दो चर के योग के सूत्र के पीछे अंतर्ज्ञान

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मुझे पिछले अध्ययनों से पता है कि

$Var(A+B) = Var(A) + Var(B) + 2 Cov (A,B)$

हालाँकि, मुझे समझ नहीं आया कि ऐसा क्यों है। मैं देख सकता हूं कि ए और बी कोवरी अत्यधिक होने पर इसका प्रभाव विचरण को बढ़ाने के लिए होगा। यह समझ में आता है कि जब आप दो अत्यधिक सहसंबद्ध चर से एक समग्र बनाते हैं तो आप B से उच्च टिप्पणियों के साथ A से उच्च टिप्पणियों को जोड़ते होंगे, और B से निम्न टिप्पणियों के साथ A से निम्न अवलोकन करते हैं। समग्र चर में अत्यधिक उच्च और निम्न मान बनाएं, जिससे समग्र का विचरण बढ़ेगा।

लेकिन यह कोवरियन को ठीक 2 से गुणा करने का काम क्यों करता है ?

variance covariance intuition

— user1205901 - मोनिका को बहाल करें
स्रोत

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यदि और पूरी तरह से सहसंबद्ध हैं तो और यदि वे पूरी तरह से नकारात्मक रूप से सहसंबद्ध हैं तो

A

$A$

B

$B$

V a r (A + B) = V a r (A) + V a r (B) + 2 \sqrt{V a r (A) V a r (B)}

$Var(A+B)= Var(A) + Var(B)+ 2\sqrt{ Var(A) Var(B)}$

V a r (A + B) = V a r (A) + V a r (B) - 2 \sqrt{V a r (A) V a r (B)}

$Var(A+B)= Var(A) + Var(B)- 2\sqrt{ Var(A) Var(B)}$ । सहसंयोजक मापता है कि इस संबंध में उनका संबंध कितना

— हेनरी

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सरल उत्तर:

प्रसरण में एक वर्ग शामिल होता है:

V a r (X) = E [(X - E [X])^{2}]

$Var(X) = E[(X - E[X])^2]$

इसलिए, आपका प्रश्न वर्ग पहचान में कारक 2 के लिए नीचे आता है:

(a + b)^{2} = a^{2} + b^{2} + 2 a b

$(a+b)^2 = a^2 + b^2 + 2ab$

जिसे पार्श्व के एक वर्ग के क्षेत्रफल के अपघटन के रूप में समझा जा सकता है , और के पक्षों के छोटे वर्गों के क्षेत्र में पक्षों के दो आयतों के अलावा और : $(a+b)$ $a$ $b$ $a$ $b$

अधिक शामिल जवाब:

यदि आप गणितीय रूप से अधिक सम्मिलित उत्तर चाहते हैं, तो सहसंयोजक एक बिलिनियर रूप है, जिसका अर्थ है कि यह अपने पहले और दूसरे दोनों तर्कों में रैखिक है, इससे यह होता है:

\begin{aligned} V a r (A + B) & = C o v (A + B, A + B) \\ = C o v (A, A + B) + C o v (B, A + B) \\ = C o v (A, A) + C o v (A, B) + C o v (B, A) + C o v (B, B) \\ = V a r (A) + 2 C o v (A, B) + V a r (B) \end{aligned}

$\begin{aligned} Var(A+B) &= Cov(A+B, A+B) \\ &= Cov(A, A+B) + Cov(B, A+B) \\ &= Cov(A,A) + Cov(A,B) + Cov(B,A) + Cov(B,B) \\ &= Var(A) + 2 Cov(A,B) + Var(B) \end{aligned}$

अंतिम पंक्ति में, मैंने इस तथ्य का उपयोग किया कि सहसंयोजक सममित है:

C o v (A, B) = C o v (B, A)

$Cov(A,B) = Cov(B,A)$

सारांश में:

यह दो है क्योंकि आपको और दोनों का हिसाब देना होगा । $cov(A,B)$ $cov(B,A)$

— byouness
स्रोत

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यादृच्छिक चर का सेट एक वेक्टर स्थान है, और यूक्लिडियन स्थान के कई गुणों को उनके अनुरूप बनाया जा सकता है। मानक विचलन लंबाई की तरह काम करता है, और लंबाई वर्ग की तरह विचरण करता है। स्वतंत्रता ऑर्थोगोनल होने से मेल खाती है, जबकि पूर्ण सहसंबंध स्केलर गुणा से मेल खाती है। इस प्रकार, स्वतंत्र चर का विचलन पायथागॉरियन प्रमेय का अनुसरण करता है:
। $var(A+B) = var(A)+var(B)$

यदि वे पूरी तरह से सहसंबद्ध हैं, तो
$std(A+B) = std(A)+std(B)$

ध्यान दें कि यह के बराबर है
$var(A+B) = var(A)+var(B)+2\sqrt{var(A)var(B)}$

यदि वे स्वतंत्र नहीं हैं, तो वे कोसाइन के नियम के अनुरूप एक कानून का पालन करते हैं:
$var(A+B) = var(A)+var(B)+2cov(A,B)$

ध्यान दें कि सामान्य मामला पूर्ण स्वतंत्रता और पूर्ण सहसंबंध के बीच एक है। यदि और स्वतंत्र हैं, तो शून्य है। तो सामान्य स्थिति यह है कि हमेशा एक है अवधि और एक अवधि, और फिर उस पर कुछ बदलाव है $A$ $B$ $cov(A,B)$ $var(A,B)$ $var(A)$ $var(B)$ पद; चर अधिक सहसंबद्ध हैं, यह तीसरा कार्यकाल जितना बड़ा होगा। और यह ठीक क्या हैहै: यह है $2\sqrt{var(A)var(B)}$ $2cov(A,B)$ बारकाऔर। $2\sqrt{var(A)var(B)}$ $r^2$ $A$ $B$

$var(A+B) = var(A)+var(B)+MeasureOfCorrelation*PerfectCorrelationTerm$

जहां और $MeasureOfCorrelation = r^2$ $PerfectCorrelationTerm=2\sqrt{var(A)var(B)}$

अन्य शब्दों में कहें, अगर , तो $r = correl(A,B)$

$\sigma_{A+B} = \sigma_A^2+\sigma_B^2+ 2(r\sigma_A)(r\sigma_B)$

इस प्रकार, कॉसन्स के कानून में अनुरूप है । $r^2$ $cos$

— Acccumulation
स्रोत

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$Var(A+B)$ $Var$ $Cov$

$A+B$

$A$
$B$
$A$ $B$
$B$ $A$

V a r (A + B) = V a r (A) + V a r (B) + C o v (A, B) + C o v (B, A)

$Var(A+B)=Var(A)+Var(B)+Cov(A,B)+Cov(B,A)$

= V a r (A) + V a r (B) + 2 C o v (A, B)

$=Var(A)+Var(B)+2Cov(A,B)$

C o v

$Cov$

— Bananin
स्रोत