बहुपद वितरण का सामान्य सन्निकटन क्या है?

Question

यदि कई संभावित सन्निकटन हैं, तो मैं सबसे बुनियादी तलाश कर रहा हूं।

Answer 1

आप इसे बहुभिन्नरूपी सामान्य वितरण के साथ उसी तरह से अनुमानित कर सकते हैं जैसे कि द्विपद वितरण को अविभाजित सामान्य वितरण द्वारा अनुमानित किया जाता है। वितरण सिद्धांत और बहुपद वितरण पृष्ठ 15-16-17 के तत्वों की जाँच करें ।

Let अपने संभावनाओं के वेक्टर हो। तब बहुभिन्नरूपी सामान्य वितरण का माध्य वेक्टर । सहसंयोजक मैट्रिक्स एक सममित मैट्रिक्स है। विकर्ण तत्व वास्तव में के ; यानी , । Ith पंक्ति और jth कॉलम में ऑफ-विकर्ण तत्व , जहां बराबर नहीं ।एन पी = ( एन पी 1 , एन पी 2 , । । । , एन पी कश्मीर ) कश्मीर × कश्मीर एक्स मैं एन पी मैं ( 1 - पी मैं ) मैं = 1 , 2 ... , के कोव ( एक्स आई , एक्स $P=(p_1,...,p_k)$$np=(np_1,np_2,...,np_k)$$k \times k$$X_i$$np_i(1-p_i)$$i=1,2...,k$ i $\text{Cov}(X_i,X_j)=-np_ip_j$$i$$j$

Comments

2 रेफरेंस देखें।

— स्टेट

स्टेट, ताकि यह उत्तर खुद से खड़ा हो सके (और सड़ांध के लिए प्रतिरोधी हो), क्या आप समाधान का सारांश देंगे?

— व्हिबर

क्या इसके लिए एक निरंतरता सुधार की आवश्यकता है? आप इसे कैसे लागू करेंगे?

— जैक एदले

सहसंयोजक मैट्रिक्स सकारात्मक निश्चित नहीं है, बल्कि सकारात्मक अर्ध-निश्चित है, और पूर्ण-रैंक नहीं है। यह परिणामस्वरूप बहुराष्ट्रीय वितरण को अपरिभाषित बनाता है। यह वह समस्या है जिसका मैंने सामना किया। किसी भी विचार यह कैसे संभालना है?

— मोहम्मद अलागन

@ M.Alaggan: यहां परिभाषित माध्य / सहसंयोजक matrices में एक मामूली समस्या है: चरों के साथ एक बहुराष्ट्रीय वितरण के लिए , समान बहुभिन्नरूपी सामान्य में चर हैं । यह सरल द्विपद उदाहरण में स्पष्ट है, जो (सामान्य) सामान्य वितरण द्वारा अनुमानित है। आगे की चर्चा के लिए, वितरण सिद्धांत के तत्वों का उदाहरण 12.7 देखें । k - $k$$k-1$

— एमएस डौस्ती

Answer 2

इस उत्तर में दिया गया घनत्व पतित है, और इसलिए मैंने सामान्य सन्निकटन के परिणाम के घनत्व की गणना करने के लिए निम्नलिखित का उपयोग किया है:

एक प्रमेय है जो कहता है कि एक यादृच्छिक चर , के लिए -dimensional वेक्टर के लिए और , कि;$X = [X_1, \ldots, X_m]^T \sim \text{Multinom}(n, p)$$m$$p$$\sum_i p_i = 1$$\sum_i X_i = n$

$$X \xrightarrow{d} \sqrt{n} \, \text{diag}(u) \, Q \begin{bmatrix} Z_1 \\ \vdots \\ Z_{m-1} \\ 0 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} n p_1 \\ \vdots \\ n p_m \end{bmatrix},$$

बड़े , दिया गया;$n$

• साथ एक वेक्टर ;$u$$u_i = \sqrt{p_i}$
• यादृच्छिक परिवर्तनीय के लिए , और;$Z_i \sim N(0,1)$$i = 1, \ldots, m-1$
• अंतिम कॉलम साथ एक ऑर्थोगोनल मैट्रिक्स ।$Q$$u$

यह कहना है, कुछ पुनर्व्यवस्था के साथ, हम के पहले घटकों के लिए एक आयामी बहुभिन्नरूपी सामान्य वितरण का काम कर सकते हैं (जो कि केवल दिलचस्प घटक हैं क्योंकि दूसरों का योग है)।$m-1$$m-1$$X$$X_m$

मैट्रिक्स का एक उपयुक्त मूल्य है के साथ - यानी एक विशेष हाउसहोल्डर परिवर्तन।$Q$$I - 2 v v^T$$v_i = (\delta_{im} - u_i) / \sqrt{2(1 - u_m)}$

यदि हम बाईं ओर के हाथ को पहली पंक्तियों तक सीमित करते हैं, और को उसकी पहली पंक्तियों और कॉलम तक सीमित करते हैं ( क्रमशः इन और निरूपित करते हैं):$m-1$$Q$$m-1$$m-1$$\hat{X}$$\hat{Q}$

$$\hat{X} \xrightarrow{d} \sqrt{n} \text{diag}(\hat{u}) \hat{Q} \begin{bmatrix} Z_1 \\ \vdots \\ Z_{m-1} \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} n p_1 \\ \vdots \\ n p_{m-1} \end{bmatrix} \sim \mathcal{N} \left( \mu, n \Sigma \right),$$

बड़े , जहां;$n$

• $\hat{u}$ पहले को दर्शाता के मामले ;$m-1$$u$
• माध्य है , और;$\mu = [ n p_1, \ldots, n p_{m-1}]^T$
• covariance मैट्रिक्स साथ ।$n \Sigma = n A A^T$$A = \text{diag}( \hat{u} ) \hat{Q}$

उस अंतिम समीकरण का दाहिना हाथ गणना में उपयोग किया जाने वाला गैर-पतित घनत्व है।

जैसा कि अपेक्षित था, जब आप सब कुछ प्लग इन करते हैं, तो आपको निम्नलिखित सहसंयोजक मैट्रिक्स मिलता है:

$$(n\Sigma)_{ij} = n \sqrt{p_i p_j} (\delta_{ij} - \sqrt{p_i p_j})$$

के लिए , जो वास्तव में इसके पहले तक ही सीमित मूल जवाब में सहप्रसरण मैट्रिक्स पंक्तियों और कॉलम।$i,j = 1, \ldots, m-1$m - 1 m - 1$m-1$$m-1$

यह ब्लॉग प्रविष्टि मेरा प्रारंभिक बिंदु था।

Comments

एक अन्य उपयोगी संसाधन इसमें दिए गए लिंक हैं: आंकड़े.stackexchange.com/questions/2397/…

— stephematician

अच्छा उत्तर (+1) --- ध्यान दें कि आप सिंटैक्स के साथ लिंक एम्बेड कर सकते हैं [textual description](hyperlink)। मैंने आपके लिंक को एम्बेड करने के लिए इस उत्तर को संपादित करने की स्वतंत्रता ले ली है।

— बेन - मोनिका