एक्स और वाई परस्पर संबंधित नहीं हैं, लेकिन एक्स कई प्रतिगमन में वाई का महत्वपूर्ण भविष्यवक्ता है। इसका क्या मतलब है?

Question

X और Y सहसंबद्ध नहीं हैं (-.01); हालाँकि, जब मैं X को एक मल्टीपल रिग्रेशन Y की भविष्यवाणी करता हूं, तो तीन (A, B, C) अन्य (संबंधित) वैरिएबल, X और दो अन्य वैरिएबल (A, B) के साथ Y के महत्वपूर्ण पूर्वानुमान हैं। ध्यान दें कि दो अन्य ( ए, बी) चर प्रतिगमन के बाहर वाई के साथ काफी सहसंबद्ध हैं।

मुझे इन निष्कर्षों की व्याख्या कैसे करनी चाहिए? X, Y में अद्वितीय विचरण की भविष्यवाणी करता है, लेकिन चूंकि ये सहसंबद्ध (पियर्सन) नहीं हैं, इसलिए किसी तरह व्याख्या करना मुश्किल है।

मैं विपरीत मामलों के बारे में जानता हूं (यानी, दो चर सहसंबद्ध हैं, लेकिन प्रतिगमन महत्वपूर्ण नहीं है) और वे सैद्धांतिक और सांख्यिकीय दृष्टिकोण से समझने के लिए अपेक्षाकृत सरल हैं। ध्यान दें कि कुछ भविष्यवक्ता काफी सहसंबद्ध हैं (जैसे .70), लेकिन इस हद तक नहीं कि मैं पर्याप्त बहुसंस्कृति की अपेक्षा करूँ। हो सकता है कि मैं गलत हूँ, हालाँकि।

नोट: मैंने यह प्रश्न पहले पूछा था और इसे बंद कर दिया गया था। तर्कसंगत यह था कि यह प्रश्न इस सवाल से बेमानी है कि " एक प्रतिगमन कैसे महत्वपूर्ण हो सकता है फिर भी सभी भविष्यवक्ता गैर-महत्वपूर्ण हो सकते हैं?""। शायद मैं अन्य प्रश्न को नहीं समझता, लेकिन मेरा मानना ​​है कि ये पूरी तरह से अलग प्रश्न हैं, दोनों गणितीय और सैद्धांतिक रूप से। मेरा प्रश्न पूरी तरह से स्वतंत्र है अगर" एक प्रतिगमन महत्वपूर्ण है "। इसके अलावा, कई भविष्यवक्ता महत्वपूर्ण हैं, जबकि दूसरा प्रश्न। चर महत्वपूर्ण नहीं हैं, इसलिए मुझे ओवरलैप दिखाई नहीं दे रहा है। यदि ये प्रश्न उन कारणों के लिए बेमानी हैं, जो मुझे समझ में नहीं आते हैं, तो कृपया इस प्रश्न को बंद करने से पहले एक टिप्पणी डालें। इसके अलावा, मैं उस मध्यस्थ को संदेश देने की उम्मीद कर रहा था जिसने दूसरे को बंद कर दिया था। समान प्रश्नों से बचने के लिए प्रश्न, लेकिन मुझे ऐसा करने का विकल्प नहीं मिला।

Comments

मुझे लगता है कि यह पिछले प्रश्न के समान है। यदि X और Y अनिवार्य रूप से असंबंधित हैं तो एक साधारण रेखीय प्रतिगमन में X के लिए ढलान गुणांक महत्वपूर्ण नहीं होगा। सभी ढलान के अनुमान के बाद नमूना सहसंबंध के लिए आनुपातिक है। नट मल्टीपल रिग्रेशन एक अलग कहानी हो सकती है क्योंकि एक्स और जेड एक साथ वाई में बहुत अधिक परिवर्तनशीलता की व्याख्या कर सकते हैं क्योंकि मेरा जवाब पिछले प्रश्न के उत्तर के समान लगता है शायद एक अलग समानता का संकेत देता है।

— माइकल आर। चेरिक

आपके जवाब के लिए धन्यवाद और दूसरे धागे में बहुत विस्तृत जवाब। मुझे इसकी थीसिस प्राप्त करने के लिए कुछ समय के लिए इसे पढ़ने की आवश्यकता होगी। मेरी दूसरी चिंता, मुझे लगता है, यह है कि इसे सांख्यिकीय या गणितीय रूप से समझने के बजाय व्यावहारिक रूप से व्याख्या कैसे करें। उदाहरण के लिए मान लें कि तैरने की गति और विशेषता चिंता परस्पर संबंधित नहीं हैं, लेकिन विशेषता चिंता अन्य भविष्यवक्ताओं के साथ-साथ कई प्रतिगमन में तैराकी गति का एक महत्वपूर्ण भविष्यवक्ता है। यह कैसे समझ में आ सकता है, व्यावहारिक रूप से? कहते हैं कि आप इसे एक नैदानिक ​​पत्रिका के चर्चा अनुभाग में लिख रहे थे!

— बेहकाद

@ जब से आप दो प्रश्नों को बनाए रखते हैं, डुप्लिकेट नहीं माने जाने के लिए पर्याप्त रूप से भिन्न हैं, कृपया अपने उत्तर को दूसरे के यहां स्थानांतरित करने के लिए स्वतंत्र महसूस करें। (मैं मूल रूप से अंतर की सराहना नहीं करने के लिए माफी माँगता हूँ।) नया नोट, मेरा मानना ​​है कि, सवालों को दबाने में गलत है गणितीय रूप से अलग हैं - @ माइकल चेरिक बताते हैं कि वे मूल रूप से एक ही हैं - लेकिन व्याख्या पर जोर एक वैध कारण स्थापित करता है। धागे अलग रखने के लिए।

— whuber

मैंने भी उत्तर को यहाँ स्थानांतरित कर दिया। मुझे लगता है कि दोनों प्रश्न काफी अलग हैं, लेकिन कुछ सामान्य स्पष्टीकरण साझा कर सकते हैं।

— JDav

इस वेबपेज में संबंधित विषयों की एक और शानदार चर्चा है। यह लंबा है, लेकिन बहुत अच्छा है और आपको मुद्दों को समझने में मदद कर सकता है। मैं इसे पूरी तरह से पढ़ने की सलाह देता हूं।

— गंग -

Answer 1

कारण सिद्धांत एक और स्पष्टीकरण प्रदान करता है कि कैसे दो चर बिना शर्त स्वतंत्र रूप से अभी तक सशर्त रूप से निर्भर हो सकते हैं। मैं कार्य-कारण के सिद्धांत का विशेषज्ञ नहीं हूं और किसी भी आलोचना के लिए आभारी हूं जो नीचे किसी भी गलतफहमी को सही करेगा।

समझाने के लिए, मैं निर्देशित एसाइक्लिक ग्राफ (DAG) का उपयोग करूँगा । इन ग्राफ़ में, चर ( $-$ ) चर के बीच प्रत्यक्ष कारण संबंधों का प्रतिनिधित्व करते हैं। एरो हेड्स ( $\leftarrow$ या $\rightarrow$ ) कारण संबंधों की दिशा का संकेत देते हैं। इस प्रकार $A \rightarrow B$ उल्लंघन होता है कि $A$ सीधे $B$ , और A ers B का कारण बनता है$A \leftarrow B$ infers कि $A$ सीधे के कारण होता है $B$ । $A \rightarrow B \rightarrow C$ एक कारण मार्ग है जो $A$ बात को संक्रमित करता है कि A अप्रत्यक्ष रूप से B के माध्यम से $C$ कारण बनता है$B$। सादगी के लिए, मान लें कि सभी कारण संबंध रैखिक हैं।

सबसे पहले, का एक सरल उदाहरण पर विचार confounder पूर्वाग्रह :

यहां, एक सरल द्विअर्थी प्रतिगमन $X$ और $Y$ बीच एक निर्भरता का सुझाव देगा । हालांकि, $X$ और $Y$ बीच कोई सीधा कारण संबंध नहीं है । इसके बजाय दोनों सीधे $Z$ कारण होते हैं , और साधारण द्विभाजन प्रतिगमन में, देख रहे हैं$Z$$X$ और$Y$ बीच एक निर्भरता को प्रेरित करता है, जिसके परिणामस्वरूपभ्रम पैदा होता है। हालांकि,$Z$ पर एक बहुपरत प्रतिगमन कंडीशनिंगपूर्वाग्रह को हटा देगा और$X$ और$Y$ बीच कोई निर्भरता नहीं होने का सुझाव देगा।

दूसरा, कोलाइडर पूर्वाग्रह (जिसे बर्कसन के पूर्वाग्रह या बर्कसियन पूर्वाग्रह के रूप में भी जाना जाता है, जिसमें से चयन पूर्वाग्रह एक विशेष प्रकार है) पर विचार करें:

यहां, एक सरल द्विअर्थी प्रतिगमन $X$ और $Y$ बीच कोई निर्भरता नहीं सुझाएगा । यह डीएजी से सहमत है, जो $X$ और $Y$ बीच कोई सीधा कारण नहीं है । हालांकि, $Z$ पर एक बहुक्रियाशील प्रतिगमन कंडीशनिंग $X$ और $Y$ बीच एक निर्भरता को प्रेरित करेगा जो यह सुझाव देगा कि दो चर के बीच एक सीधा कारण संबंध मौजूद हो सकता है, जब वास्तव में कोई भी मौजूद नहीं है। मल्टीवर्सिबल रिग्रेशन में $Z$ समावेश से कोलाइडर पूर्वाग्रह होता है।

तीसरा, आकस्मिक रद्दीकरण के एक उदाहरण पर विचार करें:

आइए हम मान लेते हैं कि $\alpha$ , $\beta$ , और $\gamma$ पथ गुणांक और है कि कर रहे हैं $\beta = -\alpha\gamma$ । एक साधारण द्विअर्थी प्रतिगमन $X$ और $Y$ बीच कोई प्रतिरूपण का सुझाव नहीं देगा । हालाँकि $X$ वास्तव में $Y$ का प्रत्यक्ष कारण है , X और Y पर $Z$ का परस्पर प्रभाव$X$$Y$ संयोग के प्रभाव बाहर रद्द $X$ पर $Y$ । $Z$ पर एक बहुक्रियाशील प्रतिगमन कंडीशनिंग, X और पर $Z$ के परस्पर प्रभाव को हटा देगा$X$$Y$ ,$X$ पर$Y$ के प्रत्यक्ष प्रभाव के आकलन के लिए अनुमति देता है,कारण मॉडल का DAG सही है।

संक्षेप में:

कन्फ़्यूडर का उदाहरण: $X$ और $Y$ बीवरेबल रिग्रेशन में निर्भर हैं और कन्फ़्यूडर $Z$ पर मल्टीवार्जेबल रिग्रेशन कंडीशनिंग में स्वतंत्र हैं ।

कोलाइडर उदाहरण: $X$ और $Y$ द्विविभाजन प्रतिगमन में स्वतंत्र हैं और कोलेडर $Z$ पर बहुक्रियाशील प्रतिगमन कंडीशनिंग में निर्भर हैं ।

अंतर्विरोधी रद्दीकरण उदाहरण: $X$ और $Y$ द्विअर्थी प्रतिगमन में स्वतंत्र होते हैं और कन्फ़ाउंडर $Z$ पर बहुआयामी प्रतिगामी कंडीशनिंग में निर्भर होते हैं ।

चर्चा:

आपके विश्लेषण के परिणाम कंफ़्यूडर उदाहरण के साथ संगत नहीं हैं, लेकिन दोनों कोलाइडर उदाहरण और आकस्मिक रद्द उदाहरण के साथ संगत हैं। इस प्रकार, एक संभावित व्याख्या यह है कि आपने अपने बहुविकल्पी प्रतिगमन में एक कोलाइडर चर पर गलत रूप से वातानुकूलित किया है और $X$ और $Y$ बीच एक जुड़ाव को प्रेरित किया है, भले ही $X$वाई का कारण नहीं है।$Y$ और $Y$ का एक कारण नहीं है $X$ । वैकल्पिक रूप से, आप अपने बहुविकल्पी प्रतिगमन में एक कन्फ्यूडर पर सही ढंग से वातानुकूलित हो सकते हैं जो आपके बीवरिबल रिग्रेशन में वाई पर $X$ के वास्तविक प्रभाव को गलती से रद्द कर रहा था ।$Y$

मैं कारण ज्ञान मॉडल का निर्माण करने के लिए पृष्ठभूमि ज्ञान का उपयोग करने में मदद करता हूं जब यह विचार करता हूं कि सांख्यिकीय मॉडल में कौन से चर शामिल हैं। उदाहरण के लिए, यदि पिछले उच्च-गुणवत्ता वाले यादृच्छिक अध्ययनों ने निष्कर्ष निकाला है कि $X$$Z$ कारण बनता है और $Y$$Z$ कारण बनता है , तो मैं एक मजबूत धारणा बना सकता हूं कि $Z$ , $X$ और $Y$ का कोलाइडर है और सांख्यिकीय मॉडल में इस पर कोई शर्त नहीं लगाता है । हालांकि, अगर मुझे केवल एक अंतर्ज्ञान था कि $X$$Z$ कारण बनता है , और $Y$$Z$ कारण बनता है , लेकिन मेरे अंतर्ज्ञान का समर्थन करने के लिए कोई मजबूत वैज्ञानिक सबूत नहीं है, तो मैं केवल एक कमजोर धारणा बना सकता हूं कि $Z$$X$ और $Y$ का एक कोलाइडर है , क्योंकि मानव अंतर्ज्ञान में गुमराह होने का इतिहास है। इसके बाद, मैं Z के साथ उनके कार्य संबंधों के आगे की जांच के बिना $X$ और $Y$ बीच कारणपरक संबंधों पर संदेह करूंगा । पृष्ठभूमि ज्ञान के अलावा या इसके अलावा, एसोसिएशन के परीक्षणों की एक श्रृंखला (जैसे पीसी एल्गोरिथ्म और FCI एल्गोरिथ्म, जावा कार्यान्वयन के लिए TETRAD देखें , PCalg$Z$आर कार्यान्वयन के लिए)। ये एल्गोरिदम बहुत दिलचस्प हैं, लेकिन मैं कारण सिद्धांत में शक्ति और कारण केलकुलस और कारण मॉडल की सीमाओं की मजबूत समझ के बिना उन पर भरोसा नहीं करना चाहूंगा।

निष्कर्ष:

कारण के मॉडल का विवेचन, अन्वेषक को अन्य उत्तरों में चर्चा किए गए सांख्यिकीय विचारों को संबोधित करने से नहीं रोकता है। हालांकि, मुझे लगता है कि कारण मॉडल तब भी एक उपयोगी ढांचा प्रदान कर सकते हैं, जब सांख्यिकीय मॉडल में मनाया सांख्यिकीय निर्भरता और स्वतंत्रता के लिए संभावित स्पष्टीकरण के बारे में सोच रहे हैं, खासकर जब संभावित confounders और colliders की कल्पना।

आगे की पढाई:

गेलमैन, एंड्रयू। 2011. " कारण और सांख्यिकीय शिक्षा ।" Am। जे। समाजशास्त्र 117 (3) (नवंबर): 955–966।

ग्रीनलैंड, एस, जे पर्ल, और जेएम रॉबिन्स। 1999. " महामारी विज्ञान के लिए कोशिक आरेख ।" महामारी विज्ञान (कैम्ब्रिज, मास।) 10 (1) (जनवरी): 37-48।

ग्रीनलैंड, सैंडर। 2003. " कोसल मॉडल्स में क्वांटिफाइंग बायसेस: क्लासिकल कन्फाउंडिंग बनाम कोलाइडर-स्तरीकरण बायस ।" महामारी विज्ञान 14 (3) (1 मई): 300–306।

पर्ल, जुडिया। 1998. कॉन्फाउंडिंग के लिए कोई सांख्यिकीय परीक्षण क्यों नहीं है, क्यों कई विचार हैं, और क्यों वे लगभग सही हैं ।

पर्ल, जुडिया। 2009. कारण: मॉडल, तर्क और अंतर्ज्ञान । दूसरा संस्करण। कैम्ब्रिज यूनिवर्सिटी प्रेस।

स्पिरिट्स, पीटर, क्लार्क ग्लाइमोर और रिचर्ड स्हीनेन्स। 2001. कारण, भविष्यवाणी और खोज , दूसरा संस्करण। एक ब्रैडफोर्ड पुस्तक।

अद्यतन करें: यहूदिया पर्ल ने अमस्ट न्यूज़ के नवंबर 2012 के संस्करण में कार्य- कारण निष्कर्ष के सिद्धांत और परिचयात्मक आँकड़ों के पाठ्यक्रम में समावेश को शामिल करने की आवश्यकता पर चर्चा की । उनका ट्यूरिंग अवार्ड लेक्चर , जिसका शीर्षक है "द मेकेनाइजेशन ऑफ एज़ल इन्वेंशन: ए 'मिनी' ट्यूरिंग टेस्ट एंड परे" भी रुचि का है।

Comments

कारण तर्क निश्चित रूप से मान्य हैं, लेकिन शोधकर्ता को उस दृष्टिकोण की सदस्यता के लिए अंतर्निहित घटना की बहुत अच्छी जानकारी की आवश्यकता होती है। मुझे आश्चर्य है कि अगर @Behacad का विश्लेषण केवल खोजपूर्ण है।

— JDav

@Behacad: जैसा कि मेरा उत्तर में उल्लेख किया है, मैं सुझाव है कि आप एक के बारे में भूल आपकी समस्या के रूप में एक मल्टीवेरिएट एक और द्विचर नहीं है। अपनी रुचि के चर के प्रभाव को मापने के लिए, आपको भिन्नता के अन्य स्रोतों के लिए नियंत्रण करने की आवश्यकता है जो x के मापा प्रभाव को विकृत कर सकते हैं। $\rho$

— JDav

+1 दृष्टांत और स्पष्टीकरण बहुत स्पष्ट और अच्छी तरह से किए गए हैं। प्रयास और शोध के लिए धन्यवाद (स्पष्ट रूप से) इस उत्तर में गया।

— whuber

इसके अलावा, क्या कोई मुझे "तीसरा, आकस्मिक रद्द करने के उदाहरण पर विचार कर सकता है?" का एक व्यावहारिक उदाहरण दे सकता है। कार्य-कारण का प्रश्न उठता है। यदि X और Y सहसंबद्ध नहीं हैं (अर्थात, X में परिवर्तन Y "में परिवर्तन से संबद्ध नहीं हैं), तो हम इस" कारण "पर कैसे विचार कर सकते हैं। यह ठीक है कि मैं एक और प्रश्न में क्या सोच रहा हूँ! आँकड़े .stackexchange.com/

— ३३६३

यह ध्यान देने योग्य है कि इनके लिए कुछ वैकल्पिक नाम हैं: कन्फाउंडर -> कॉमन कॉज़ मॉडल; कोलाइडर -> सामान्य प्रभाव मॉडल; & आकस्मिक रद्दीकरण आंशिक मध्यस्थता का एक विशेष मामला है।

— गोबर -

Answer 2

मुझे लगता है कि @ jthetzel का दृष्टिकोण सही है (+1)। इन परिणामों की व्याख्या करने के लिए आपको इस बारे में सोचना होगा / कुछ सिद्धांत हैं कि रिश्ते क्यों प्रकट होते हैं जैसे वे करते हैं। यही है, आपको अपने डेटा को रेखांकित करने वाले कारण संबंधों के पैटर्न के बारे में सोचने की आवश्यकता होगी। आपको यह पहचानने की आवश्यकता है, जैसा कि @jthetzel बताते हैं, आपके परिणाम कई अलग-अलग डेटा जनरेटिंग प्रक्रियाओं के अनुरूप हैं। मुझे नहीं लगता कि एक ही डेटासेट पर अतिरिक्त सांख्यिकीय परीक्षणों की कोई भी राशि आपको उन संभावनाओं के बीच अंतर करने की अनुमति देगी (हालांकि आगे के प्रयोग निश्चित रूप से हो सकते हैं)। इसलिए इस विषय के बारे में जो कुछ भी पता है, उसके बारे में कठिन सोचना यहाँ महत्वपूर्ण है।

मैं एक और संभावित अंतर्निहित स्थिति को इंगित करना चाहता हूं जो आपके जैसे परिणाम उत्पन्न कर सकती है: दमन । तीर आरेखों का उपयोग करके वर्णन करना अधिक कठिन है, लेकिन अगर मैं उन्हें थोड़ा बढ़ा सकता हूं, तो हम इस तरह से सोच सकते हैं:

इस स्थिति के बारे में क्या महत्वपूर्ण है कि दो भागों से बना है, एक असंबंधित ( यू ) भाग, और एक संबंधित ( आर ) भाग। शमन के साथ असहसंबद्ध हो जाएगा Y , लेकिन बहुत अच्छी तरह से एक बहु प्रतिगमन मॉडल में 'महत्वपूर्ण' हो सकता है। इसके अलावा, अन्य परिवर्तनीय अपने दम पर दमनकर्ता या वाई के साथ 'महत्वपूर्ण' नहीं हो सकता है । इसके अलावा, आपका चर X सप्रेसर या अन्य चर की भूमिका निभा सकता है$\text{Other Variable}$$\text{U}$$\text{R}$$\text{Suppressor}$$\text{Y}$$\text{Other Variable}$$\text{Suppressor}$$\text{Y}$$\text{Suppressor}$$\text{Other Variable}$ इस स्थिति में (और इस तरह, फिर से, आपको यह सोचने की ज़रूरत है कि अंतर्निहित पैटर्न आपके क्षेत्र के ज्ञान के आधार पर क्या हो सकता है)।

मुझे नहीं पता कि आप आर कोड पढ़ सकते हैं, लेकिन यहां एक उदाहरण मैंने काम किया है। (यह विशेष उदाहरण एक्स के साथ की भूमिका निभाते हुए बेहतर ढंग से फिट बैठता है , लेकिन दोनों वाई के साथ better महत्वपूर्ण रूप से सहसंबंधित ’नहीं हैं ; अन्य चर और वाई के बीच सहसंबंध प्राप्त करना संभव हो सकता है और 0 के करीब होना चाहिए और अन्य वर्णनात्मक शब्दों से मेल खाना चाहिए। सही सेटिंग्स।) $\text{Suppressor}$$\text{Y}$$\text{Other Variable}$$\text{Y}$

set.seed(888)                            # for reproducibility

S  =         rnorm(60, mean=0, sd=1.0)   # the Suppressor is normally distributed
U  = 1.1*S + rnorm(60, mean=0, sd=0.1)   # U (unrelated) is Suppressor plus error
R  =         rnorm(60, mean=0, sd=1.0)   # related part; normally distributed
OV = U + R                               # the Other Variable is U plus R
Y  = R +     rnorm(60, mean=0, sd=2)     # Y is R plus error

cor.test(S, Y)                           # Suppressor uncorrelated w/ Y
# t = 0.0283, df = 58, p-value = 0.9775
# cor 0.003721616 

cor.test(S, OV)                          # Suppressor correlated w/ Other Variable
# t = 8.655, df = 58, p-value = 4.939e-12
# cor 0.7507423

cor.test(OV,Y)                           # Other Var not significantly cor w/ Y
# t = 1.954, df = 58, p-value = 0.05553
# cor 0.2485251

summary(lm(Y~OV+S))                      # both Suppressor & Other Var sig in mult reg
# Coefficients:
#              Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)   
# (Intercept)   0.2752     0.2396   1.148  0.25557   
# OV            0.7232     0.2390   3.026  0.00372 **
# S            -0.7690     0.3415  -2.251  0.02823 * 

यहाँ मेरा कहना यह नहीं है कि यह स्थिति वह है जो आपके डेटा को रेखांकित करती है। मुझे नहीं पता कि यह विकल्प @jthetzel से अधिक या कम संभावना है। मैं केवल विचार के लिए इसे अधिक भोजन के रूप में पेश करता हूं। अपने वर्तमान परिणामों की व्याख्या करने के लिए, आपको इन संभावनाओं के बारे में सोचने और यह तय करने की आवश्यकता है कि क्या सबसे अधिक समझ में आता है। अपनी पसंद की पुष्टि करने के लिए, सावधानीपूर्वक प्रयोग की आवश्यकता होगी।

Comments

अति उत्कृष्ट! धन्यवाद। यह एक और अच्छा उदाहरण है जो मेरे डेटा में हो रहा है। लगता है जैसे मैं केवल एक उत्तर को स्वीकार कर सकता हूं, ...

— 16 अक्टूबर को Behacad

कोई बात नहीं, @Behacad, मुझे लगता है कि jthetzel चेक मार्क के हकदार हैं; मैं मदद करने के लिए खुश हूं।

— गूँग - मोनिका

Answer 3

बस कुछ दृश्य है कि यह संभव है।

चित्र पर (ए) "सामान्य" या "सहज" प्रतिगामी स्थिति को दिखाया गया है। यह चित्र यहाँ या यहाँ पाए गए (और समझाया गया) उदाहरण के समान है ।

वैरिएबल को वैक्टर के रूप में तैयार किया जाता है। उनके (उनके कोसाइन) के बीच के कोण चर के सहसंबंध हैं। यहाँ भविष्यवाणी मूल्यों के चर (अधिक बार के रूप में notated निर्दिष्ट Y )। एक भविष्यवक्ता वेक्टर (तिरछा प्रक्षेपण, अन्य भविष्यवक्ता के समानांतर) पर इसके किनारे का तिरछा समन्वय - notch $Y'$$\hat Y$$b$ - उस भविष्यवक्ता के प्रतिगमन गुणांक के लिए आनुपातिक है।

तस्वीर (ए) पर, सभी तीन चर सकारात्मक रूप से सहसंबंधित हैं, और और बी 2 दोनों भी सकारात्मक प्रतिगमन गुणांक हैं। प्रतिगमन में एक्स 1 और एक्स 2 "प्रतिस्पर्धा", प्रतिगमन गुणांक के साथ उस प्रतियोगिता में उनका स्कोर होता है।$b_1$$b_2$$X_1$$X_2$

$X_1$$Y$$Y'$$X_1$$Y'$$X_2$

$X_1$$Y$$X_1$ वेक्टर के )।

डेटा और विश्लेषण लगभग तस्वीर (बी) के लिए इसी:

       y       x1       x2
1.644540 1.063845  .351188
1.785204 1.203146  .200000
-1.36357 -.466514 -.961069
 .314549 1.175054  .800000
 .317955  .100612  .858597
 .970097 2.438904 1.000000
 .664388 1.204048  .292670
-.870252 -.993857 -1.89018
1.962192  .587540 -.275352
1.036381 -.110834 -.246448
 .007415 -.069234 1.447422
1.634353  .965370  .467095
 .219813  .553268  .348095
-.285774  .358621  .166708
1.498758 -2.87971 -1.13757
1.671538 -.310708  .396034
1.462036  .057677 1.401522
-.563266  .904716 -.744522
 .297874  .561898 -.929709
-1.54898 -.898084 -.838295

डेटा और विश्लेषण लगभग तस्वीर (ग) के लिए इसी:

       y       x1       x2
1.644540 1.063845  .351188
1.785204 -1.20315  .200000
-1.36357 -.466514 -.961069
 .314549 1.175054  .800000
 .317955 -.100612  .858597
 .970097 1.438904 1.000000
 .664388 1.204048  .292670
-.870252 -.993857 -1.89018
1.962192 -.587540 -.275352
1.036381 -.110834 -.246448
 .007415 -.069234 1.447422
1.634353  .965370  .467095
 .219813  .553268  .348095
-.285774  .358621  .166708
1.498758 -2.87971 -1.13757
1.671538 -.810708  .396034
1.462036 -.057677 1.401522
-.563266  .904716 -.744522
 .297874  .561898 -.929709
-1.54898 -1.26108 -.838295

$X_1$$Y$$-.224$$X_2$$.419$$.538$

Comments

धन्यवाद! यह अभी भी कुछ हद तक

— प्रतिशोधात्मक

Answer 4

मैं पिछले उत्तर से सहमत हूं, लेकिन आशा है कि मैं अधिक विवरण देकर योगदान कर सकता हूं।

$X$$Y$$x$$y$

$Y = a + \beta x + u$

$\hat \rho_{yx} = \hat \beta \hat\sigma_x/\hat\sigma_y$

$Y$

$Y = a + \beta x + \sum_j\alpha_jz_j + u$

$\beta$$z_j$$\rho$$\rho_{xy|z}$$z_j$

Comments

$\rho$$\rho$