डे फिनेट्टी के प्रतिनिधित्व प्रमेय के बारे में क्या अच्छा है?

से सांख्यिकी के सिद्धांत मार्क जे Schervish (पेज 12) द्वारा:

यद्यपि डेफिनेटी का प्रतिनिधित्व प्रमेय 1.49 पैरामीट्रिक मॉडल को प्रेरित करने के लिए केंद्रीय है, यह वास्तव में उनके कार्यान्वयन में उपयोग नहीं किया जाता है।

पैरामीट्रिक मॉडल के लिए प्रमेय केंद्रीय कैसे है?

— gui11aume
स्रोत

मुझे लगता है कि यह बायेसियन मॉडल के लिए केंद्रीय है। मैं सिर्फ़ सिंगलटन के साथ इस पर चर्चा कर रहा था। यह महत्त्वपूर्ण है कि बायेसियन आँकड़ों को अनदेखा कर दिया जाता है सिवाय उन बेईशियनों के जो डेफिनेटी के अनुयायी थे। 1980 से डियाकोनिस और फ्रीडमैन

— माइकल चेर्निक

@कार्डिनल: पेज 12 (मैंने सवाल अपडेट किया)।

— गिउ ११

ध्यान दें कि स्कर्विश ने कहा "... पैरामीट्रिक मॉडल को

करने के लिए केंद्रीय

motivating

$\textbf{motivating}$ ..."।

— ज़ेन

मैंने अक्सर सोचा है कि प्रतिनिधित्व कितना "वास्तविक" है और कितना प्रमेय की विशेष व्याख्याओं पर आधारित है। यह केवल एक मॉडल का वर्णन करने के लिए पूर्व वितरण का वर्णन करने के लिए आसानी से उपयोग किया जा सकता है।

— प्रायवेसीलोगिक

जवाबों:

डी फिनेटी के प्रतिनिधि प्रमेय एक एकल में ले जाता है, संभाव्यता की विषयगत व्याख्या के भीतर, सांख्यिकीय मॉडल के raison d'être और मापदंडों का अर्थ और उनके पूर्व वितरण।

मान लीजिए कि यादृच्छिक चर क्रमशः एक सिक्के के क्रमिक परिणामों के परिणामों का प्रतिनिधित्व करते हैं, मूल्यों और साथ क्रमशः "हेड्स" और "टेल्स" के परिणाम हैं। विश्लेषण हो रहा है, संभावना पथरी का एक subjectivistic व्याख्या, हमेशा की तरह frequentist मॉडल है जिसके तहत के अर्थ के संदर्भ में 's स्वतंत्र और समान रूप से वितरित कर रहे हैं, डी Finetti ने कहा कि आजादी की हालत अर्थ होगा, उदाहरण के लिए, कि $X_1,\dots,X_n$ $1$ $0$ $X_i$ और, इसलिए, पहले टॉस के परिणाम -th टॉसके परिणाम के बारे में मेरी अनिश्चितता को नहीं बदलेंगे। उदाहरण के लिए, अगर मैं मानता हूंकि यह एक संतुलित सिक्का है, तो, यह जानकारी प्राप्त करने के बाद कि पहले टोकन "प्रमुख" बन गए थे, मैं अभी भी विश्वास करूंगा, सशर्त रूप से उस जानकारी पर, कि प्राप्त करने की संभावना " टॉस 1000 पर प्रमुखों "के बराबर है । प्रभावी ढंग से, की स्वतंत्रता की परिकल्पना 's अर्थ होगा कि वह अपने उछालों के परिणामों को देख कर सिक्का बारे में कुछ भी जानने के लिए असंभव है।

P {X_{n} = x_{n} ∣ X_{1} = x_{1}, \dots, X_{n - 1} = x_{n - 1}} = P {X_{n} = x_{n}},

$P\{X_n=x_n\mid X_1=x_1,\dots,X_{n-1}=x_{n-1}\} = P\{X_n=x_n\} \, ,$

n - 1

$n-1$

n

$n$

a priori

$\textit{a priori}$

999

$999$

1 / 2

$1/2$

X_{i}

$X_i$

इस अवलोकन ने डी फिनेटी को स्वतंत्रता से कमजोर स्थिति की शुरूआत के लिए प्रेरित किया जो इस स्पष्ट विरोधाभास को हल करता है। डी फिनेटी के समाधान की कुंजी एक प्रकार की वितरण सममिति है जिसे विनिमेयता के रूप में जाना जाता है।

किसी दिए गए परिमित सेट के लिए यादृच्छिक वस्तुओं का, उनके संयुक्त वितरण को निरूपित करते हैं। इस परिमित सेट विनिमय है अगर , हर क्रमचय के लिए $\textbf{Definition.}$ $\{X_i\}_{i=1}^n$ $\mu_{X_1,\dots,X_n}$ $\mu_{X_1,\dots,X_n} = \mu_{X_{\pi(1)},\dots,X_{\pi(n)}}$ । एक क्रम यादृच्छिक वस्तुओं में से एक विनिमेय है अगर इसके प्रत्येक उपसमुच्चय विनिमेय हैं। $\pi:\{1,\dots,n\}\to\{1,\dots,n\}$ $\{X_i\}_{i=1}^\infty$

मान ही नहीं यादृच्छिक चर के अनुक्रम विनिमय है, डी Finetti एक उल्लेखनीय प्रमेय जो आमतौर पर इस्तेमाल किया सांख्यिकीय मॉडल के अर्थ पर प्रकाश डालता है साबित कर दिया। विशेष मामले में जब 's मान लेने के और , डी Finetti के प्रतिनिधित्व प्रमेय का कहना है कि विनिमय तभी अगर वहाँ एक यादृच्छिक चर है , वितरण के साथ $\{X_i\}_{i=1}^\infty$ $X_i$ $0$ $1$ $\{X_i\}_{i=1}^\infty$ $\Theta:\Omega\to[0,1]$ , ऐसी है कि $\mu_\Theta$ जिसमें । इसके अलावा, हमारे पास

पी {{एक्स}_{1} = {एक्स}_{1}, ..., {एक्स}_{n} = {एक्स}_{n}} = \int_{[0, 1]} θ^{रों} (1 - θ)^{n - रों} घ μ_{Θ} (θ),

$P\{X_1=x_1,\dots,X_n=x_n\} = \int_{[0,1]} \theta^s(1-\theta)^{n-s}\,d\mu_\Theta(\theta) \, ,$

s = \sum_{i = 1}^{n} x_{i}

$s=\sum_{i=1}^n x_i$

जिसे डी फिनेटी के मजबूत कानून के रूप में जाना जाता है।

{\bar{एक्स}}_{n} = \frac{1}{n} Σ_{मैं = 1}^{n} {एक्स}_{मैं} \to_{n \to \infty}^{} Θ लगभग निश्चित रूप से,

$\bar{X}_n = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n X_i \xrightarrow[n\to\infty]{} \Theta \qquad \textrm{almost surely},$

यह प्रतिनिधित्व प्रमेय दिखाता है कि सांख्यिकीय मॉडल एक बायेसियन संदर्भ में उभरने: observables की विनिमय योग्यता की परिकल्पना के तहत , एक ऐसा है कि, का मान दिया , observables हैं स्वतंत्र और समान रूप से वितरित। इसके अलावा, डी Finetti के मजबूत कानून से पता चलता है कि सर्वनाश के बारे में हमारे पूर्व राय , वितरण का प्रतिनिधित्व करती , की सीमा के बारे में राय है $\{X_i\}_{i=1}^\infty$ $\textbf{there is}$ $\textit{parameter}$ $\Theta$ $\Theta$ $\textit{conditionally}$ $\Theta$ $\mu_\Theta$ $\bar{X}_n$ , इससे पहले कि हम किसी भी की वास्तविकताओं के मूल्यों के बारे में जानकारी रखते हैं । पैरामीटर एक उपयोगी सहायक निर्माण की भूमिका है, जो हमें प्राप्त करने के लिए सशर्त संभावनाओं को शामिल ही तरह संबंधों के माध्यम से observables की अनुमति देता है निभाता $X_i$ $\Theta$

पी {{एक्स}_{n} = 1 | {एक्स}_{1} = {एक्स}_{1}, ..., {एक्स}_{n - 1} = {एक्स}_{n - 1}} = इ [Θ | {एक्स}_{1} = {एक्स}_{1}, ..., {एक्स}_{n - 1} = {एक्स}_{n - 1}] ।

$P\{X_n=1\mid X_1=x_1,\dots,X_{n-1}=x_{n-1}\} = \mathrm{E}\left[\Theta\mid X_1=x_1,\dots,X_{n-1}=x_{n-1}\right] \, .$

— जेन
स्रोत

इस उत्कट उत्तर के लिए धन्यवाद! आजादी के बारे में आपका कहना बहुत महत्वपूर्ण है जो मुझे पहली बार महसूस हुआ है।

— gui11aume

("एक उपयोगी" बेहतर था :))

— नील जी

मैं एक मुश्किल समय विवरण को समझना हो रही है "वहाँ पैरामीटर मौजूद

ताकि (दिए गए

)

आईआईडी कर रहे हैं।" प्रतिनिधित्व प्रमेय से, ऐसा लगता है कि हम सभी को प्राप्त कर सकते हैं

Θ

$\Theta$

Θ

$\Theta$

X_{i}

$X_i$

। यही है, वास्तविक घनत्व का अपेक्षित मान पैरामीटर

साथ आईड बर्नौली घनत्व के अपेक्षित मूल्य के समान है। क्या आप मेरे लिए स्पष्ट कर सकते हैं कि हम अपेक्षित मूल्य को कैसे गिरा सकते हैं ताकि हम खुद ही सही घनत्व के बारे में दावा कर सकें?

E [θ^{s} (1 - θ)^{s}] = E [P (X_{i} = x_{i} \forall i | θ)]

$E [\theta^s (1-\theta)^s] = E[P(X_i = x_i \, \forall \, i | \theta) ]$

θ

$\theta$

— 197 पर user795305

Integrand है

। यह जैसे कारकों के बाद से

Pr {X_{1} = x_{1}, \dots, X_{n} = x_{n} ∣ Θ = θ}

$\Pr\{X_1=x_1,\dots,X_n=x_n\mid\Theta=\theta\}$

\prod_{i = 1}^{n} Pr {X_{i} = x_{i} ∣ Θ = θ} = \prod_{i = 1}^{n} θ^{x_{i}} (1 - θ)^{1 - x_{i}}

$\prod_{i=1}^n \Pr\{X_i=x_i\mid\Theta=\theta\}=\prod_{i=1}^n \theta^{x_i}(1-\theta)^{1-x_i}$

's सशर्त दी आईआईडी हैं

।

X_{i}

$X_i$

Θ = θ

$\Theta=\theta$

— ज़ेन

\prod_{i = 1}^{n} Pr {X_{i} = x_{i} ∣ Θ = θ} = \prod_{i = 1}^{n} θ^{x_{i}} (1 - θ)^{1 - x_{i}}

$\prod_{i=1}^n \Pr\{X_i=x_i\mid\Theta=\theta\}=\prod_{i=1}^n \theta^{x_i}(1-\theta)^{1-x_i}$

ज़ेन के उत्तर में सब कुछ गणितीय रूप से सही है। हालांकि मैं कुछ बिंदुओं पर असहमत हूं। कृपया ध्यान रखें कि मैं दावा नहीं करता / मानता हूं कि मेरी बात अच्छी है; इसके विपरीत मुझे लगता है कि ये बिंदु मेरे लिए अभी तक पूरी तरह से स्पष्ट नहीं हैं। ये कुछ दार्शनिक प्रश्न हैं जिनके बारे में मैं चर्चा करना पसंद करता हूं (और मेरे लिए एक अच्छा अंग्रेजी अभ्यास), और मैं किसी भी सलाह में रुचि रखता हूं।

$999$ $X_i$ $\theta$ $\theta$ $999$ $999$ $\theta$ $1$ $\Pr(X_n=1)$
$\Theta$ $\theta = \bar X_\infty$ $\theta$ $\bar X_\infty$ $\Theta$ $0$ $1$
$(X_i\mid\Theta=\theta)\sim_\text{iid} \text{Bernoulli}(\theta)$ $\Theta \sim \text{Beta}(a,b)$ $a$ $b$ $\Theta$ $\Theta$

उसे देर हो गई है...

— स्टीफन लॉरेंट
स्रोत

"this is not true from the frequentist perspective"

$\textbf{"this is not true from the frequentist perspective"}$

Θ

$\Theta$

{\bar{X}}_{n}

$\bar{X}_n$

Θ

$\Theta$

μ_{Θ}

$\mu_\Theta$

a posteriori

$\textit{a posteriori}$

Θ

$\Theta$

θ

$\theta$

आपकी तीसरी गोली के बारे में, दिया गया: 1) वह शर्विश एक बेयसियन सांख्यिकीविद् है; 2) समय और ऊर्जा के बीच वह अपनी पुस्तक में विनिमेयता पर चर्चा करता है; मेरा मानना है कि उनके लिए डी फिनेटी की प्रमेय की भूमिका बहुत गहरी है, जो ठंडक से परे है। लेकिन मैं मानता हूँ कि यह बहुत अच्छा है, वैसे भी!

— ज़ेन

θ

$\theta$

θ

$\theta$

Θ

$\Theta$

a

$a$

b

$b$

आप लोगों को इस विषय पर एक पेपर में दिलचस्पी हो सकती है (पहुंच के लिए आवश्यक जर्नल सदस्यता - अपने विश्वविद्यालय से इसे एक्सेस करने का प्रयास करें):

ओ'नील, बी। (2011) एक्सचेंजिंग, सहसंबंध और बेयर्स इफेक्ट। अंतर्राष्ट्रीय सांख्यिकीय समीक्षा 77 (2), पीपी 241-250।

यह पत्र दोनों बायेसियन और लगातार आईआईडी मॉडल के आधार के रूप में प्रतिनिधित्व प्रमेय पर चर्चा करता है, और इसे सिक्का-उछालने वाले उदाहरण के लिए भी लागू करता है। यह लगातार प्रतिमान की मान्यताओं की चर्चा को स्पष्ट करना चाहिए। यह वास्तव में द्विपद मॉडल से परे जा रहे प्रतिनिधित्व प्रमेय के लिए एक व्यापक विस्तार का उपयोग करता है, लेकिन यह अभी भी उपयोगी होना चाहिए।

— आँकड़े
स्रोत

क्या आपके पास इसका कोई कार्यशील संस्करण है? मेरे पास एक्सेस नहीं है :-(

— IMA

@Stats मैंने आपका उत्तर देखने के बाद उस पेपर को पढ़ा है। मेरा कहना है, यह उस मुद्दे पर बेयसियन और फ़्रीक्वेंटिस्ट का सबसे अच्छा पेपर है जो मैंने कभी देखा है। काश मैंने इस पेपर को बहुत पहले पढ़ा होता। (+1)

— केविनकिम