क्या रेखीय संयोजन के तहत स्थिरता संरक्षित है?

Question

कल्पना करें कि हमारे पास दो समय-श्रृंखला प्रक्रियाएं हैं, जो स्थिर हैं, उत्पादन कर रही हैं: ।$x_t,y_t$

क्या , भी स्थिर है? ∀ अल्फा , बीटा ∈ $z_t=\alpha x_t +\beta y_t$$\forall \alpha, \beta \in \mathbb{R}$

किसी भी सहायता की सराहना की जाएगी।

मैं कहूंगा कि हां, क्योंकि इसमें एमए प्रतिनिधित्व है।

Comments

यह एमए होने की गारंटी क्यों है? स्थिर एआर प्रक्रियाएं हैं। किसी भी तरह से, यदि आप BIBO स्थिरता के बारे में बात कर रहे हैं, तो हाँ यह राशि तुच्छ रूप से स्थिर है क्योंकि आप नए घावों की गणना कर सकते हैं। स्पर्शोन्मुख स्थिरता भी रखती है क्योंकि$\lim_{t \to \infty} z_t = \alpha\lim_{t \to \infty} x_t + \beta\lim_{t \to \infty} y_t$

— स्टीव कॉक्स

कुछ विस्तार से संबंधित: संख्यात्मक विश्लेषण में ध्यान दें, आप स्थिरता में हासिल करने के लिए एक पूर्व-प्रदर्शनकर्ता (एक विशेष रैखिक परिवर्तन) कहा जाता है, इसलिए मुझे संदेह है कि उत्तर हां है।

— सर्ब

Answer 1

शायद आश्चर्य की बात है, यह सच नहीं है। (हालांकि, दो समय श्रृंखला की स्वतंत्रता इसे सच कर देगी।)

मैं स्थिर अर्थ के लिए "स्थिर" समझता हूं , क्योंकि उन शब्दों को हमारी साइट पर कम से कम एक सहित लाखों खोज हिटों में परस्पर उपयोग किया जाता है ।

प्रति एक के लिए, चलो एक गैर लगातार स्थिर समय श्रृंखला जिसके लिए हर हो से स्वतंत्र है , और जिसका सीमांत वितरण सममित के आसपास रहे हैं । परिभाषित करें$X$$X_t$$X_s$$s\ne t,$$0$

$$Y_t = (-1)^t X_t.$$

ये प्लॉट इस पोस्ट में चर्चा की गई तीन टाइम सीरीज़ के अंश दिखाते हैं। को मानक सामान्य वितरण से स्वतंत्र ड्रॉ की एक श्रृंखला के रूप में अनुकरण किया गया था।$X$

यह दिखाने के लिए कि स्थिर है, हमें यह प्रदर्शित करने की आवश्यकता है कि किसी भी के लिए का संयुक्त वितरण। पर निर्भर नहीं करता है । लेकिन यह सीधे की समरूपता और स्वतंत्रता से । $Y$$(Y_{s+t_1}, Y_{s+t_2}, \ldots, Y_{s+t_n})$$t_1\lt t_2 \lt \cdots \lt t_n$$s$$X_t$

ये लैग्ड स्कैप्लेट्स ( के 512 मानों के अनुक्रम के लिए ) इस दावे को स्पष्ट करते हैं कि के संयुक्त बीवरिएट वितरण अपेक्षित हैं: स्वतंत्र और सममित। (ए " " खिलाफ के मूल्यों को प्रदर्शित करता है, मान दिखाए गए हैं।)$Y$$Y$$Y_{t+s}$$Y_{t}$$s=0,1,2$

फिर भी, हमारे पास है$\alpha=\beta=1/2$

$$\alpha X_t + \beta Y_t = X_t$$

और अन्यथा के लिए भी$t$

$$\alpha X_t + \beta Y_t = 0.$$

चूंकि गैर-स्थिर है, जाहिर है कि इन दो अभिव्यक्तियों में किसी भी और लिए अलग-अलग वितरण होते हैं , श्रंखला स्थिर नहीं है। पहले आकृति के रंग शेष से शून्य मानों को अलग करके में इस गैर-स्थिरता को उजागर करते हैं ।$X$$t$$t+1$$(X+Y)/2$$(X+Y)/2$

Comments

दो समय श्रृंखला की स्वतंत्रता स्पष्ट रूप से एक पर्याप्त स्थिति है। लेकिन संयुक्त स्टेशनरी की कमजोर आवश्यकता भी पर्याप्त नहीं होगी?

— दिलीप सरवटे

हाँ, यह सही है @Dilip। उस अवलोकन के लिए धन्यवाद।

— whuber

Answer 2

द्वि-आयामी प्रक्रिया पर विचार करें

$$w_t = (x_t, y_t)$$

यदि यह सख्ती से स्थिर, या वैकल्पिक रूप से, अगर प्रक्रियाओं है और कर रहे हैं संयुक्त रूप से सख्ती से स्थिर है, तो एक प्रक्रिया किसी भी औसत दर्जे का समारोह द्वारा गठित भी सख्ती से स्थिर होगा।$(x_t)$$(y_t)$$f:= f(x_t,y_t), f:\mathbb R^2 \to \mathbb R$

@ व्हीबर का उदाहरण हमारे पास है

$$w_t = (x_t, (-1)^t x_t)$$

यह जांचने के लिए कि यह सख्ती से स्थिर है, हमें पहले इसकी संभाव्यता वितरण प्राप्त करना होगा। मान लें कि चर बिल्कुल निरंतर हैं। कुछ , हमारे पास है$w_t$$c \in \mathbb R$

$$\text{Prob}(X_t \leq c,(-1)^t X_t \leq c)= \cases {\text{Prob}(X_t \leq c, X_t \leq c)\;\;\;\; \text{t is even}\\ \\ \text{Prob}(X_t \leq c, -X_t \leq c)\;\;\;\; \text{t is odd}}$$

$$= \cases {\text{Prob}(X_t \leq c)\;\;\;\; \text{t is even}\\ \\ \text{Prob}(-c\leq X_t \leq c)\;\;\;\; \text{t is odd}}$$

$$\implies \text{Prob}(X_t \leq c,(-1)^t X_t \leq c)= \cases {\text{Prob}(X_t \leq c)\;\;\;\; \text{t is even}\\ \\ \text{Prob}( |X_t| \leq c)\;\;\;\; \text{t is odd}}$$

व्हीबर के उदाहरण के साथ चिपके हुए, दो शाखाएं अलग-अलग संभावना वाले वितरण हैं क्योंकि में शून्य के आसपास वितरण सममित है। $x_t$

अब सख्त स्थिरता की जांच करने के लिए, सूचकांक को एक पूर्ण संख्या स्थानांतरित करें । हमारे पास है$k>0$

$$\text{Prob}(X_{t+k} \leq c,(-1)^t X_{t+k} \leq c)= \cases {\text{Prob}(X_{t+k} \leq c)\;\;\;\; \text{t+k is even}\\ \\ \text{Prob}( |X_{t+k}| \leq c)\;\;\;\; \text{t+k is odd}}$$

सख्ती के लिए, हमारे पास होना चाहिए

$$\text{Prob}(X_t \leq c,(-1)^t X_t \leq c)=\text{Prob}(X_{t+k} \leq c,(-1)^t X_{t+k} \leq c),\;\;\; \forall t,k$$

और हमारे पास यह समानता , क्योंकि, कहते हैं, यदि सम है और विषम है, तो विषम है, किस स्थिति में$\forall t,k$$t$$k$$t+k$

$$\text{Prob}(X_t \leq c,(-1)^t X_t \leq c) = \text{Prob}(X_t \leq c)$$

जबकि

$$\text{Prob}(X_{t+k} \leq c,(-1)^t X_{t+k} \leq c) = \text{Prob}( |X_{t+k}| \leq c)= \text{Prob}( |X_{t}| \leq c)$$

इसलिए हमारे पास संयुक्त सख्त स्टेशनरी नहीं है , और फिर हमारे पास एक फ़ंक्शन का क्या होगा, इसके बारे में कोई गारंटी नहीं है । $f(x_t,y_t)$

मुझे यह होगा कि और बीच निर्भरता , एक आवश्यक है, लेकिन संयुक्त सख्त के नुकसान के लिए पर्याप्त स्थिति नहीं है। यह उस सूचकांक पर की निर्भरता की अतिरिक्त धारणा है जो काम करता है।$x_t$$y_t$$y_t$

विचार करें

$$q_t = (x_t, \theta x_t),\;\;\; \theta \in \mathbb R$$

यदि कोई लिए पिछला काम करता है, तो यह पाया जाएगा कि संयुक्त सख्त यहाँ है।$(q_t)$

यह अच्छी खबर है क्योंकि सूचकांक पर निर्भर होने की प्रक्रिया के लिए और कड़ाई से स्थिर होना मॉडलिंग की धारणाओं में से नहीं है जिसे हमें बहुत बार बनाने की जरूरत है। व्यवहार में इसलिए, अगर हमारे पास सीमांत सख्त स्थान है, तो हम निर्भरता की उपस्थिति में भी संयुक्त सख्त स्टेशनरी की उम्मीद करते हैं (हालांकि हमें निश्चित रूप से जांच करनी चाहिए।)

Answer 3

मैं कहूंगा कि हां, क्योंकि इसमें एमए प्रतिनिधित्व है।

एक अवलोकन। मुझे लगता है कि एमए प्रतिनिधित्व होने से कमजोर स्थिरता का पता चलता है, यह सुनिश्चित नहीं होता है कि इसका मतलब मजबूत स्टेशनरी से है।

Comments

"मैं कल्पना नहीं कर सकता": कृपया प्रतिसाद के लिए मेरा उत्तर देखें।

— whuber

oneloop, सख्त स्टेशनरी से संबंधित भाग को हटा दें, और बस कमजोर स्टेशनरी से संबंधित को छोड़ दें। मैं आपको एक +1 दूंगा, क्योंकि इससे मुझे भी मदद मिली। ;)

— समुद्र में एक बूढ़ा आदमी।

@Anoldmaninthesea। ऐशे ही?

— ओनेलोप

हाँ उसी तरह। एमए प्रतिनिधित्व का तात्पर्य है कमजोर स्थिरता, वास्तव में।

— समुद्र में एक बूढ़ा आदमी।

यह स्वचालित रूप से निम्न गुणवत्ता के रूप में चिह्नित किया जा रहा है, शायद इसलिए कि यह बहुत कम है। वर्तमान में यह हमारे मानकों के जवाब की तुलना में अधिक टिप्पणी है। क्या आप इसका विस्तार कर सकते हैं? आप इसे टिप्पणी में भी बदल सकते हैं।

— गंग -