूस करें!

— सिल्वरफिश

एक त्रिकोणीय सरणी CLT संभवतः एक से अधिक प्रतिनिधि CLT है जो एक कहा गया है। स्वतंत्र नहीं के रूप में, मार्टिंगेल सीएलटी आमतौर पर उपयोग किए जाने वाले मामले हैं।

— बैटमैन

@ बैटमैन, त्रिकोणीय सरणी CLT का उदाहरण क्या है? इसे जोड़ने के लिए, मेरी प्रतिक्रिया को संपादित करने के लिए स्वतंत्र महसूस करें। मैं उस एक से परिचित नहीं हूँ।

— जॉन

सेकेंड जैसा कुछ। 4.2.3 में personal.psu.edu/drh20/asymp/lectures/p93to100.pdf

— बैटमैन

1

"जब तक मानक विचलन बहुत बेतहाशा नहीं बढ़ता" या हटना (जैसे:

σ_{i}^{2} = σ_{i - 1}^{2} / 2

$\sigma_i^2 = \sigma_{i-1}^2/2$

— 2/2

21

हालाँकि मुझे पूरा यकीन है कि इसका उत्तर पहले दिया जा चुका है, यहाँ एक और है:

केंद्रीय सीमा प्रमेय के कई संस्करण हैं, सबसे सामान्य है कि मनमानी संभावना घनत्व कार्यों को देखते हुए, चर का योग औसत मान के योग के बराबर औसत मूल्य के साथ सामान्य रूप से वितरित किया जाएगा, साथ ही साथ विचरण योग भी है। अलग-अलग संस्करण में।

एक बहुत ही महत्वपूर्ण और प्रासंगिक बाधा यह है कि दिए गए pdfs का माध्य और विचलन मौजूद होना चाहिए और परिमित होना चाहिए।

तो, बिना मतलब मान या भिन्नता के कोई भी पीडीएफ लें - और केंद्रीय सीमा प्रमेय अब आयोजित नहीं होगा। इसलिए उदाहरण के लिए एक लोरेंत्ज़ियन वितरण लें।

— चेस्र्ब
स्रोत

+1 या एक अनंत विचरण के साथ एक वितरण लेते हैं, जैसे एक यादृच्छिक चलना का वितरण।

— एलेक्सिस

2

@ एलेक्सिस - यह मानते हुए कि आप समय में एक परिमित बिंदु पर एक यादृच्छिक चलना देख रहे हैं, मैंने सोचा होगा कि यह एक परिमित विचरण होगा, परिमित विचरण के साथ प्रत्येक कदमों का योग है

n

$n$

— हेनरी

1

@ हेनरी: नहींं, मैं समय में एक बिंदु नहीं मान रहा हूं, लेकिन अनंत लंबाई के सभी संभव यादृच्छिक चलता है।

— एलेक्सिस

1

@Alexis यदि यादृच्छिक चलना का प्रत्येक चरण समान संभावना के साथ या है, और पद तो केंद्रीय सीमा प्रमेय का तात्पर्य ठीक से है कि आपके पास वितरण है वितरण में परिवर्तित करके

X_{i}

$X_i$

+ 1

$+1$

- 1

$-1$

Y_{n} = \sum_{1}^{n} X_{i}

$Y_n =\sum_1^n X_i$

n \to \infty

$n \to \infty$

\sqrt{n} (\frac{1}{n} Y_{n}) = \frac{Y_{n}}{\sqrt{n}}

$\sqrt{n}\left(\frac1n Y_n\right) = \frac{Y_n}{\sqrt{n}}$

N (0, 1)

$\mathcal N(0,1)$

— हेनरी

1

@ एलेक्सिस सीएलटी के लिए कोई फर्क नहीं पड़ता, क्योंकि प्रत्येक व्यक्तिगत वितरण में अभी भी एक परिमित विचरण है।

— घन

15

नहीं, CLT हमेशा धारण करता है जब उसकी धारणाएं धारण करती हैं। योग्यता जैसे "ज्यादातर स्थितियों में" उन शर्तों के अनौपचारिक संदर्भ हैं जिनके तहत सीएलटी को लागू किया जाना चाहिए।

उदाहरण के लिए, कॉची वितरण से स्वतंत्र चर का एक रैखिक संयोजन सामान्य वितरित चर तक नहीं बढ़ेगा । कारणों में से एक यह है कि विचरण कोची वितरण के लिए अपरिभाषित है , जबकि सीएलटी विचरण पर कुछ शर्तें रखता है, जैसे कि इसे परिमित करना होगा। एक दिलचस्प निहितार्थ यह है कि चूंकि मोंटे कार्लो सिमुलेशन सीएलटी से प्रेरित है, इसलिए आपको कॉची जैसे वसा युक्त वितरण से निपटने के दौरान मोंटे कार्लो सिमुलेशन के साथ सावधान रहना होगा।

ध्यान दें, कि CLT का एक सामान्यीकृत संस्करण है। यह अनन्त या अपरिभाषित रूपांतरों के लिए काम करता है, जैसे कि कॉची वितरण। कई अच्छी तरह से व्यवहार वितरण के विपरीत, कैची संख्या का सामान्यीकृत योग कॉची है। यह गाऊसी के लिए अभिसरण नहीं करता है।

वैसे, केवल गाऊसी ही नहीं बल्कि कई अन्य वितरणों में घंटी के आकार के पीडीएफ होते हैं, जैसे छात्र टी। इसलिए आपके द्वारा उद्धृत किया गया विवरण काफी उदार और अभेद्य है, शायद उद्देश्य पर।

— Aksakal
स्रोत

7

यहाँ चेरब के उत्तर का एक चित्रण है, 1e5 का हिस्टोग्राम स्केल्ड ( ) नमूना से दो डिग्री की स्वतंत्रता के साथ टी-वितरण का साधन है, जैसे कि विचरण मौजूद नहीं है । $\sqrt{n}$

यदि CLT लागू किया था, के लिए हिस्टोग्राम के रूप में बड़े रूप में एक मानक सामान्य वितरण के घनत्व के समान होना चाहिए (जो, उदाहरण के लिए, घनत्व है अपने चरम पर), यह स्पष्ट रूप से नहीं करता है। $n$ $n=1000$ $1/\sqrt{2\pi}\approx0.4$

library(MASS)
n <- 1000
samples.from.t <- replicate(1e5, sqrt(n)*mean(rt(n, df = 2)))
truehist(samples.from.t, xlim = c(-10,10), col="salmon")

— क्रिस्टोफ़ हांक
स्रोत

3

आपको यहां थोड़ा सावधान रहना होगा जैसे कि अगर आपने distribution के साथ ऐसा कहा, तो स्वतंत्रता की डिग्री कहें तो सेंट्रल लिमिट प्रमेय लागू होगा लेकिन आपके ग्राफ में आसपास पीक डेंसिटी नहीं होगी, बल्कि इसके बजाय क्योंकि मूल विचरण नहीं होगा

t

$t$

3

$3$

0.4

$0.4$

\frac{1}{\sqrt{6 π}} \approx 0.23

$\frac1{\sqrt{6\pi}}\approx 0.23$

1

$1$

— हेनरी

यह एक अच्छा बिंदु है, sd(x)जो कुछ प्राप्त करने के लिए माध्य का मानकीकरण कर सकता है , यदि CLT काम करता है, Slutzky के प्रमेय द्वारा एक N (0,1) चर में परिवर्तित करता है। मैं उदाहरण को सरल रखना चाहता था, लेकिन आप बिल्कुल सही हैं।

— क्रिस्टोफ़ हैनक

6

एक साधारण मामला जहां सीएलटी बहुत व्यावहारिक कारणों से पकड़ नहीं सकता है, जब यादृच्छिक चर का क्रम एक तरफ से इसकी संभावना सीमा को सख्ती से देखता है । यह उदाहरणों में उदाहरण के लिए सामने आया है जो अनुमान लगाता है कि एक सीमा पर कुछ है।

मानक उदाहरण यहाँ शायद आईआईडी वर्दी एक नमूने में का अनुमान है । अधिकतम संभावना अनुमानक अधिकतम क्रम सांख्यिकीय होगा, और यह केवल नीचे से आवश्यक रूप से तक पहुंचेगा: भोली सोच, चूंकि इसकी संभावना सीमा होगी , इसलिए अनुमानक का वितरण " " आसपास नहीं हो सकता है - और CLT है गया हुआ। $\theta$ $U(0,\theta)$ $\theta$ $\theta$ $\theta$

ठीक से स्केल किए गए अनुमानक के पास एक सीमित वितरण है - लेकिन "सीएलटी किस्म" का नहीं।

— एलेकोस पापाडोपोलोस
स्रोत

3

आप यहाँ एक त्वरित समाधान पा सकते हैं ।

केंद्रीय-सीमा प्रमेय के अपवाद उत्पन्न होते हैं

जब एक ही ऊंचाई के कई मैक्सिमा होते हैं, और
जहां दूसरा व्युत्पन्न अधिकतम पर गायब हो जाता है।

कुछ अन्य अपवाद हैं जो @cherub के उत्तर में उल्लिखित हैं।

वही प्रश्न पहले से ही math.stackexchange पर पूछा जा चुका है । आप वहां उत्तरों की जांच कर सकते हैं।

— Ferdi
स्रोत

5

"मैक्सिमा" से, क्या आपके पास मोड्स हैं? Bimodal होने का CLT को पूरा करने में विफल रहने से कोई लेना-देना नहीं है।

— Acccumulation

M (z) = \sum_{n = - \infty}^{\infty} P (X = n) z^{n}

$M(z)=\sum_{n=-\infty}^\infty P(X=n)z^n$

@AlexR। उत्तर लिंक के माध्यम से पढ़ने के बिना बिल्कुल भी समझ में नहीं आता है, और लिंक के साथ भी स्पष्ट नहीं है। मैं केवल एक लिंक-उत्तर से भी बदतर होने के कारण नीचे की ओर झुक रहा हूं।

— संचय