जब और स्वतंत्र रूप से

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$X$ और स्वतंत्र रूप से यादृच्छिक चर वितरित किए जाते हैं जहां और । का वितरण क्या है ? $Y$ $X\sim\chi^2_{(n-1)}$ $Y\sim\text{Beta}\left(\frac{n}{2}-1,\frac{n}{2}-1\right)$ $Z=(2Y-1)\sqrt X$

का संयुक्त घनत्व द्वारा दिया जाता है $(X,Y)$

f_{X, Y} (x, y) = f_{X} (x) f_{Y} (y) = \frac{e^{- \frac{x}{2}} x^{\frac{n - 1}{2} - 1}}{2^{\frac{n - 1}{2}} Γ (\frac{n - 1}{2})} \cdot \frac{y^{\frac{n}{2} - 2} (1 - y)^{\frac{n}{2} - 2}}{B (\frac{n}{2} - 1, \frac{n}{2} - 1)} 1_{{x > 0, 0 < y < 1}}

$f_{X,Y}(x,y)=f_X(x)f_Y(y)=\frac{e^{-\frac{x}{2}}x^{\frac{n-1}{2}-1}}{2^{\frac{n-1}{2}}\Gamma\left(\frac{n-1}{2}\right)}\cdot\frac{y^{\frac{n}{2}-2}(1-y)^{\frac{n}{2}-2}}{B\left(\frac{n}{2}-1,\frac{n}{2}-1\right)}\mathbf1_{\{x>0\,,\,0<y<1\}}$

चर के परिवर्तन का उपयोग करना जैसे कि और , $(X,Y)\mapsto(Z,W)$ $Z=(2Y-1)\sqrt X$ $W=\sqrt X$

मैं के संयुक्त घनत्व प्राप्त के रूप में $(Z,W)$

f_{Z, W} (z, w) = \frac{e^{- \frac{w^{2}}{2}} w^{n - 3} {(\frac{1}{4} - \frac{z^{2}}{4 w^{2}})}^{\frac{n}{2} - 2}}{2^{\frac{n - 1}{2}} Γ (\frac{n - 1}{2}) B (\frac{n}{2} - 1, \frac{n}{2} - 1)} 1_{{w > 0, | z | < w}}

$f_{Z,W}(z,w)=\frac{e^{-\frac{w^2}{2}}w^{n-3}\left(\frac{1}{4}-\frac{z^2}{4w^2}\right)^{\frac{n}{2}-2}}{2^{\frac{n-1}{2}}\Gamma\left(\frac{n-1}{2}\right)B\left(\frac{n}{2}-1,\frac{n}{2}-1\right)}\mathbf1_{\{w>0\,,\,|z|<w\}}$

का सीमांत pdf फिर , जो मुझे कहीं भी नहीं ले जाता है। $Z$ $f_Z(z)=\displaystyle\int_{|z|}^\infty f_{Z,W}(z,w)\,\mathrm{d}w$

फिर, के वितरण फ़ंक्शन को खोजने के दौरान , एक अपूर्ण बीटा / गामा फ़ंक्शन दिखाता है: $Z$

$F_Z(z)=\Pr(Z\le z)$

$\quad\qquad=\Pr((2Y-1)\sqrt X\le z)=\displaystyle\iint_{(2y-1)\sqrt{x}\le z}f_{X,Y}(x,y)\,\mathrm{d}x\,\mathrm{d}y$

यहाँ चरों का उपयुक्त परिवर्तन क्या है? क्या का वितरण खोजने का एक और तरीका है $Z$ ?

मैंने ची-चुकता, बीटा, 'एफ' और 'टी' वितरणों के बीच विभिन्न संबंधों का उपयोग करने की कोशिश की लेकिन कुछ भी काम नहीं करता है। शायद मैं कोई बहुत ही स्पष्ट चीज़ देख नहीं पा रहा।

जैसा कि @Francis द्वारा उल्लेख किया गया है, यह परिवर्तन बॉक्स-म्यूलर परिवर्तन का सामान्यीकरण है।

— StubbornAtom
स्रोत

4

बॉक्स-मुलर परिवर्तन के सामान्यीकरण जैसा दिखता है

— फ्रांसिस

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यहाँ एक बीजगणितीय प्रमाण है। मैं इसके बजाय (चुकता नहीं) करने जा रहा हूं ताकि हमें खोजने की आवश्यकता हो । ये सभी वैध घनत्व होने की गारंटी हैं, इसलिए मैं सामान्यीकरण स्थिरांक को ट्रैक नहीं करने जा रहा हूं। हमारे पास चलो और तो उलटा रूपांतरण कर रहे हैं और । यह हमें देता है । यह हमें ले जाता है $X \sim \chi_{n-1}$ $Z := (2Y - 1)X$

f_{X, Y} (x, y) \propto x^{n - 2} e^{- x^{2} / 2} {[y (1 - y)]}^{n / 2 - 2} 1_{{0 < x, 0 < y < 1}} .

$f_{X,Y}(x,y) \propto x^{n-2}e^{-x^2/2}\left[y(1-y)\right]^{n/2-2} \mathbf 1_{\{0 < x, \, 0 < y < 1\}}.$

Z = (2 y - 1) X

$Z = (2y-1)X$

W = X

$W=X$

x (z, w) = w

$x(z,w) = w$

y (z, w) = \frac{z + w}{2 w} = \frac{z}{2 w} + \frac{1}{2}

$y(z,w) = \frac{z+w}{2w} = \frac{z}{2w} + \frac 12$

| J | = \frac{1}{2 w}

$|J| = \frac 1{2w}$

f_{Z, W} (z, w) \propto w^{n - 1} e^{- w^{2} / 2} {[\frac{z + w}{2 w} (1 - \frac{z + w}{2 w})]}^{n / 2 - 2} 1_{{0 < w, - 1 < \frac{z}{w} < 1}}

$f_{Z,W}(z,w) \propto w^{n-1}e^{-w^2/2} \left[\frac{z+w}{2w} \left( 1 - \frac{z+w}{2w}\right)\right]^{n/2-2} \mathbf 1_{\{0 < w, \, -1 < \frac zw < 1\}}$

\propto w e^{- w^{2} / 2} {(w^{2} - z^{2})}^{n / 2 - 2} 1_{{| z | < w}} .

$\propto w e^{-w^2/2} \left(w^2-z^2\right)^{n/2-2} \mathbf 1_{\{|z| < w\}}.$ इस प्रकार

f_{Z} (z) \propto \int_{w > | z |} w e^{- w^{2} / 2} {(w^{2} - z^{2})}^{n / 2 - 2} d w .

$f_Z(z) \propto \int_{w > |z|} w e^{-w^2/2} \left(w^2-z^2\right)^{n/2-2} \,\text dw.$

सुविधा के लिए । को से प्राप्त करने के लिए दोनों पक्षों को गुणा करें अब so । यह हमें क्योंकि यह अंतिम इंटीग्रल पर निर्भर नहीं करता है , हमने दिखाया है कि , इसलिए $m = n/2-2$ $e^{z^2/2}$

e^{z^{2} / 2} f_{Z} (z) \propto \int_{| z |}^{\infty} w e^{- (w^{2} - z^{2}) / 2} (w^{2} - z^{2})^{m} d w .

$e^{z^2/2} f_Z(z) \propto \int_{|z|}^\infty w e^{-(w^2-z^2)/2}(w^2-z^2)^m \,\text dw.$

2 u = w^{2} - z^{2}

$2u = w^2 - z^2$

d u = w d w

$\text du = w\,\text dw$

e^{z^{2} / 2} f_{Z} (z) \propto 2^{m} \int_{0}^{\infty} u^{m} e^{- u} d u = 2^{m} Γ (m + 1) .

$e^{z^2/2} f_Z(z) \propto 2^m \int_0^\infty u^m e^{-u} \,\text du = 2^m \Gamma(m+1).$

z

$z$

e^{z^{2} / 2} f_{Z} (z) \propto 1

$e^{z^2/2} f_Z(z) \propto 1$

Z \sim N (0, 1) .

$Z \sim \mathcal N(0, 1).$

— जेएलडी
स्रोत

1

+1। मुझे खुशी है कि आपने इस उत्तर को बहाल किया, क्योंकि यह सभी मूल्यों को कवर करता है , न कि केवल अभिन्न लोगों को।

n

$n$

— whuber

@ धन्यवाद धन्यवाद, मैंने किसी तरह को बजाय डाला और मुझे यह पता लगाने में

z^{2} - w^{2}

$z^2-w^2$

w^{2} - z^{2}

$w^2-z^2$

n

$n$

— थोड़ा

9

$2Y-1$ को क्षेत्र पर एक समान वितरण के एक समन्वय की $n-1$ तरह वितरित किया जाता है ; में iid मानक सामान्य चर के वर्गों के योग का वितरण है ; और ये दो मात्राएँ स्वतंत्र हैं। ज्यामितीय रूप से में एक समन्वय का वितरण है: अर्थात, इसका मानक सामान्य वितरण होना चाहिए। $X$ $n-1$ $(2Y-1)\sqrt{X}$

(यह तर्क अभिन्न पर लागू होता है ।) $n=2,3,4,\ldots$

यदि आपको कुछ संख्यात्मक संकल्प की आवश्यकता है (जो हमेशा बुद्धिमान है, क्योंकि यह तर्क और गणना में त्रुटियों को उजागर कर सकता है), अनुकरण करें:

सिम्युलेटेड परिणामों और दावा किए गए मानक सामान्य वितरण के बीच समझौता के मूल्यों की इस श्रेणी में उत्कृष्ट है । $n$

Rयदि आप चाहें तो इन प्लॉटों का निर्माण करने वाले कोड के साथ आगे प्रयोग करें ।

n.sim <- 1e5
n <- 2:5
X <- data.frame(Z = c(sapply(n, function(n){
  y <- rbeta(n.sim, n/2-1, n/2-1)  # Generate values of Y
  x <- rchisq(n.sim, n-1)          # Generate values of X
  (2*y - 1) * sqrt(x)              # Return the values of Z
})), n=factor(rep(n, each=n.sim)))

library(ggplot2)
#--Create points along the graph of a standard Normal density
i <- seq(min(z), max(z), length.out=501)
U <- data.frame(X=i, Z=dnorm(i))

#--Plot histograms on top of the density graphs
ggplot(X, aes(Z, ..density..)) + 
  geom_path(aes(X,Z), data=U, size=1) +
  geom_histogram(aes(fill=n), bins=50, alpha=0.5) + 
  facet_wrap(~ n) + 
  ggtitle("Histograms of Simulated Values of Z",
          paste0("Sample size ", n.sim))

— व्हीबर
स्रोत

1

धन्यवाद, @Stubborn। इससे कोई फर्क नहीं पड़ता कि पैरामीटर सुसंगत हैं, अन्यथा निष्कर्ष गलत है। मैं इसे ठीक कर दूंगा।

— whuber

3

जैसा कि उपयोगकर्ता @Chaconne पहले ही कर चुका है, मैं इस विशेष परिवर्तन के साथ बीजगणितीय प्रमाण प्रदान करने में सक्षम था। मैंने कोई विवरण नहीं छोड़ा है।

( के घनत्व के वैध होने के लिए हमारे पास पहले से ही है)। $n>2$ $Y$

हमें परिवर्तन पर विचार करें ऐसी है कि और । $(X,Y)\mapsto (U,V)$ $U=(2Y-1)\sqrt{X}$ $V=X$

इसका तात्पर्य है और । $x=v$ $y=\frac{1}{2}\left(\frac{u}{\sqrt{v}}+1\right)$

अब, और , $x>0\implies v>0$ $0<y<1\implies-\sqrt{v}<u<\sqrt{v}$

इतना है कि का द्विवार्षिक समर्थन । $(U,V)$ $S=\{(u,v):0<u^2<v<\infty,\,u\in\mathbb{R}\}$

परिवर्तन के याकूब का पूर्ण मूल्य है । $|J|=\frac{1}{2\sqrt{v}}$

संयुक्त का घनत्व इस प्रकार है $(U,V)$

f_{U, V} (u, v) = \frac{e^{- \frac{v}{2}} v^{\frac{n - 1}{2} - 1} {(\frac{u}{\sqrt{v}} + 1)}^{\frac{n}{2} - 2} {(\frac{1}{2} - \frac{u}{2 \sqrt{v}})}^{\frac{n}{2} - 2} Γ (n - 2)}{(2 \sqrt{v}) 2^{\frac{n - 1}{2} + \frac{n}{2} - 2} Γ (\frac{n - 1}{2}) {(Γ (\frac{n}{2} - 1))}^{2}} 1_{S}

$f_{U,V}(u,v)=\frac{e^{-\frac{v}{2}}v^{\frac{n-1}{2}-1}\left(\frac{u}{\sqrt{v}}+1\right)^{\frac{n}{2}-2}\left(\frac{1}{2}-\frac{u}{2\sqrt{v}}\right)^{\frac{n}{2}-2}\Gamma(n-2)}{(2\sqrt{v})\,2^{\frac{n-1}{2}+\frac{n}{2}-2}\,\Gamma\left(\frac{n-1}{2}\right)\left(\Gamma\left(\frac{n}{2}-1\right)\right)^2}\mathbf1_{S}$

= \frac{e^{- \frac{v}{2}} v^{\frac{n - 4}{2}} (\sqrt{v} + u)^{\frac{n}{2} - 2} (\sqrt{v} - u)^{\frac{n}{2} - 2} Γ (n - 2)}{2^{\frac{2 n - 3}{2} + \frac{n}{2} - 2} (\sqrt{v})^{n - 4} Γ (\frac{n - 1}{2}) {(Γ (\frac{n - 2}{2}))}^{2}} 1_{S}

$=\frac{e^{-\frac{v}{2}}v^{\frac{n-4}{2}}(\sqrt{v}+u)^{\frac{n}{2}-2}(\sqrt{v}-u)^{\frac{n}{2}-2}\,\Gamma(n-2)}{2^{\frac{2n-3}{2}+\frac{n}{2}-2}\,(\sqrt{v})^{n-4}\,\Gamma\left(\frac{n-1}{2}\right)\left(\Gamma\left(\frac{n-2}{2}\right)\right)^2}\mathbf1_{S}$

अब, लीजेंड्रे के दोहराव सूत्र का उपयोग करते हुए,

$\Gamma(n-2)=\frac{2^{n-3}}{\sqrt \pi}\Gamma\left(\frac{n-2}{2}\right)\Gamma\left(\frac{n-2}{2}+\frac{1}{2}\right)=\frac{2^{n-3}}{\sqrt \pi}\Gamma\left(\frac{n-2}{2}\right)\Gamma\left(\frac{n-1}{2}\right)$ जहां । $n>2$

तो , $n>2$

f_{U, V} (u, v) = \frac{2^{n - 3} e^{- \frac{v}{2}} (v - u^{2})^{\frac{n}{2} - 2}}{\sqrt{π} 2^{\frac{3 n - 7}{2}} Γ (\frac{n}{2} - 1)} 1_{S}

$f_{U,V}(u,v)=\frac{2^{n-3}\,e^{-\frac{v}{2}}(v-u^2)^{\frac{n}{2}-2}}{\sqrt \pi\,2^{\frac{3n-7}{2}}\,\Gamma\left(\frac{n}{2}-1\right)}\mathbf1_{S}$

सीमांत पीडीएफ द्वारा तब दिया जाता है $U$

f_{U} (u) = \frac{1}{2^{\frac{n - 1}{2}} \sqrt{π} Γ (\frac{n}{2} - 1)} \int_{u^{2}}^{\infty} e^{- \frac{v}{2}} (v - u^{2})^{\frac{n}{2} - 2} d v

$f_U(u)=\frac{1}{2^{\frac{n-1}{2}}\sqrt \pi\,\Gamma\left(\frac{n}{2}-1\right)}\int_{u^2}^\infty e^{-\frac{v}{2}}(v-u^2)^{\frac{n}{2}-2}\,\mathrm{d}v$

= \frac{e^{- \frac{u^{2}}{2}}}{2^{\frac{n - 1}{2}} \sqrt{π} Γ (\frac{n}{2} - 1)} \int_{0}^{\infty} e^{- \frac{t}{2}} t^{(\frac{n}{2} - 1 - 1)} d t

$=\frac{e^{-\frac{u^2}{2}}}{2^{\frac{n-1}{2}}\sqrt \pi\,\Gamma\left(\frac{n}{2}-1\right)}\int_0^\infty e^{-\frac{t}{2}}\,t^{(\frac{n}{2}-1-1)}\,\mathrm{d}t$

= \frac{1}{2^{\frac{n - 1}{2}} \sqrt{π} {(\frac{1}{2})}^{\frac{n}{2} - 1}} e^{- \frac{u^{2}}{2}}

$=\frac{1}{2^{\frac{n-1}{2}}\sqrt \pi\,\left(\frac{1}{2}\right)^{\frac{n}{2}-1}}e^{-\frac{u^2}{2}}$

= \frac{1}{\sqrt{2 π}} e^{- u^{2} / 2}, u \in R

$=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-u^2/2}\,,u\in\mathbb{R}$

— StubbornAtom
स्रोत

2

यह एक ब्लैक बॉक्स उत्तर का अधिक है (यानी, बीजगणितीय विवरण गायब हैं) मैथमैटिका का उपयोग कर रहा है । संक्षेप में @whuber का उत्तर है कि का वितरण एक मानक सामान्य वितरण है। $Z$

(* Transformation *)
f = {(2 y - 1) Sqrt[x], Sqrt[x]};
sol = Solve[{z == (2 y - 1) Sqrt[x], w == Sqrt[x]}, {x, y}][[1]]
(*{x -> w^2,y -> (w+z)/(2 w)} *)
(* Jacobian *)
J = D[f, {{x, y}}]

(* Joint pdf of Z and W *)
{jointpdf, conditions} = FullSimplify[PDF[BetaDistribution[n/2 - 1, n/2 - 1], y] 
  PDF[ChiSquareDistribution[n - 1], x] Abs[Det[J]] /. sol,
  Assumptions -> {w >= 0, 0 <= y <= 1}][[1, 1]]

(* Integrate over W *)
Integrate[jointpdf Boole[conditions], {w, 0, \[Infinity]}, Assumptions -> {n > 2, z == 0}]
(* 1/Sqrt[2 \[Pi]] *)

Integrate[jointpdf Boole[conditions], {w, 0, \[Infinity]}, Assumptions -> {n > 2, z > 0}]
(* Exp[-(z^2/2)]/Sqrt[2 \[Pi]] *)

Integrate[jointpdf Boole[conditions], {w, 0, \[Infinity]}, Assumptions -> {n > 2, z < 0}]
(* Exp[-(z^2/2)]/Sqrt[2 \[Pi]] *)

— JimB
स्रोत

1

प्रति उत्तर नहीं , लेकिन बॉक्स-मुलर परिवर्तन से कनेक्शन को इंगित करना सार्थक हो सकता है।

बॉक्स-मुलर परिवर्तन पर विचार करें , जहां । हम यह दिखा सकते हैं कि , यानी । दूसरी ओर, हम दिखा सकते हैं कि में स्थान-स्केल आर्सेन वितरण है , जो के वितरण से सहमत है । इसका मतलब यह है कि बॉक्स-मुलर ट्रांसफॉर्मेशन का एक विशेष मामला है जब । $Z=\sqrt{-2\ln U}\sin(2\pi V)$ $U,V\sim U(0,1)$ $-\ln U\sim\operatorname{Exp}(1)$ $-2\ln U\sim\chi^2_2$ $\sin(2\pi V)$ $2\operatorname{B}(1/2,1/2)-1$ $(2Y-1)\sqrt{X}$ $n=3$

संबंधित :

— फ्रांसिस
स्रोत