गाऊसी अनुपात वितरण: डेरिवेटिव्स अंतर्निहित अंतर्निहित 's और s

Question

मैं दो स्वतंत्र सामान्य वितरण और साथ काम कर रहा हूं , जिसका अर्थ है और और variances और ।$X$$Y$$\mu_x$$\mu_y$$\sigma^2_x$$\sigma^2_y$

मुझे उनके अनुपात के वितरण में दिलचस्पी है । न तो और का शून्य का मतलब है, इसलिए को कॉची के रूप में वितरित नहीं किया गया है।$Z=X/Y$$X$$Y$$Z$

मुझे का CDF खोजने की आवश्यकता है , और फिर CDF के व्युत्पन्न को , , और ।$Z$$\mu_x$$\mu_y$$\sigma^2_x$$\sigma^2_y$

क्या किसी को एक कागज पता है जहां ये पहले से ही गणना की गई हैं? या यह खुद कैसे करें?

मुझे 1969 के पेपर में सीडीएफ के लिए सूत्र मिला , लेकिन इन व्युत्पत्तियों को लेना निश्चित रूप से बहुत बड़ा दर्द होगा। हो सकता है कि किसी ने पहले ही कर लिया हो या यह आसानी से करना जानता हो? मुझे मुख्य रूप से इन डेरिवेटिव के संकेतों को जानने की आवश्यकता है।

इस पेपर में एक विश्लेषणात्मक रूप से सरल सन्निकटन शामिल है यदि ज्यादातर सकारात्मक है। मेरे पास वह प्रतिबंध नहीं हो सकता। हालांकि, शायद अनुमान के समान पैरामीटर के बाहर भी वास्तविक व्युत्पन्न के समान संकेत है?$Y$

Comments

मैंने आपके लिए जोड़ दिया है । आपने "सिग्मा" लिखा, लेकिन उल्लेख किया कि ये भिन्नताएं थीं, इसलिए मैंने उन्हें सिग्मा-स्क्वायर्ड बना दिया। सुनिश्चित करें कि यह अभी भी वही कहता है जो आप पूछना चाहते हैं। $\TeX$

— गुंग - को पुनः स्थापित मोनिका

en.wikipedia.org/wiki/Ratio_distribution में प्रायिकता घनत्व कार्य है।

— डगलस ज़ेरे

ऊपर के पेपर की तरह ही पीडीएफ भी है। मैं अंतर्निहित मांस और सिग्मा के संबंध में सीडीएफ के व्युत्पन्न लेने की कोशिश कर रहा हूं।

— एबीसी

डेविड हिंकले द्वारा पाया गया पीडीएफ का फॉर्मूला पूरी तरह से बंद-रूप में है। तो आप एक समय में एक कदम, उन डेरिवेटिव ले जा सकते हैं। मैं वास्तव में इस तरह के व्युत्पन्न करने के बिंदु के बारे में उत्सुक हूं क्योंकि कोई कारण नहीं है कि संकेत वास्तविक संख्याओं पर समान रूप से स्थिर होना चाहिए ...

— शीआन

@ABC आप इस पेपर के समीकरण 1 में का घनत्व पा सकते हैं । मैंने कुछ समय पहले इस पर काम किया था और यह हिंकले के परिणाम और मार्साग्लिया के परिणाम से सहमत है । यह ब्रूट बल के साथ-साथ डगलस ज़ेरे द्वारा सुझाया जा सकता है (मैंने इसे किया, केवल तभी अनुशंसित किया जाता है यदि आपको वास्तव में करने की आवश्यकता है)। $X/Y$

Answer 1

कुछ संबंधित कागजात:

विकी: ` http://en.wikipedia.org/wiki/Ratio_distribution

1. http://www.jstatsoft.org/v16/i04/

2. http://link.springer.com/article/10.1007/s00362-012-0429-2

3. http://mrvar.fdv.uni-lj.si/pub/mz/mz1.1/cedilnik.pdf

Comments

साइट पर आपका स्वागत है, @Quantum। क्या आप इन पत्रों का एक संक्षिप्त सारांश देने का मन करेंगे, ताकि पाठकों को यह पता चल सके कि क्या वे वही हैं जो वे खोल रहे हैं और हर एक को पढ़े बिना?

— गूँग - मोनिका

@gung हां, मुझे बुरा लगा ... बस मजाक कर रहे हैं। इस विषय पर सबसे नए कागजात हैं, जिसमें के घनत्व के लिए अभिव्यक्ति है , मेरे ज्ञान का सर्वश्रेष्ठ है। विषय इतना गर्म नहीं है, इसलिए यह संभावना है कि यह सूची अप-टू-डेट है जब तक आप इसे वर्ष 2527 पर नहीं पढ़ रहे हों।$Z=X/Y$

— क्वांटम

क्वांटम - जो @ गंग की चिंता को संबोधित नहीं करता है। लिंक-केवल उत्तर आमतौर पर स्वीकार्य नहीं हैं। गंग ने पूछा है कि क्या आप 'इन पत्रों का संक्षिप्त सारांश दे सकते हैं' (मतलब 'आपके उत्तर में')। किसी टिप्पणी में आपका सामूहिक विवरण पर्याप्त नहीं है। कृपया प्रत्येक लिंक का संक्षिप्त विवरण दें (यदि संभव हो तो, व्यक्तिगत रूप से, सामूहिक रूप से नहीं) जो यह दर्शाता है कि आपने इसे क्यों शामिल किया / यह प्रासंगिक क्यों है। जैसा कि यह आपके संभावित उपयोगी उत्तर जोखिमों को एक टिप्पणी में परिवर्तित करता है - जैसा कि पहले से ही इस प्रश्न के लिए केवल लिंक के साथ हुआ है।

— Glen_b -Reinstate मोनिका

मुझे समझ में नहीं आता कि अनुपात की उम्मीद क्यों नहीं है। यदि और संयुक्त रूप से शून्य से भिन्न माध्य के साथ समान रूप से वितरित किए जाते हैं, तो अर्थ , मुझे क्या याद आ रहा है? वाई जेड = $X$$Y$ ∫∫$Z = \frac{X}{Y}$$\int \int \frac{x}{y} p \left( x, y \right) dx dy$

— रॉय

Whay आप याद कर रहे हैं तथ्य यह है कि का घनत्व शून्य पर निरंतर और सकारात्मक है, ताकि भारी पूंछ उत्पन्न हो ...$y$

— kjetil b halvorsen

Answer 2

यदि आपके पास कोई लाइसेंस नहीं है, तो यदि आप के पास माथेमैटिक जैसा कोई प्रतीकात्मक गणित पैकेज है, तो उसका उपयोग करने पर विचार करें।

यदि आपका सिर्फ संख्यात्मक कार्य कर रहा है, तो आप केवल संख्यात्मक भेदभाव पर भी विचार कर सकते हैं।

थकाऊ होने पर, यह सीधे आगे दिखता है। यही है, इसमें शामिल सभी कार्यों में डेरिवेटिव की गणना करना आसान है। आप अपने परिणाम का परीक्षण करने के लिए संख्यात्मक विभेदीकरण का उपयोग कर सकते हैं जब आपको यह सुनिश्चित करने के लिए किया जाता है कि आपके पास सही सूत्र है।

Answer 3

यह समस्या का एक प्रकार है जो बहुत ही आसान है, और कम त्रुटि के रूप में अच्छी तरह से प्रवण है। चूंकि आप कहते हैं कि आपको केवल संकेतों की आवश्यकता है, इसलिए मैं मानता हूं कि सटीक संख्यात्मक अनुमान आपकी आवश्यकताओं के लिए पर्याप्त से अधिक हैं। यहाँ कुछ कोड है जिसका उदाहरण विरुद्ध व्युत्पन्न है : $\mu_x$

pratio <- function(z, mu_x=1.0, mu_y=1.0,var_x=0.2, var_y=0.2) {
    sd_x <- sqrt(var_x)
    sd_y <- sqrt(var_y)

    a <- function(z) {
        sqrt(z*z/var_x+1/var_y)
    }

    b <- function(z) {
        mu_x*z/var_x + mu_y/var_y
    }

    c <- mu_x^2/var_x + mu_y^2/var_y

    d <- function(z) {
        exp((b(z)^2 - c*a(z)^2)/(2*a(z)^2))
    }


    t1 <- (b(z)*d(z)/a(z)^3)
    t2 <- 1.0/(sqrt(2*pi)*sd_x*sd_y)
    t3 <- pnorm(b(z)/a(z)) - pnorm(-b(z)/a(z))
    t4 <- 1.0/(a(z)^2*pi*sd_x*sd_y)
    t5 <- exp(-c/2.0)
    return(t1*t2*t3 + t4*t5)
}

# Integrates to 1, so probably no typos.
print(integrate(pratio, lower=-Inf, upper=Inf))

cdf_ratio <- function(x, mu_x=1.0, mu_y=1.0,var_x=0.2, var_y=0.2) {
    integrate(function(x) {pratio(x, mu_x, mu_y, var_x, var_y)}, 
        lower=-Inf, upper=x, abs.tol=.Machine$double.eps)$value
} 

# Numerical differentiation here is very easy:
derv_mu_x <- function(x, mu_x=1.0, mu_y=1.0,var_x=0.2, var_y=0.2) {
    eps <- sqrt(.Machine$double.eps)
    left <- cdf_ratio(x, mu_x+eps, mu_y, var_x, var_y)
    right <- cdf_ratio(x, mu_x-eps, mu_y, var_x, var_y)
    return((left - right)/(2*eps))
}