क्या फ़ंक्शन परिवर्तन के तहत संभाव्यताएं संरक्षित हैं?

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मुझे लगता है कि इस थोड़े बुनियादी है, लेकिन कहते हैं कि मैं एक यादृच्छिक चर है $X$ , संभावना है $P(X \leq a)$ एक ही रूप में $P(f(X) \leq f(a))$ किसी भी वास्तविक मूल्य निरंतर कार्य के लिए $f$ ?

probability distributions

— लिंक एल
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इसके अलावा: आम तौर पर,

σ_{f (x)}^{2} \neq f (σ_{x}^{2})

$\sigma^{2}_{f(x)} \ne f\left(\sigma^{2}_{x}\right)$ ।

— एलेक्सिस

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यह केवल तभी होता है जब $f$ मोनोटोनॉली बढ़ता है। अगर $f$ होगा- कम हो रही है, तो $P(f(X)\leq f(a)) = P(X \geq a)$ । उदाहरण के लिए, यदि $f(x) = -x$ , और एक्स एक सामान्य मरने रोल है, तो $P(X \leq 5) = \frac56$ लेकिन । अगरबढ़ने और घटने के बीच स्विच करता है, तो यह और भी जटिल है। $P(-X \leq -5) = \frac16$ $f$

नोट वहाँ भी की तुच्छ मामला है , जिसमें, 1 के बराबर है, तो और 0 अन्यथा। $f(x) \equiv 0$ $P(f(X) \leq a)$ $a \geq 0$

— Acccumulation
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+1 यह सच होने पर मुझे इंजेक्शन केस जोड़ना चाहिए था।

— स्टीफन लॉरेंट

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$X$ $[-1,1]$ $a=0$ $\Pr(X < a ) = 1/2$ $\Pr(X^2<a^2) = 0$

— स्टीफन लॉरेंट
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यह पूछने से संबंधित है:

है हर के लिए ? $X \leq a$ $f(X) \leq f(a)$

का उल्लंघन करने के कई तरीके हो सकते हैं जबकि । लेकिन, सभी मामलों में, एक गैर-नीरस फ़ंक्शन के लिए आवश्यकता होती है। $f(X) \leq f(a)$ $X \leq a$ $f$

— सेक्सटस एम्पिरिकस
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