समानांतर में प्रतिरोधों की भिन्नता

Question

मान लीजिए कि आपके पास रेसिस्टर्स R का एक सेट है, जो सभी माध्य μ और विचरण mean के साथ वितरित किए गए हैं।

निम्नलिखित लेआउट वाले सर्किट के एक सेक्शन पर विचार करें: (r) || (r + r) || (आर + r + r)। प्रत्येक भाग का बराबर प्रतिरोध r, 2r और 3r है। प्रत्येक अनुभाग के विचरण तो होगा , , ।$σ^2$$2σ^2$$3σ^2$

संपूर्ण सर्किट के प्रतिरोध में विचरण क्या है?

कई मिलियन अंकों का नमूना लेने के बाद, हमने पाया कि विचरण लगभग $.10286\sigma^2$ ।

हम विश्लेषणात्मक रूप से इस निष्कर्ष पर कैसे पहुंचेंगे?

संपादित करें: प्रतिरोध मानों को कुछ औसत प्रतिरोध आर और विचरण साथ सामान्य रूप से वितरित किया जाता है ।$σ^2$

Comments

मुझे यकीन नहीं है कि यह एक उपयुक्त मॉडल है जिसके साथ शुरू करना है। क्या आप थर्मल सर्किट शोर के Nyquist-Johnson सिद्धांत से परिचित हैं ? यदि आप उद्देश्यपूर्ण रूप से कुछ अलग कर रहे हैं, तो प्रेरणा को देखना दिलचस्प होगा। अन्यथा, अधिक मानक मॉडल पर विचार करने के लिए इसके लायक हो सकता है। :)

— कार्डिनल

हाँ, जब मैं एक उत्तर के लिए अपना प्रयास लिख रहा था, मुझे यह भी एहसास हुआ कि मॉडल जाहिरा तौर पर ट्रैक्टेबल नहीं है क्योंकि इसे लगाया गया था। हालांकि, मैंने इसे एक व्यावहारिक एक के बजाय एक अकादमिक समस्या की तरह सोचा (वे सिमुलेशन कर रहे हैं, आखिरकार)।

— Néstor

विचरण के रूप में सिग्मा होने के लिए मेरी क्षमा याचना, मैंने मूल रूप से VAR का उपयोग किया और किसी ने इसे सिग्मा में संपादित किया।

— lrAndroid

अद्यतन के लिए धन्यवाद। मुझे इस प्रश्न के पीछे की प्रेरणा में अभी भी दिलचस्पी है, यदि आप अपने प्रश्न में उस पर एक छोटा सा जोड़ना चाहते हैं। :)

— कार्डिनल

Answer 1

पूरे सर्किट का समतुल्य प्रतिरोध कोई मानता है कि , कुछ स्वतंत्र यादृच्छिक चर , केंद्रित और विचरण साथ ।$R$

$$\frac1R=\sum_{i=1}^{3}\frac{1}{R_i}.$$ $R_i=i\mu+\sigma\sqrt{i}Z_i$$Z_i$$1$

आगे के संकेत के बिना, कोई के विचरण की गणना नहीं कर सकता है , इसलिए, आगे जाने के लिए, हम उस शासन पर विचार करते हैं जहाँ फिर, इसलिए जहां एक देखता है कि इसके अलावा, इस प्रकार, सीमा में$R$

$$\color{red}{\sigma\ll\mu}.$$ $$\frac{1}{R_i}=\frac1{i\mu}-\frac{\sigma}{\mu^2}\frac{Z_i}{i\sqrt{i}}+\text{higher order terms},$$ $$\frac{1}{R}=\frac{a}{\mu}-\frac{\sigma}{\mu^2}Z+\text{higher order terms},$$ $$a=\sum_{i=1}^{3}\frac1{i}=\frac{11}6,\qquad Z=\sum_{i=1}^{3}\frac{Z_i}{i\sqrt{i}}.$$ $$\mathrm E(Z)=0,\qquad\mathrm E(Z^2)=b,\qquad b=\sum\limits_{i=1}^{3}\frac1{i^3}=\frac{251}{216}.$$ $$R=\frac{\mu}a-\frac{\sigma}{a^2}Z+\text{higher order terms},$$ $\sigma\to0$, और ये asymptotics of और समानांतर में किसी भी संख्या में प्रतिरोधों को सामान्यीकृत किया जा सकता है, प्रत्येक श्रृंखला में प्राथमिक प्रतिरोधों का परिणाम है , प्राथमिक प्रतिरोध स्वतंत्र और प्रत्येक का मतलब और variance साथ किया जा रहा है । फिर, जब , कहां $$\mathrm E(R)\approx\frac{\mu}a=\frac6{11}\mu,$$ $$\text{Var}(R)\approx\sigma^2\cdot\frac{b}{a^4}=\sigma^2\cdot\left(\frac{6}{11}\right)^4\cdot\frac{251}{216}=\sigma^2\cdot0.10286\ldots$$ $\mathrm E(R)$$\text{Var}(R)$$n_i$$\mu$$\sigma^2$$\sigma\to0$ $$\mathrm E(R)\to\frac{\mu}a,\quad \sigma^{-2}\text{Var}(R)\to\frac{b}{a^4},$$ $$a=\sum_i\frac1{n_i},\quad b=\sum_i\frac1{n_i^3}.$$

Answer 2

मुझे नहीं लगता कि सटीक उत्तर केवल और पर निर्भर करता है । जब आप नमूना लेते हैं, तो मुझे लगता है कि आपने कुछ ठोस वितरण का उपयोग किया होगा - शायद एक सामान्य वितरण? किसी भी मामले में, हम रैखिक सन्निकटन में सर्किट के प्रतिरोध के माध्य और विचरण की गणना कर सकते हैं, और फिर वितरण का सटीक रूप अप्रासंगिक है।$\mu$$\sigma^2$

सर्किट का प्रतिरोध । रैखिक सन्निकटन में, मतलब और मतलब के साथ एक यादृच्छिक चर के पारस्परिक का विचरण और विचरण हैं और , क्रमशः। इस प्रकार हमारे पास , और और variances , साथ शब्दों की एक राशि है। और , क्रमशः, जो और एक विचरण को जोड़ता है$\left(R_1^{-1}+R_2^{-1}+R_3^{-1}\right)^{-1}$$\mu$$\sigma^2$$1/\mu$$\sigma^2/\mu^4$$1/\mu$$1/(2\mu)$$1/(3\mu)$$\sigma^2/\mu^4$$\sigma^2/(8\mu^4)$$\sigma^2/(27\mu^4)$$\frac{11}6/\mu$$\frac{251}{216}\sigma^2/\mu^4$। फिर उस प्रतिफल को लेने से और विचरण होता है। , अपने परिणाम के साथ अनुबंध में।$\frac6{11}\mu$$\left(\frac{251}{216}\sigma^2/\mu^4\right)/\left(\frac{11}6/\mu\right)^4=\frac{1506}{14641}\sigma^2\approx0.10286\sigma^2$

Comments

यह निश्चित रूप से, यह मानते हुए कि प्रतिरोधक स्वतंत्र यादृच्छिक चर हैं।

@ रॉबर्ट: हाँ (प्रतिरोध, बल्कि)। यह पहले से ही सवाल में variances , और की गणना में लिया गया था , और यह भौतिक समझ में आता है (हालांकि अगर हम उत्पादन के एक ही बैच से सभी प्रतिरोधों को लेते हैं, तो उनका प्रतिरोध कुछ हद तक सहसंबद्ध होगा। )। $\sigma$$2\sigma$$3\sigma$

— जॉर्की

एक वास्तविक डिजाइन में, निश्चित रूप से, प्रतिरोध स्वतंत्र आरवी से दूर हैं। वास्तव में, बहुत काम लेआउट में जाता है कि तत्वों के कुछ समूह एक-दूसरे को ट्रैक करते हैं (जिन्हें '' मिलान '' कहा जाता है, अस्वाभाविक रूप से)।

क्या आप का उपयोग कर रहे हैं ? मुझे इस लिखित रूप में देखने की आदत है । $\sigma = E (X-EX)^2$$\sigma^2$

@ Copper.hat: आप बिल्कुल सही हैं बारे में , बिल्कुल - मैंने बिना सोचे-समझे इस प्रश्न में प्रयुक्त संकेतन को अपनाया। $\sigma^2$

— जोर्की

Answer 3

यह प्रतिरोध के लिए वितरण के आकार पर निर्भर करता है। वितरण को जाने बिना, मैं औसत प्रतिरोध भी नहीं कह सकता, हालांकि मुझे लगता है कि बाधाएं हैं।

तो, चलिए वितरण जो tractible है चुनने देती हैं: Let होना एक बाधा के प्रतिरोध का मानक विचलन। प्रतिकार साथ होने वाले प्रत्येक संकेत के साथ प्रतिरोध को होने दें । अगर हम कुछ मामलों को जोड़ दें तो यह मामलों पर विचार करता है, या । बेशक हम यह मान लेंगे कि प्रतिरोध स्वतंत्र हैं।$s$$\mu \pm s$$1/2$$2^6 = 64$$2 \times 3 \times 4=24$

यदि हम और चुनते हैं, तो इसका मतलब ( से थोड़ा कम ) है, और विचरण । यदि हम और चुनते हैं , तो विचरण ।$\mu = 100$$s=1$$54.543291$$100 \times \frac{6}{11}$$0.102864$$\mu = 5$$s=1$$0.103693$

यहाँ माध्य और जब विचरण बीच अनुपातों के लिए एक शक्ति श्रृंखला विस्तार होता है : विचरण होता है : । जब छोटा होता है, तो प्रमुख शब्द ।$1$$x$$\frac{1506}{14641} + \frac{36000}{1771561}x + \frac{218016}{19487171}x^2 + O(x^3)$$x$$\frac{1506}{14641} = 0.102862$

जबकि आप जो प्रश्न पूछते हैं, वह तकनीकी रूप से वितरण पर निर्भर करता है, आप शायद उन स्थितियों में रुचि रखते हैं, जहां मानक विचलन औसत के साथ तुलना में छोटा है, और मुझे लगता है कि एक अच्छी तरह से परिभाषित सीमा है जो वितरण पर निर्भर नहीं है। प्रत्येक टुकड़े के प्रतिरोधों के एक समारोह के रूप में सर्किट के प्रतिरोध की निर्भरता को रैखिक करें:

$$C = \frac {1}{1/R_1 + 1/(R_2+R_3) + 1/(R_4 + R_5 + R_6)}$$

$$\approx \frac{6}{11} \mu + \sum_{i=1}^6 (R_i - \mu)\frac {\partial C}{\partial R_i}(\mu,\mu,\mu,\mu,\mu,\mu)$$

$$\therefore \text{Var}(C) \approx \sum_{i=1}^6 \text{Var}(R_i)\bigg(\frac {\partial C}{\partial R_i}(\mu,\mu,\mu,\mu,\mu,\mu)\bigg)^2$$

इस विशिष्ट सर्किट के साथ, आंशिक आंशिक व्युत्पन्न , और$\frac {36}{121}, \frac{9}{121} ,\frac{9}{121}, \frac{4}{121},\frac{4}{121},\frac{4}{121}$

$$\bigg(\frac{36}{121}\bigg)^2 + 2\bigg(\frac{9}{121}\bigg)^2 + 3\bigg(\frac{4}{121}\bigg)^2 = \frac{1506}{14641} = 0.102862$$

Comments

यह मुझे बहुभिन्नरूपी डेल्टा प्रमेय की याद दिलाता है, अर्थात का माध्य और भिन्नता क्रमशः, तब में asymptotic variance होना चाहिए। , जहां और । अंतिम उत्तर @Douglas Zare और OP के समान है, जो कि 0.1028 । $R_1,R_2,R_3$$\mu,2\mu,3\mu$$\sigma^2, 2\sigma^2, 3\sigma^2$$g(R_1,R_2,R_3) = ((1/R_1)+(1/R_2)+(1/R_3))^{-1}$$\nabla g(\mu)\Sigma\nabla g(\mu)'$$\nabla g(\mu) = (\frac{36}{121},\frac{9}{121},\frac{4}{121})$$\Sigma = \[ \left( \begin{array}{ccc}. \sigma^2 & 0 & 0 \\ 0 & 2\sigma^2 & 0 \\ 0 & 0 & 3\sigma^2 \end{array} \right)\]$$\sigma^2$

— विटालस्टैटिस्टिक्स

Answer 4

मैंने चेतावनी दी है कि जैसा कि मैंने इसे तर्क दिया, यह एक लंबा जवाब है , लेकिन शायद कोई मेरे प्रयास से शुरू होने वाले कुछ बेहतर के साथ आ सकता है (जो कि इष्टतम नहीं हो सकता है)। इसके अलावा, मैंने ओपी के मूल प्रश्न को गलत बताया और यह कहा कि यह प्रतिरोध जहां सामान्य रूप से वितरित होता है। मैं उत्तर वैसे भी छोड़ दूंगा, लेकिन यह एक अंतर्निहित तर्क है।

1. समस्या का भौतिक तर्क

मेरा तर्क इस प्रकार है: याद रखें कि, प्रतिरोध करने वालों के लिए, बराबर प्रतिरोध दिया जाता है:$R_{eq}$

$$R_{eq}^{-1}=\sum_{i}^{N}\frac{1}{R_i},$$

जहां सर्किट के प्रत्येक भाग का प्रतिरोध है। आपके मामले में, यह हमें देता है$R_i$

$$R_{eq}=\left(\frac{1}{R_1}+\frac{1}{R_2}+\frac{1}{R_3}\right)^{-1},\ \ \ (*)$$ जहां 1 प्रतिरोध के साथ सर्किट का हिस्सा है, और इसलिए माध्य और और विचरण साथ एक सामान्य वितरण है , और उसी तर्क से है। दो प्रतिरोधों के साथ सर्किट के हिस्से के बराबर प्रतिरोध और, आखिरकार, तीन प्रतिरोधों के साथ सर्किट के हिस्से के बराबर प्रतिरोध है। आपको के वितरण का पता लगाना चाहिए और वहां से इसका विचरण प्राप्त करना चाहिए।$R_1$$\mu$$\sigma^2$$R_2\sim N(2\mu,2\sigma^2)$$R_3\sim N(3\mu,3\sigma^2)$$R_{eq}$

2. के वितरण को प्राप्त करना$R_{eq}$

वितरण का पता लगाने का एक तरीका यह है कि: यहाँ से, हम यह भी ध्यान दें कि हम (जो कि बेयस प्रमेय के माध्यम से प्राप्त हुई थी), जो, ग्रहण , और (जो भौतिक रूप से प्रशंसनीय है) के बीच का स्वतंत्र , रूप में लिखा जा सकता है। इसे में बदलने और तीन प्रतिरोधों के बीच स्वतंत्र होने का एक और परिणाम यह है कि

$$p(R_{eq})=\int p(R_{eq},R_1,R_2,R_3)dR_1dR_2dR_3=\int p(R_1|R_{eq},R_2,R_3)p(R_{eq},R_2,R_3)dR_1dR_2dR_3.\ \ \ (1)$$ $$p(R_{eq},R_2,R_3)=p(R_2|R_{eq},R_3)p(R_{eq},R_3)=p(R_2|R_{eq},R_3)p(R_{eq}|R_3)p(R_3)$$ $R_1$$R_2$$R_3$ $$p(R_{eq},R_2,R_3)=p(R_2|R_{eq})p(R_{eq}|R_3)p(R_3).$$ $(1)$$p(R_1|R_{eq},R_2,R_3)=p(R_1|R_{eq})$, हम मिलते हैं: हमारी अंतिम समस्या तब को खोजने की है , यानी rv का वितरण । यह समस्या हमारे यहाँ पाए जाने के अनुरूप है, सिवाय इसके कि अब आप को eq में प्रतिस्थापित । एक स्थिरांक से, कहते हैं, । ऊपर दिए गए तर्कों के बाद, आप पा सकते हैं कि जाहिरा तौर पर बाकी है। थोड़ी-सी समस्या को छोड़कर, ज्ञात वितरण को प्रतिस्थापित करना: का वितरण से ध्यान देकर प्राप्त किया जा सकता है। $$p(R_{eq})=\int p(R_1|R_{eq})p(R_2|R_{eq})p(R_{eq}|R_3)p(R_3)dR_1dR_2dR_3=\int p(R_{eq}|R_3)p(R_3)dR_3.\ \ \ (2)$$ $p(R_{eq}|R_3)$$R_{eq}|R_3$$R_3$$(*)$$r_3$ $$p(R_{eq}|R_3)=\int p(R_{eq}|R_2,R_3)p(R_2)dR_2.\ \ \ (3)$$ $R_{eq}|R_2,R_3$$(*)$$X_1$ गाऊसी है, इसलिए, आपको अनिवार्य रूप से यादृच्छिक चर का वितरण खोजने की आवश्यकता है जहां और स्थिरांक हैं, और माध्य और विचरण साथ गाऊसी है । यदि मेरी गणना सही है, तो यह वितरण है: कहां, इसलिए का वितरण होगा $$W=\left(\frac{1}{X}+a+b\right)^{-1},$$ $a$$b$$X$$\mu$$\sigma^2$ $$p(W)=\frac{1}{[1-W(a+b)]^2}\frac{1}{\sqrt{2\pi \sigma^2}}\text{exp}\left(-\frac{X(W)-\mu}{2\sigma^2}\right),$$ $$X(W)=\frac{1}{W^{-1}-a-b},$$ $R_{eq}|R_2,R_3$ $$p(R_{eq}|R_2,R_3)=\frac{1}{[1-R_{eq}(a+b)]^2}\frac{1}{\sqrt{2\pi \sigma^2}}\text{exp}\left(-\frac{X(R_{eq})-\mu}{2\sigma^2}\right),$$ जहां और । बात यह है कि मुझे नहीं पता है कि समीकरण में अभिन्न को हल करने के लिए यह विश्लेषणात्मक रूप से ट्रैक्टेबल है , जो इसके बाद समीकरण में बदलकर पॉवेल को हल करने के लिए हमें ले जाएगा । कम से कम मेरे लिए रात के इस समय यह नहीं है।$a=1/R_2$$b=1/R_3$$(3)$$(2)$

Comments

आप एक सामान्य वितरण मान रहे हैं, भले ही प्रतिरोध नकारात्मक न हो? मेरा अनुमान है कि यह सर्किट डायवर्ज का विचरण करेगा।

— डगलस ज़ारे

मुझे पता है, कि मुझे भी बॉट किया गया है, लेकिन व्यवहार में यह वास्तव में और के मूल्यों पर निर्भर करता है । अगर और , तो हम मॉडल को "सेव" कर सकते हैं। सामान्य परिस्थितियों में, एक प्रतिरोध का फैलाव बहुत अधिक नहीं होता है, इसलिए अंतिम धारणा स्पष्ट रूप से मिलती है। यह कुछ ऐसा था जो शुरू में मुझे बहुत परेशान करता था जब लोग एक सामान्य यादृच्छिक चर के रूप में ऊँचाई का मॉडल बनाते थे, लेकिन उसी कारण से जो मैंने यहाँ दिया था, स्टैक-एक्सचेंज में यहाँ कुछ लोगों ने मुझे इसके साथ ठीक महसूस किया :-)। $\mu$$\sigma^2$$\mu>>0$$\mu>>\sigma$

— नेस्टर

हम्म, मुझे लगता है कि मॉडलिंग की ऊंचाई सामान्य है इसलिए मैं इसे एक वितरण के उदाहरण के रूप में उपयोग करता हूं जो स्पष्ट रूप से सामान्य नहीं है। मुझे लगता है कि यदि आप एक ही आनुवंशिक पृष्ठभूमि से स्वस्थ वयस्क पुरुषों की आबादी रखते हैं तो यह भयानक नहीं हो सकता है। हालांकि, मैं एक जीवविज्ञानी से सुनना चाहता हूं कि यह ठीक है। तर्क भी मैंने अक्सर सुना है कि प्रत्येक हड्डी का आकार स्वतंत्र है कुल बकवास है।

— डगलस ज़रे

मुझे बस एहसास हुआ कि प्रतिरोधों को आम तौर पर वितरित नहीं किया गया था (मैं शपथ ले सकता था कि मैं उन्हें पढ़ता हूं जहां मूल ओपी जवाब देते हैं, लेकिन मुझे लगता है कि यह सिर्फ मेरी कल्पना थी)।

— नेस्टर