बेयसियन दक्षता फ़्रीक्वेंटिस्ट दक्षता से कैसे संबंधित है?

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विकिपीडिया में लगातार परिप्रेक्ष्य में पर्याप्त आँकड़ों की सबसे सरल परिभाषा यहाँ दी गई है । हालाँकि, मैं हाल ही में एक बायेसियन पुस्तक में आया था, जिसकी परिभाषा the । यह लिंक में कहा गया है कि दोनों समान हैं, लेकिन मैं नहीं देखता कि कैसे। इसके अलावा, उसी पृष्ठ में, अनुभाग में «अन्य प्रकार की पर्याप्तता» यह कहा गया है कि दोनों परिभाषाएं अनंत-आयामी रिक्त स्थान के बराबर नहीं हैं ... $P(\theta|x,t)=P(\theta|t)$

साथ ही, भविष्य कहनेवाला शास्त्रीय दक्षता से कैसे संबंधित है?

bayesian mathematical-statistics sufficient-statistics

— समुद्र में एक बूढ़ा आदमी।
स्रोत

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अगर एक आँकड़ा $T$ लगातार रास्ते में पर्याप्त है, तो $p(\mathbf{x} \mid \theta, t) = p(\mathbf{x} \mid t)$ , इसलिए

\begin{aligned} p (θ ∣ x, t) & = \frac{p (x ∣ t, θ) p (t ∣ θ) p (θ)}{p (x ∣ t) p (t)} \\ (freq. suff.) & = \frac{p (t ∣ θ) p (θ)}{p (t)} \\ = p (θ ∣ t) . \end{aligned}

$\begin{align*} p(\theta \mid \mathbf{x}, t) &= \frac{p(\mathbf{x}\mid t,\theta)p(t \mid \theta) p(\theta)}{p(\mathbf{x}\mid t)p(t)} \\ &= \frac{p(t \mid \theta) p(\theta)}{p(t)} \tag{freq. suff.}\\ &= p(\theta \mid t). \end{align*}$

दूसरी ओर, यदि $T$ फिर बायेसियन तरीके से पर्याप्त है

\begin{aligned} p (x ∣ θ, t) & = \frac{p (x, θ, t)}{p (θ, t)} \\ = \frac{p (θ ∣ x, t) p (x, t)}{p (θ ∣ t) p (t)} \\ (Bayesian suff.) & = \frac{p (x, t)}{p (t)} \\ = p (x ∣ t) . \end{aligned}

$\begin{align*} p(\mathbf{x} \mid \theta, t) &= \frac{p(\mathbf{x}, \theta,t)}{p(\theta,t)}\\ &= \frac{p(\theta \mid \mathbf{x},t) p(\mathbf{x},t)}{p(\theta\mid t)p(t)}\\ &= \frac{p(\mathbf{x},t)}{p(t)} \tag{Bayesian suff.}\\ &= p(\mathbf{x} \mid t). \end{align*}$

"भविष्य कहनेवाला पर्याप्तता" के बारे में, वह क्या है?

संपादित करें: यदि आपके पास बायेसियन पर्याप्तता है, तो आपके पास भविष्य कहनेवाला क्षमता है:

\begin{aligned} p (x^{'} ∣ x) & = \int p (x^{'} ∣ θ) p (θ ∣ x) d θ \\ (Bayesian suff.) & = \int p (x^{'} ∣ θ) p (θ ∣ t) d θ \\ = p (x^{'} ∣ t) । \end{aligned}

$\begin{align*} p(\mathbf{x}' \mid \mathbf{x}) &= \int p(\mathbf{x}' \mid \theta)p(\theta \mid \mathbf{x}) d\theta\\ &= \int p(\mathbf{x}' \mid \theta) p(\theta \mid t)d\theta \tag{Bayesian suff.}\\ &= p(\mathbf{x}' \mid t). \end{align*}$

— टेलर
स्रोत

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टेलर, इसे उसी कड़ी में परिभाषित किया गया है, जो बेयसियन दक्षता के खंड में नीचे है।

— समुद्र में एक बूढ़ा आदमी।

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हम कुछ साल पहले एक दिलचस्प घटना के रूप में आए थे , जब एबीसी के साथ बायेसियन मॉडल की पसंद की जांच कर रहे थे । जो मुझे लगता है कि इस प्रश्न से संबंधित है। बायेसियन मॉडल पसंद के लिए वास्तव में पर्याप्तता की धारणा है जो बेयसियन दृष्टिकोण के बाहर विशेष रूप से सार्थक नहीं लगती है।

दो मॉडल दिए

म_{1} = {च_{θ} (\cdot); θ \in Θ}

$\mathfrak{M}_1=\{f_\theta(\cdot); \theta\in\Theta\}$ तथा

म_{2} = {{जी}_{ξ} (\cdot); ξ \in Ξ}

$\mathfrak{M}_2=\{g_\xi(\cdot); \xi\in\Xi\}$ और एक नमूना

x = (x_{1}, \dots, x_{n})

$\mathbf{x}=(x_1,\ldots,x_n)$ इन दो मॉडलों में से एक, एक आँकड़ा

S

$S$ मॉडल की पसंद के लिए या पूरे मॉडल में यदि वितरण के लिए पर्याप्त है

X

$\mathbf{X}$ सशर्त

S (X)

$S(\mathbf{X})$ या तो मॉडल सूचकांक (1 या 2) या मॉडल के भीतर पैरामीटर मान पर निर्भर नहीं करता है।

जब इस तरह के पर्याप्त आंकड़े मौजूद हैं, तो एक बेयस कारक पर आधारित है $\mathbf{X}$ के आधार पर एक बेयस कारक के रूप में ही है $S(\mathbf{X})$ । हालांकि यह एक ऐसी परिभाषा है जो प्रति बीसेन नहीं है, मुझे बायसीयन मॉडल विकल्प के बाहर कोई प्रत्यक्ष आवेदन नहीं दिखता है।

— शीआन
स्रोत