ट्रेस फ़ंक्शन का अपेक्षित मान और प्रसरण

Question

यादृच्छिक चर के लिए , और एक सकारात्मक अर्द्ध निश्चित मैट्रिक्स एक : वहाँ की उम्मीद मूल्य के लिए एक सरल अभिव्यक्ति है, ई [ टी आर ( एक्स टी ए एक्स ) ] और विचरण, वी एक आर [ टी आर ( एक्स टी एक एक्स ) ] ? कृपया ध्यान दें कि A एक यादृच्छिक चर नहीं है।$X \in \mathbb{R}^h$$A$$\mathop {\mathbb E}[Tr(X^TAX)]$$Var[Tr(X^TAX)]$$A$

Answer 1

चूँकि $X^TAX$ एक अदिश राशि है,

$$\text{Tr}(X^TAX)= X^TAX = \text{Tr}(AXX^T)$$ ताकि $$\text{E}(X^TAX) = \text{E}(\text{Tr}(AXX^T)) = \text{Tr}(\text{E} (A XX^T)) = \text{Tr}(A\text{E}(XX^T))$$ ।

यहाँ हमने प्रयोग किया है कि किसी उत्पाद के ट्रेस कारकों के चक्रीय क्रमपरिवर्तन के तहत अपरिवर्तनीय हैं, और यह कि ट्रेस एक रेखीय ऑपरेटर है, इसलिए अपेक्षा के अनुरूप है। विचरण बहुत अधिक संगणित संगति है, जिसमें $X$ कुछ उच्च क्षणों की भी आवश्यकता होती है । उस गणना को सेबर में पाया जा सकता है: "रैखिक प्रतिगमन विश्लेषण" (विले)

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$Tr(X^T AX) = X^T AX$

$X^TAX$