प्रतिगमन में आश्रित चर के रूप में प्रतिशत का अनुमान लगाना

Question

मेरे अध्ययन में आश्रित चर के रूप में 38 परीक्षाओं में छात्रों का रैंक प्रतिशत है। एक रैंक प्रतिशत की गणना (एक परीक्षा में छात्रों की रैंक / छात्रों की संख्या) द्वारा की जाती है। इस आश्रित चर में लगभग समान वितरण है और मैं आश्रित चर पर कुछ चर के प्रभावों का अनुमान लगाना चाहता हूं।

मैं किस प्रतिगमन दृष्टिकोण का उपयोग करता हूं?

Comments

नियमित (ओएलएस) प्रतिगमन निर्भर चर के वितरण के बारे में धारणाएं नहीं बनाता है, यह एक मॉडल से त्रुटि (अवशिष्ट द्वारा अनुमानित) के वितरण के बारे में धारणाएं बनाता है। यदि प्रति परीक्षा में छात्रों की संख्या भिन्न होती है, तो आप संभवतः ओएलएस प्रतिगमन के साथ शुरू कर सकते हैं और मान्यताओं की जांच कर सकते हैं।

— पीटर Flom - को पुनः स्थापित मोनिका

यह एक अच्छा सुझाव है, @Peter, लेकिन मैं OLS मान्यताओं के उपसंहारक अभी तक महत्वपूर्ण उल्लंघनों के बारे में चिंतित हूं। एक परीक्षा में एक छात्र का रैंक परीक्षा देने वाले अन्य सभी छात्रों की विशेषताओं पर निर्भर करेगा। यह अन्योन्याश्रय OLS के किसी भी (नियमित) अनुप्रयोग द्वारा कैप्चर नहीं किया जाता है।

— whuber

यहां जो कुछ हो रहा है उसकी सराहना करने का एक और तरीका इस समस्या के सबसे सरल उदाहरण पर विचार करना है, जहां प्रत्येक "परीक्षा" में छात्रों के ठीक दो शामिल हैं। आश्रित चर इंगित करता है कि किस छात्र ने बेहतर किया। यदि हम प्रत्येक परीक्षा को एक प्रतियोगिता के रूप में सोचते हैं, तो यह एक टूर्नामेंट आयोजित करने के बराबर है। वास्तव में, सवाल कुछ व्याख्यात्मक चर के संदर्भ में प्रत्येक खिलाड़ी की "ताकत" के लिए एक सूत्र के साथ आना चाहता है।

— whuber

तुम सही हो इसे कैसे संबोधित करें? मुझे लगता है कि एक आईआरटी मॉडल ऐसा करेगा, लेकिन जब मैंने उन लोगों का अध्ययन किया है, तो यह एक लंबा समय है।

— पीटर Flom - को पुनः स्थापित मोनिका

@ मुझे लगता है कि आईआरटी एक संभावना हो सकती है, उदाहरण के लिए एक प्रोबेट (या लॉगिट)। लेकिन प्रतिशत रैंक को एक बाउंड कंटीन्यूअस वैरिएबल (जैसे माइक द्वारा सुझाए गए लॉजिस्टिक रिग्रेशन) के रूप में माना जाना संभव है, यह एक वैध सन्निकटन होगा , जबकि ऑर्डर किया गया प्रोबेट समस्या का एक सीधा मॉडल होगा। लॉजिस्टिक का लाभ पारसमणि है; छात्रों के सहसंबंध के लिए खाता, एक सफेद या सैंडविच संस्करण अनुमानक को लागू किया जा सकता है। मैं समझ गया कि नमूना में कई छात्रों (अनुदैर्ध्य) के लिए 38 परीक्षाएं हैं, इसलिए यह संभव होना चाहिए।

— JDav

Answer 1

यदि आप स्टैटा के साथ काम कर रहे हैं, तो निम्न उदाहरण पर एक नज़र डालें: http://www.ats.ucla.edu/stat/stata/faq/proportion.htm

इस वेबपेज का एक उद्धरण इस प्रकार है:

"आश्रित चर एक अनुपात है जब कोई प्रतिगमन कैसे करता है?

आनुपातिक डेटा में ऐसे मान होते हैं जो शून्य और एक के बीच आते हैं। स्वाभाविक रूप से, यह अनुमान लगाना अच्छा होगा कि अनुमानित मूल्य भी शून्य और एक के बीच आते हैं। इसे पूरा करने का एक तरीका एक सामान्यीकृत रैखिक मॉडल (glm) का उपयोग एक लॉगिट लिंक और द्विपद परिवार के साथ करना है। हम मजबूत मानक त्रुटियों को प्राप्त करने के लिए glm मॉडल में मजबूत विकल्प को शामिल करेंगे जो विशेष रूप से उपयोगी होगा यदि हमने वितरण परिवार को गलत किया है। "

Comments

यह अच्छा है, और अन्य संदर्भों में बहुत अच्छी सलाह होगी, लेकिन मेरे जवाब में पहचानी गई समस्याओं को ठीक करने के लिए एक चमक का उपयोग नहीं किया जाएगा।

— whuber

इसे भी देखें: सांख्यिकी.स्टैकएक्सचेंज.com

— questions

Answer 2

सार

ध्यान से व्याख्या करने पर प्रतिगमन परिणाम के कुछ सीमित मूल्य हो सकते हैं। भिन्नता के अनुपयोगी रूप गुणांक अनुमानों को शून्य की ओर पर्याप्त रूप से सिकोड़ेंगे। एक बेहतर मॉडल की आवश्यकता होती है जो बदलाव को अधिक उपयुक्त तरीके से संभालती है।

(अधिकतम संभावना मॉडल का निर्माण किया जा सकता है लेकिन आवश्यक गणना के कारण अव्यावहारिक हो सकता है, जिसमें बहुआयामी इंटीग्रल्स का संख्यात्मक मूल्यांकन शामिल है। आयामों की संख्या कक्षाओं में नामांकित छात्रों की संख्या के बराबर है।)

परिचय

हमारे अंतर्ज्ञान को सूचित करने के लिए एक कथा के रूप में, कल्पना करें कि ये 38 परीक्षाएं 38 अलग-अलग पाठ्यक्रमों में एक कॉलेज के 200 छात्रों के नामांकन के साथ एक सेमेस्टर के दौरान दी गई थीं। यथार्थवादी स्थिति में उन छात्रों की क्षमता और अनुभव अलग-अलग होंगे। इन क्षमताओं और अनुभवों के सरोगेट उपायों के रूप में, हम कह सकते हैं, SAT गणित और मौखिक परीक्षण और कॉलेज में वर्ष (4 के माध्यम से 1) पर स्कोर।

आमतौर पर, छात्र अपनी क्षमताओं और रुचि के अनुसार पाठ्यक्रमों में दाखिला लेंगे। फ्रेशमेन परिचयात्मक पाठ्यक्रम लेते हैं और परिचयात्मक पाठ्यक्रम मुख्य रूप से नए लोगों द्वारा आबाद किए जाते हैं। अपरकेस और प्रतिभाशाली नए और सोफोमोर्स उन्नत और स्नातक स्तर के पाठ्यक्रम लेते हैं। यह चयन छात्रों को आंशिक रूप से स्तरीकृत करता है ताकि किसी भी कक्षा के भीतर छात्रों की जन्मजात क्षमताएं आम तौर पर पूरे स्कूल में क्षमताओं के प्रसार से अधिक सजातीय हों।

इस प्रकार, सबसे सक्षम छात्र अपने आप को कठिन, उन्नत कक्षाओं के नीचे स्कोर कर सकते हैं, जिसमें वे दाखिला लेते हैं, जबकि कम से कम सक्षम छात्र अपने द्वारा लिए जाने वाले आसान परिचयात्मक कक्षाओं में सबसे ऊपर आ सकते हैं। यह सीधे छात्रों और कक्षाओं की विशेषताओं के लिए परीक्षा रैंक से संबंधित प्रत्यक्ष प्रयास को भ्रमित कर सकता है।

विश्लेषण

सूचकांक के साथ छात्रों को और छात्र के गुण जाने वेक्टर द्वारा दिए जाने । सूचकांक के साथ कक्षाएं और वर्ग की विशेषताओं जाने वेक्टर द्वारा दिए जाने । कक्षा में दाखिला लिया छात्रों के सेट है ।$i$$i$$\mathbf{x}_i$$j$$j$$\mathbf{z}_j$$j$$A_j$

मान लें कि प्रत्येक छात्र का "ताकत" उनकी विशेषताओं का एक फ़ंक्शन है और साथ ही कुछ यादृच्छिक मूल्य, जो शून्य का मतलब हो सकता है:$s_i$

$$s_i = f(\mathbf{x}_i, \beta) + \varepsilon_i.$$

हम कक्षा में परीक्षा मॉडल प्रत्येक छात्र वर्ग में दाखिला लिया की ताकत को स्वतंत्र यादृच्छिक मान जोड़ने और रैंकों के लिए उन परिवर्तित करके। जब कक्षा में दाखिला उनके रिश्तेदार रैंक को मानों के क्रमबद्ध सरणी में उनकी स्थिति से निर्धारित किया जाता है$j$$i$$j$$r_{i,j}$

$$\left(s_k + \delta_{k,j}, k \in A_j\right).$$

यह स्थिति आश्रित चर, प्रतिशत रैंक देने के लिए कुल वर्ग नामांकन से एक से अधिक विभाजित है:$r_{i,j}$

$$p_{i,j} = \frac{r_{i,j}}{1 + |A_j|}.$$

मेरा दावा है कि प्रतिगमन परिणाम यादृच्छिक ( ) मूल्यों और के आकार और संरचना पर निर्भर करते हैं । $\varepsilon_i$$\delta_{i,j}$ परिणाम भी ठीक-ठीक इस बात पर निर्भर करते हैं कि छात्रों को कक्षाओं में कैसे दाखिला दिया जाता है। यह सहज रूप से स्पष्ट होना चाहिए, लेकिन जो इतना स्पष्ट नहीं है - और सैद्धांतिक रूप से विश्लेषण करना मुश्किल प्रतीत होता है - यह है कि कैसे और कितने अनबॉर्स्ड मूल्य और वर्ग संरचनाएं प्रतिगमन को प्रभावित करती हैं।

सिमुलेशन

बहुत अधिक प्रयास के बिना हम कुछ नमूना डेटा बनाने और विश्लेषण करने के लिए इस स्थिति का अनुकरण कर सकते हैं । सिमुलेशन का एक फायदा यह है कि इसमें छात्रों की सच्ची ताकत शामिल हो सकती है , जो वास्तव में अवलोकनीय नहीं है। एक और यह है कि हम बिना पढ़े मानों के विशिष्ट आकार के साथ-साथ कक्षा असाइनमेंट को भी भिन्न कर सकते हैं। यह प्रतिगमन जैसे प्रस्तावित विश्लेषणात्मक तरीकों का आकलन करने के लिए एक "सैंडबॉक्स" प्रदान करता है।

आरंभ करने के लिए, चलो प्रतिलिपि प्रस्तुत करने योग्य परिणामों के लिए यादृच्छिक संख्या जनरेटर सेट करें और समस्या का आकार निर्दिष्ट करें। मैं उपयोग करता हूं Rक्योंकि यह किसी के लिए भी उपलब्ध है।

set.seed(17)
n.pop <- 200      # Number of students
n.classes <- 38   # Number of classes
courseload <- 4.5 # Expected number of classes per student

यथार्थवाद प्रदान करने के लिए, n.classesदो स्तरों पर अलग-अलग कठिनाइयों के वर्ग बनाएं (गणितीय और मौखिक, एक नकारात्मक सहसंबंध के साथ), अलग-अलग शैक्षणिक स्तरों (1 = 7 से लेकर 7 = अनुसंधान तक) और चर आसानी के साथ। ("आसान" वर्ग में, छात्र सीखने की मात्रा के बीच अंतर बड़ा हो सकता है और / या परीक्षा छात्रों के बीच थोड़ा सा प्रदान कर सकती है। यह यादृच्छिक शब्दों द्वारा बनाया गया है, जो कक्षा के लिए है) बड़े होने के लिए। परीक्षा परिणाम तब छात्र शक्ति डेटा से लगभग अप्रत्याशित होगा। जब कक्षा "आसान" नहीं होती है, तो ये यादृच्छिक शब्द लापरवाही से छोटे होते हैं और छात्र ताकत पूरी तरह से परीक्षा रैंकिंग निर्धारित कर सकते हैं।)$\delta_{i,j}$$j$

classes <- data.frame(cbind(
  math <- runif(n.classes), 
  rbeta(n.classes, shape1=(verbal <- (1-math)*5), shape2=5-verbal),
  runif(n.classes, min=0, max=7),
  rgamma(n.classes, 10, 10)))
rm(math, verbal)
colnames(classes) <- c("math.dif", "verbal.dif", "level", "ease")
classes <- classes[order(classes$math.dif + classes$verbal.dif + classes$level), ]
row.names(classes) <- 1:n.classes
plot(classes, main="Classes")

छात्रों को चार साल के बीच में फैलाया जाता है और उनकी विशेषताओं के यादृच्छिक मूल्यों के साथ संपन्न किया जाता है। इनमें से किसी भी विशेषता में कोई संबंध नहीं हैं:

students <- data.frame(cbind(
  as.factor(ceiling(runif(n.pop, max=4))),
  sapply(rnorm(n.pop, mean=60, sd=10), function(x) 10*median(c(20, 80, floor(x)))),
  sapply(rnorm(n.pop, mean=55, sd=10), function(x) 10*median(c(00, 80, floor(x)))),
  rnorm(n.pop)
  ))
colnames(students) <- c("year", "math", "verbal", "ability")
plot(students, main="Students")

मॉडल यह है कि प्रत्येक छात्र में एक अंतर्निहित "ताकत" आंशिक रूप से उनकी विशेषताओं से और आंशिक रूप से उनकी "क्षमता" से निर्धारित होती है, जो कि मान है। शक्ति गुणांक , जो अन्य विशेषताओं के संदर्भ में ताकत का निर्धारण करते हैं, बाद के डेटा विश्लेषण का अनुमान लगाने के लिए क्या करेंगे। यदि आप इस सिमुलेशन के साथ खेलना चाहते हैं, तो बदलकर ऐसा करें । निम्नलिखित गुणांक का एक दिलचस्प और यथार्थवादी सेट है जो पूरे कॉलेज में निरंतर छात्र सीखने को दर्शाता है (वर्ष 2 और 3 के बीच एक बड़ी राशि के साथ); जहां SAT के प्रत्येक भाग पर 100 अंक स्कूल के एक वर्ष के लायक हैं; और जहां स्कूल में SAT स्कोर या वर्ष द्वारा कब्जा नहीं किए गए "क्षमता" मूल्यों के कारण लगभग आधा भिन्नता है।$\varepsilon_i$betabeta

beta <- list(year.1=0, year.2=1, year.3=3, year.4=4, math=1/100, verbal=1/100, ability=2, sigma=0.01)
students$strength <- (students$year==1)*beta$year.1 + 
  (students$year==2)*beta$year.2 +
  (students$year==3)*beta$year.3 +
  (students$year==4)*beta$year.4 +
  students$math*beta$math + 
  students$verbal*beta$verbal + 
  students$ability*beta$ability
students <- students[order(students$strength), ]
row.names(students) <- 1:n.pop

(इस बात को ध्यान में रखें कि students$abilityयह अप्रमाणिक है: यह अन्य अवलोकन योग्य विशेषताओं और परीक्षाओं की वास्तविक ताकत से अनुमानित ताकत के बीच एक स्पष्ट रूप से यादृच्छिक विचलन है। इस यादृच्छिक प्रभाव को दूर करने के लिए, beta$abilityशून्य पर सेट करें। मानों beta$sigmaको गुणा करेंगे ease: यह मूल रूप से मानक विचलन है। के मान एक में छात्रों कोर्स दिया की ताकत की सीमा के सापेक्ष। चारों ओर करने के लिए या तो मेरे लिए उचित लगता है।)$\delta_{i,j}$$.01$$.2$

छात्रों को उनकी क्षमताओं का मिलान करने के लिए पाठ्यक्रम चुनने दें। एक बार जब वे ऐसा करते हैं, तो हम कक्षा के आकार की गणना कर सकते हैं और classesबाद में उपयोग के लिए डेटाफ्रेम के साथ उन लोगों को रोक सकते हैं। के मान spreadमें assignments <-...लाइन निर्धारित करता है कि बारीकी से छात्रों की क्षमता से वर्गों में sectioned हैं। करीब मूल्य अनिवार्य रूप से सबसे आसान पाठ्यक्रमों के साथ सबसे कमजोर छात्रों को जोड़ते हैं। कक्षाओं की संख्या के करीब एक मूल्य छात्रों को थोड़ा और बाहर फैलाता है। इससे बहुत बड़े मूल्य अवास्तविक होने लगते हैं, क्योंकि वे कमजोर छात्रों को सबसे कठिन पाठ्यक्रमों में डाल देते हैं।$0$

pick.classes <- function(i, k, spread) {
  # i is student strength rank
  # k is number to pick
  p <- pmin(0.05, diff(pbeta(0:n.classes/n.classes, i/spread, (1+n.pop-i)/spread)))
  sample(1:n.classes, k, prob=p)
}
students$n.classes <- floor(1/2 + 2 * rbeta(n.pop,10,10) * courseload)
assignments <- lapply(1:n.pop, function(i) pick.classes(i, students$n.classes[i], spread=1))
enrolment <- function(k) length(seq(1, n.pop)[sapply(assignments, function(x) !is.na(match(k, x)))])
classes$size <- sapply(1:n.classes, enrolment)
classes$variation <- by(data, data$Class, function(x) diff(range(x$strength)))

(यह कदम क्या पूरा किया है, इसके एक उदाहरण के रूप में, नीचे दिए गए आंकड़े को देखें।)

अब मॉडल लागू करें: प्रत्येक कक्षा में छात्रों की क्षमताओं को स्वतंत्र रूप से विविध - आसान परीक्षाओं के लिए अधिक, कठिन (भेदभावपूर्ण) परीक्षाओं के लिए कम - उनके परीक्षा स्कोर निर्धारित करने के लिए। इन्हें रैंक और "प्रैंक्स" के रूप में संक्षेपित किया गया है, जो रैंक पर्केंट हैं। के एक वर्ग के लिए मज़ाक छात्रों से लेकर के माध्यम से की वृद्धि के साथ । यह बाद में परिवर्तन को लागू करना संभव करेगा जैसे कि लॉजिस्टिक फ़ंक्शन (जो या मान पर लागू होने पर अपरिभाषित है )।$n$$1/(n+1)$$n/(n+1)$$1/(n+1)$$0$$1$

exam.do <- function(k) {
  s <- seq(1, n.pop)[sapply(assignments, function(x) !is.na(match(k, x)))]
  e <- classes$ease[k]
  rv <- cbind(rep(k, length(s)), s, order(rnorm(length(s), students$strength[s], sd=e*beta$sigma*classes$variation[k])))
  rv <- cbind(rv, rv[,3] / (length(s)+1))
  dimnames(rv) <- list(NULL, c("Class", "Student", "Rank", "Prank"))
  rv
}
data.raw <- do.call(rbind, sapply(1:n.classes, exam.do))

इन कच्चे डेटा के लिए, हम विश्लेषण के लिए उपयुक्त डेटासेट बनाने के लिए छात्र और कक्षा के गुणों को संलग्न करते हैं:

data <- merge(data.raw, classes, by.x="Class", by.y="row.names")
data <- merge(data, students, by.x="Student", by.y="row.names")

चलो डेटा के एक यादृच्छिक नमूने का निरीक्षण करके खुद को उन्मुख करते हैं:

> data[sort(sample(1:dim(data)[1], 5)),]

Row Student Class Rank Prank math.dif verbal.dif  level  ease Size year math verbal ability strength n.classes
118      28     1   22 0.957  0.77997   6.95e-02 0.0523 1.032   22    2  590    380   0.576     16.9         4
248      55     5   24 0.889  0.96838   1.32e-07 0.5217 0.956   26    3  460    520  -2.163     19.0         5
278      62     6   22 0.917  0.15505   9.54e-01 0.4112 0.497   23    2  640    510  -0.673     19.7         4
400      89    10   16 0.800  0.00227   1.00e+00 1.3880 0.579   19    1  800    350   0.598     21.6         5
806     182    35   18 0.692  0.88116   5.44e-02 6.1747 0.800   25    4  610    580   0.776     30.7         4

उदाहरण के लिए, रिकॉर्ड 118 में कहा गया है कि छात्र # 28 ने कक्षा # 1 में दाखिला लिया और परीक्षा में 0.957 प्रतिशत के रैंक पर 22 वां (नीचे से) स्कोर किया। इस वर्ग की कठिनाई का समग्र स्तर 0.0523 (बहुत आसान) था। कुल 22 छात्र नामांकित थे। यह छात्र 590 गणित, 380 मौखिक सैट स्कोर के साथ एक वर्ष (2 वर्ष) है। उनकी समग्र अंतर्निहित शैक्षणिक शक्ति 16.9 है। वे उस समय चार वर्गों में नामांकित थे।

यह डेटासेट प्रश्न में वर्णन के साथ संकलित करता है। उदाहरण के लिए, प्रतिशत रैंक वास्तव में लगभग समान हैं (जैसा कि वे किसी भी पूर्ण डेटासेट के लिए होना चाहिए, क्योंकि किसी एकल वर्ग के लिए प्रतिशत रैंक में एक असतत समान वितरण है)।

याद रखें, गुणांक के आधार पर beta, इस मॉडल ने परीक्षा स्कोर और इस डेटासेट में दिखाए गए चर के बीच एक मजबूत संबंध माना है । लेकिन प्रतिगमन क्या दर्शाता है? आइए उन सभी अवलोकन योग्य छात्र विशेषताओं के खिलाफ प्रतिशत रैंक के लॉजिस्टिक को फिर से हासिल करें जो उनकी क्षमताओं से संबंधित हो, साथ ही साथ कक्षा कठिनाई के संकेतक भी हों:

logistic <- function(p) log(p / (1-p))
fit <- lm(logistic(Prank) ~ as.factor(year) + math + verbal + level, data=data)
summary(fit)

Coefficients:
                  Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)    
(Intercept)      -2.577788   0.421579   -6.11  1.5e-09 ***
as.factor(year)2  0.467846   0.150670    3.11   0.0020 ** 
as.factor(year)3  0.984671   0.164614    5.98  3.2e-09 ***
as.factor(year)4  1.109897   0.171704    6.46  1.7e-10 ***
math              0.002599   0.000538    4.83  1.6e-06 ***
verbal            0.002130   0.000514    4.14  3.8e-05 ***
level            -0.208495   0.036365   -5.73  1.4e-08 ***
---
Signif. codes:  0 ‘***’ 0.001 ‘**’ 0.01 ‘*’ 0.05 ‘.’ 0.1 ‘ ’ 1 

Residual standard error: 1.48 on 883 degrees of freedom
Multiple R-squared: 0.0661, Adjusted R-squared: 0.0598 
F-statistic: 10.4 on 6 and 883 DF,  p-value: 3.51e-11 

नैदानिक ​​भूखंड ( plot(fit)) फास्टैस्टिक दिखते हैं: अवशिष्ट होमोसैडैस्टिक और सुंदर रूप से सामान्य होते हैं (यद्यपि थोड़ा छोटा पूंछ, जो कोई समस्या नहीं है); कोई आउटलेयर नहीं; और किसी भी अवलोकन में कोई अप्रिय प्रभाव नहीं है।

जैसा कि आप देख सकते हैं, सब कुछ अत्यधिक महत्वपूर्ण है, हालांकि छोटा आर-वर्ग निराशाजनक हो सकता है। सभी गुणांक में मोटे तौर पर सही संकेत और सापेक्ष आकार होते हैं। अगर हम उन्हें से गुणा करते , तो वे बराबर होते । मूल दांव (जहां मतलब एक गुणांक के लिए है जो स्पष्ट रूप से निर्दिष्ट नहीं था)।$3.5$$(-9, 1.6, 3.4, 3.9, 0.009, 0.007, -0.7)$$(*, 1, 3, 4, 0.010, 0.010, *)$$*$

के उच्च महत्व पर ध्यान दें level, जो कि कक्षाओं का एक गुण है , छात्रों का नहीं। इसका आकार बहुत बड़ा है: वर्ग का स्तर से पास होता है , इसलिए इस सीमा को शो के अनुमानित गुणांक से गुणा करते हुए इसका प्रभाव अन्य आकारों की तरह ही होता है। इसका नकारात्मक संकेत छात्रों के लिए अधिक चुनौतीपूर्ण कक्षाओं में थोड़ा बुरा करने की प्रवृत्ति को दर्शाता है। इस व्यवहार को मॉडल से उभरता देखना बहुत दिलचस्प है , क्योंकि परीक्षा परिणामों को निर्धारित करने में स्तर कभी स्पष्ट रूप से शामिल नहीं था: यह केवल प्रभावित हुआ कि छात्रों ने अपनी कक्षाओं को कैसे चुना।$0$$7$level

(वैसे, प्रतिगमन में अप्रभावित प्रतिशत रैंकों का उपयोग करके गुणात्मक रूप से नीचे दिए गए परिणामों को परिवर्तित नहीं किया जाता है।)

चलो चीजों को थोड़ा अलग करते हैं। पर सेट spreadकरने के बजाय , हमें का उपयोग करना था , जिससे पूरे कक्षाओं में छात्रों का व्यापक (अधिक यथार्थवादी) वितरण हुआ। शीर्ष से सब कुछ फिर से सीखना ये परिणाम देता है:$1$$38$

Coefficients:
                  Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)    
(Intercept)      -4.902006   0.349924  -14.01  < 2e-16 ***
as.factor(year)2  0.605444   0.130355    4.64  3.9e-06 ***
as.factor(year)3  1.707590   0.134649   12.68  < 2e-16 ***
as.factor(year)4  1.926272   0.136595   14.10  < 2e-16 ***
math              0.004667   0.000448   10.41  < 2e-16 ***
verbal            0.004019   0.000434    9.25  < 2e-16 ***
level            -0.299475   0.026415  -11.34  < 2e-16 ***
---
Signif. codes:  0 ‘***’ 0.001 ‘**’ 0.01 ‘*’ 0.05 ‘.’ 0.1 ‘ ’ 1 

Residual standard error: 1.3 on 883 degrees of freedom
Multiple R-squared: 0.282,  Adjusted R-squared: 0.277 
F-statistic: 57.9 on 6 and 883 DF,  p-value: <2e-16

( कक्षा असाइनमेंट के इस बिखराव में, spreadसेट , छात्रों को बढ़ती ताकत से हल किया जाता है और कक्षाओं को बढ़ते स्तर से क्रमबद्ध किया जाता है। जब मूल रूप से सेट किया गया था , असाइनमेंट प्लॉट एक तंग विकर्ण बैंड में गिर गया था। कमजोर छात्रों को आसान कक्षाएं लेने की प्रवृत्ति होती है। और मजबूत छात्र कठिन कक्षाएं लेते हैं, लेकिन बहुत सारे अपवाद हैं।$38$spread1 )

इस बार R-squared में बहुत सुधार हुआ है (हालाँकि अभी भी बढ़िया नहीं है)। हालांकि, सभी गुणांक 20 - 100% तक बढ़ गए हैं। यह तालिका कुछ अतिरिक्त सिमुलेशन के साथ उनकी तुलना करती है:

Simulation Intercept Year.2 Year.3 Year.4 Math Verbal Level R^2
Beta               *    1.0    3.0    4.0 .010   .010     *   *
Spread=1        -2.6    0.5    1.0    1.1 .003   .002 -0.21  7%
Spread=38       -4.9    0.6    1.7    1.9 .005   .004 -0.30 25%
Ability=1       -8.3    0.9    2.6    3.3 .008   .008 -0.63 58%
No error       -11.2    1.1    3.3    4.4 .011   .011 -0.09 88%

spread पर रखते हुए और से तक बदल (जो कि छात्र की ताकत कितनी अनुमानित है, इसका बहुत आशावादी आकलन है) ने पैतृक लाइन का उत्पादन किया। अब अनुमान (छात्र वर्ष और छात्र एसएटी स्कोर के लिए) वास्तविक मूल्यों के काफी करीब पहुंच रहे हैं। अंत में, दोनों की स्थापना और करने के लिए , त्रुटि शर्तों को हटाने के लिए और कुल मिलाकर, एक उच्च आर चुकता देता है और सही मान के करीब अनुमान पैदा करता है। (यह उल्लेखनीय है कि तब गुणांक एक परिमाण के क्रम से घट जाता है।)$38$ability$2$$1$abilitysigma$0$$\varepsilon_i$$\delta_{i,j}$level

इस त्वरित विश्लेषण से पता चलता है कि प्रतिगमन, कम से कम यहां प्रदर्शन के रूप में, गुणांक के साथ भिन्नता के अपरिहार्य रूपों को भ्रमित करने वाला है। इसके अलावा, गुणांक भी छात्रों के बीच कक्षाओं में कैसे वितरित किए जाते हैं (कुछ हद तक) निर्भर करते हैं। यह प्रतिगमन में स्वतंत्र चर के बीच वर्ग विशेषताओं को शामिल करके आंशिक रूप से समायोजित किया जा सकता है, जैसा कि यहां किया गया है, लेकिन फिर भी छात्र वितरण का प्रभाव गायब नहीं होता है।

सच्चे छात्र के प्रदर्शन की भविष्यवाणी की कोई कमी, और छात्रों के सीखने और परीक्षाओं में वास्तविक प्रदर्शन में कोई भिन्नता, जाहिर तौर पर गुणांक अनुमान शून्य की ओर हटने का कारण बनते हैं। वे समान रूप से ऐसा करते दिखाई देते हैं, यह सुझाव देते हुए कि सापेक्ष गुणांक अभी भी सार्थक हो सकते हैं।

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मैं बारे में आपके दावों से सहमत हूं (जो उत्तर में मेल खाती है ) और मुझे आशा है कि मुझे आपके विश्लेषण की पूरी तस्वीर मिल गई है। पर परिणाम विशेषताओं पर निर्भर करेगा, जो आपके SAT स्कोर (और अन्य) की तरह, वेधशालाओं के साथ सहसंबद्ध हो सकते हैं। लेकिन "परिवर्तन" ( -mean ( )) या किसी अन्य (अंतर) में "लागू करने" द्वारा व्यक्तिगत प्रभाव को हटाने के लिए तुच्छ नहीं है ? (+1)$\varepsilon_i$$v_i$$p_{ij}$$y_{ij}$$y_{ij}$

— JDav

यदि आपका अनुकरण अप्रमाणित क्षमताओं और सैट और अन्य अंकों के बीच सकारात्मक सहसंबंध को संरक्षित करता है, तो ओएलएस पैरामीटर ऊपर की ओर सही पक्षपाती हो सकता है? (एसिमप बायस नियंत्रण-यादृच्छिक शब्द सहसंबंध के आनुपातिक है) यह आपके "नकारात्मक" मापदंडों को समझा सकता है। शून्य की ओर बढ़ा?

— जादव

+1, मैं सांख्यिकीय विचारों के माध्यम से काम करने में मदद करने के लिए सिमुलेशन का उपयोग करने का एक बड़ा प्रशंसक हूं।

— गंग -

Answer 3

उपाय @ user13203 के प्रस्ताव को एक निरंतर बाध्य अंडरपरफॉर्मेंस स्कोर के रूप में माना जा सकता है, जो बेहतर प्रदर्शन को कम करेगा: i-वें छात्र जे-थ परीक्षा में अंडरपरफॉर्मेंस।$y_{ij}$

परिवर्तन का उपयोग करना जहां अवलोकनीय छात्र या परीक्षा विशेषताओं पर निर्भर हो सकता है:$\mu_{ij}$

$\ln(y_{ij}/(1-y_{ij})) = \mu_{ij} + e_{ij} + v_i$

छात्र की अप्रत्यक्ष कौशल यादृच्छिक घटक के माध्यम से आधारित हैं जबकि मॉडल अन्य गैर व्यवस्थित unobservables। प्रतिक्रियाओं के बीच सहसंबंध (परीक्षाओं) को लिए एक सामान्य सहसंयोजक संरचना को करके जोड़ा जा सकता है । क्यों नहीं एक सफेद (या सैंडविच / मजबूत) विचरण संरचना? इसके अलावा, कुछ प्रतिक्रियाओं का सहसंबंध (सशर्त निर्भरता) के भीतर हो सकता है ।ई मैं जे ई मैं j μ मैं $v_i$$e_{ij}$$e_{ij}$$\mu_{ij}$

(यह मेरे पक्षपाती अनुभव से सिर्फ एक विचार है, टिप्पणी और आलोचक स्वागत से अधिक हैं।)

बोबे की क्षमता छात्रों के साथ सहसंबद्ध होने की संभावना है या वे भीतर विशेषताओं की । यह धारणा इस मॉडल को सहसंबद्ध त्रुटि घटकों के साथ एक आरई बनाती है, जिसका अनुमान एमएल या एक दो चरण अनुमानक द्वारा लगाया जा सकता है: पहला चरण: भीतर (या एनालॉग) परिवर्तन जो समाप्त करता है । दूसरा चरण: परिवर्तित मॉडल पर ओएलएस। v $\mu_{ij}$$v_i$

Comments

लॉजिस्टिक परिवर्तन का उपयोग करने का विचार एक अच्छा है, लेकिन इस तरह के प्रतिगमन मॉडल में समस्याएं हैं (जैसा कि मेरे उत्तर में बताया गया है)।

— व्हिबर

अनौपचारिक क्षमताओं और बीच सहसंबंध के तहत अनुमान पद्धति के साथ उत्तर को पूरक किया भीतर टिप्पणी के बाद$\mu_{ij}$

— JDav

Answer 4

आप लॉजिस्टिक रिग्रेशन ट्राई करना चाह सकते हैं। लॉजिट ट्रांसफॉर्म आपकी प्रतिक्रिया चर को वास्तविक रेखा पर फैला देगा जिससे आपको -3% या + 110% जैसे बेतुके पूर्वानुमानित रैंक प्रतिशत नहीं मिलेंगे।$\ln(\frac{p}{1-p})$

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लॉजिस्टिक रिग्रेशन केवल बाइनरी रिस्पांस वेरिएबल पर लागू होता है , जो यहां मामला नहीं लगता है। क्या आप शायद रैंक प्रतिशत के लॉगिट के साधारण प्रतिगमन का सुझाव दे रहे हैं ?

— व्हीबर

व्हिबर दिए गए कारणों के लिए न तो लॉजिस्टिक रिग्रेशन और न ही साधारण लीनियर रिग्रेशन यहां उचित है। इसके अलावा, अगर मॉडल में गाऊसी अवशिष्ट हैं, तो मैं यह नहीं देखता कि प्रतिक्रिया के लिए एक समान वितरण में अनुवाद कैसे किया जा सकता है। रैंकिंग में व्यक्तिगत छात्रों के बीच निर्भरता विश्लेषण के लिए सबसे महत्वपूर्ण है।

— माइकल आर। चेरिक

$\ln(p/1-p)=\beta'x_i + u_i$$p_i$

@ जे डेव मैं किसी भी संदर्भ को खोजने में असमर्थ हूं जो आपके द्वारा वर्णित अर्थ में "लॉजिस्टिक प्रतिगमन" का उपयोग करता है।

— whuber

मुझे लगता है कि वह एक सामान्यीकृत रैखिक मॉडल करने का मतलब है, एक सशर्त गाऊसी वितरण के साथ, मतलब के लिए एक लॉग-लिंक के साथ। (कम से कम मैं यह मानने वाला हूं कि उसका क्या मतलब है।)

— शीआ पार्क्स

Answer 5

इस मामले में एक आदर्श मॉडल आउटपुट (कक्षा में छात्र की रैंक) के लिए इनपुट (आपके पास जो कुछ भी आपके पास है) को मैप करेगा। इसके बारे में सोचने का दूसरा तरीका यह है कि पहले स्कोर को मैप किया जाए, और फिर उन अंकों को रैंक पर मैप किया जाए। मैं अभी के लिए त्रुटि को अनदेखा करने जा रहा हूँ।

$y = \sum \beta x$

$r = R(y)$

$R$$R$$y$$R(y)$

यह सामान्यीकृत रैखिक मॉडल के कार्यात्मक रूप के समान प्रतीत होता है। मुझे लगता है कि यही कारण है कि लॉजिस्टिक रिग्रेशन एप्रोच @ मिक एंडरसन द्वारा प्रस्तावित किया गया था। यदि आपका परीक्षा स्कोर तार्किक रूप से वितरित किया गया था, तो उपयोग करने के लिए लिंक फ़ंक्शन लॉगिट होगा (इसका व्युत्क्रम संचयी घनत्व फ़ंक्शन है जिसकी हम परवाह करते हैं)। इसी तरह, यदि अंक सामान्य रूप से वितरित किए जाते हैं, तो प्रोबेट फ़ंक्शन लिंक फ़ंक्शन होगा।

आपके प्रतिगमन के लिए, रैंक का अनुमान लगाने का एकमात्र तरीका यह है कि "यह कहते हुए कि मेरा डेटा एक्स के रूप में वितरित किया गया है, यह बिंदु 34 वें प्रतिशत में है"। अन्यथा, आपको कैसे पता चलेगा कि आपके टेस्ट स्कोर में दो अंकों की बढ़ोतरी रैंक के संदर्भ में क्या है? चेतावनी यह है कि आपको अपने लिंक फ़ंक्शन को चुनने के लिए उस वितरण का अनुमान लगाना होगा (कुछ कार्यात्मक रूप आपके जीवन को बहुत आसान बना देंगे)। इसके अलावा, यह मॉडल यह कहने के लिए नहीं जा रहा है कि "आप 38 के वर्ग में 6 वें सर्वश्रेष्ठ थे", बल्कि "यदि टेस्ट स्कोर वितरित किए गए थे कि हम कैसे सोचते हैं कि वे हैं, तो आपका स्कोर आपको 15 वें प्रतिशत में डाल देगा।"