क्या वितरण रूपों "पायथागॉरियन उम्मीद" उपज?

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चलो और स्वतंत्र निरंतर यादृच्छिक ही अनिर्दिष्ट वितरणात्मक रूप से, लेकिन विभिन्न पैरामीटर मान के लिए भत्ता के साथ उत्पन्न चर हो। मैं एक पैरामीट्रिक वितरण फॉर्म पाने के लिए इच्छुक हूं, जिसके लिए निम्नलिखित नमूना संभावना सभी स्वीकार्य पैरामीटर मूल्यों के लिए रखती है: $X \sim \text{Dist}(\theta_X)$ $Y \sim \text{Dist}(\theta_Y)$

पी (एक्स > Y | θ_{एक्स}, θ_{Y}) = \frac{θ_{एक्स}^{2}}{θ_{एक्स}^{2} + θ_{Y}^{2}} ।

$\mathbb{P}(X > Y| \theta_X, \theta_Y) = \frac{\theta_X^2}{\theta_X^2 + \theta_Y^2}.$

मेरा प्रश्न: क्या कोई मुझे एक निरंतर वितरण स्वरूप बता सकता है जिसके लिए यह है? क्या कोई (गैर-तुच्छ) सामान्य स्थितियां हैं जो इसके लिए नेतृत्व करती हैं?

मेरे प्रारंभिक विचार: यदि आप दोनों मापदंडों को किसी गैर-शून्य स्थिर से गुणा करते हैं, तो संभावना अपरिवर्तित रहती है, इसलिए यह किसी तरह का स्केल पैरामीटर होने के लिए the लिए समझ में आता है । $\theta$

probability distributions

— मोनिका को बहाल करो
स्रोत

1

शायद यह मदद करेगा: en.wikipedia.org/wiki/…

— जॉन कोलमैन

1

क्या आप इस प्रश्न के लिए कोई संदर्भ या संदर्भ प्रदान कर सकते हैं?

— शीआन

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यदि हम दो घातीय यादृच्छिक चर लेते हैं, तो हम उस और अब, अगर तब

एक्स ~ इ (θ_{एक्स}) एक्स ~ इ (θ_{Y})

$X\sim\mathcal{E}(\theta_X)\qquad X\sim\mathcal{E}(\theta_Y)$

पी (एक्स > Y | Y = y) = \exp {- θ_{एक्स} y}

$\mathbb{P}(X>Y|Y=y)=\exp\{-\theta_X y\}$

इ^{Y} [\exp {- θ_{एक्स} Y}] = \int_{0}^{\infty} \exp {- θ_{एक्स} y} θ_{Y} \exp {- θ_{Y} y} घ y = \frac{θ_{Y}}{θ_{एक्स} + θ_{Y}}

$\mathbb{E}^Y[\exp\{-\theta_X Y\}]=\int_0^\infty \exp\{-\theta_X y\}\,\theta_Y\exp\{-\theta_Y y\}\text{d}y=\dfrac{\theta_Y}{\theta_X+\theta_Y}$

एक्स ~ इ (θ_{एक्स}^{- 2}) एक्स ~ इ (θ_{Y}^{- 2})

$X\sim\mathcal{E}(\theta_X^{-2})\qquad X\sim\mathcal{E}(\theta_Y^{-2})$

पी (एक्स > Y) = \frac{θ_{एक्स}^{2}}{θ_{एक्स}^{2} + θ_{Y}^{2}}

$\mathbb{P}(X>Y)=\dfrac{\theta_X^2}{\theta_X^2+\theta_Y^2}$

एक और दिलचस्प सवाल यह है कि क्या यह वितरण का एकमात्र संभव मामला है जिसके लिए यह काम करता है। एक आवश्यक और अंतर्निहित घनत्व पर पर्याप्त पैमाने परिवार संरचना मान लिया जाये कि (उदाहरण के लिए, इस गामा परिवार है जिसके लिए यह काम करता है का एकमात्र ऐसा तत्व है।) के और जाता है कि $f$ $X$ $Y$

\int_{0}^{\infty} z f (z) f (τ z) d z = \frac{1}{(1 + τ)^{2}}

$\int_0^\infty z\, f(z)\, f(\tau z) \,\text{d}z = \frac{1}{(1+\tau)^2}$

लेकिन सामान्य उत्तर नहीं है: जैसा कि @soakley द्वारा दिए गए उत्तर में कहा गया है , यह वेइबुल्स के लिए भी काम करता है, जो कि बाद से आश्चर्य की बात नहीं है] सभी (और वीबुल्स एक्सपोनेंशियल की शक्तियाँ हैं लिए )। उदाहरणों का एक अधिक सामान्य वर्ग इस प्रकार द्वारा सभी कड़ाई से बढ़ते कार्यों के लिए प्रदान किया जाता है , जहाँ उपरोक्त के रूप में घातांक हैं, तब से हम

P (X > Y) = P (X^{α} > Y^{α})

$\mathbb{P}(X>Y)=\mathbb{P}(X^\alpha>Y^\alpha)$

α > 0

$\alpha>0$

X^{'} = ϕ (X) Y^{'} = ϕ (Y)

$X' = \phi(X) \qquad Y' = \phi(Y)$ $\phi$

X, Y

$X,Y$

पी ({एक्स}^{'} > Y^{'}) = पी (φ (एक्स) > φ (Y)) = पी (एक्स > Y) = \frac{θ_{एक्स}^{2}}{θ_{एक्स}^{2} + θ_{Y}^{2}} ।

$\mathbb{P}(X'>Y') =\mathbb{P}(\phi(X)>\phi(Y))=\mathbb{P}(X>Y)=\dfrac{\theta_X^2}{\theta_X^2+\theta_Y^2}.$

— शीआन
स्रोत

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यदि Weibull और एक स्वतंत्र Weibull , जहाँ अल्फा आकार पैरामीटर है और betas स्केल पैरामीटर हैं, तो यह ज्ञात है वह $X$ $\left( \alpha,\beta_1 \right)$ $Y$ $\left( \alpha, \beta_2 \right)$

पी [एक्स > Y] = \frac{β_{1}^{α}}{β_{1}^{α} + β_{2}^{α}}

$P \left[ X > Y \right]= \frac{\beta_1^\alpha}{\beta_1^\alpha + \beta_2^\alpha}$

यह शीआन के जवाब में दिए गए उसी दृष्टिकोण के बाद प्राप्त किया जा सकता है।

अब और दोनों के लिए दें । यदि का स्केल पैरामीटर और का स्केल पैरामीटर तो हमारे पास $\alpha=2$ $X$ $Y$ $X$ $\theta_X$ $Y$ $\theta_Y,$

पी [एक्स > Y] = \frac{θ_{एक्स}^{2}}{θ_{एक्स}^{2} + θ_{Y}^{2}}

$P \left[ X > Y \right]= \frac{\theta_X^2}{\theta_X^2 + \theta_Y^2}$

— soakley
स्रोत

(+1): प्रश्न में अपनाई गई पैरामीशन की अस्पष्ट धारणा को देखते हुए, आप सभी लिए और द्वारा वेइबल्स को पैराडाइज कर सकते हैं । तो परिणाम सभी के लिए है।

θ_{X}

$\theta_X$

θ_{Y}

$\theta_Y$

α

$\alpha$

α

$\alpha$

— शीआन

दरअसल, जैसा आपने दिखाया है। मुझे लगता है कि ओपी मापदंडों के साथ कुछ और प्रत्यक्ष करना चाहता था।

— भिगोएँ