की संभावित सीमा

Question

मान लीजिए कि तीन टाइम सीरीज़ हैं, , और$X_1$$X_2$$Y$

~ ( ) पर साधारण रैखिक प्रतिगमन चल रहा है , हमें । साधारण रैखिक प्रतिगमन ~ को । मान लें$Y$$X_1$$Y = b X_1 + b_0 + \epsilon$$R^2 = U$$Y$$X_2$$R^2 = V$$U < V$

प्रतिगमन ~ ( ) पर का न्यूनतम और अधिकतम संभव मान क्या है ?$R^2$$Y$$X_1 + X_2$$Y = b_1 X_1 + b_2 X_2 + b_0 + \epsilon$

मेरा मानना ​​है कि न्यूनतम का + छोटा मान होना चाहिए , क्योंकि नए चर जोड़ने से हमेशा बढ़ता है , लेकिन मुझे नहीं पता कि इस छोटे मान को कैसे बढ़ाया जाए , और मुझे नहीं पता कि अधिकतम सीमा कैसे प्राप्त की जाए। ।$R^2$$V$$R^2$

Answer 1

1) EDIT: नीचे कार्डिनल की टिप्पणी से पता चलता है कि मिन प्रश्न का सही उत्तर । इसलिए मैं अपने "दिलचस्प" को हटा रहा हूं, लेकिन अंततः गलत है, ओपी के पोस्ट के उस हिस्से का जवाब दें।$R^2$$V$

2) अधिकतम है 1. निम्नलिखित उदाहरण पर विचार करें, जो आपके मामले में फिट बैठता है।$R^2$

x1 <- rnorm(100)
x2 <- rnorm(100)
y <- x1 + 2*x2

> summary(lm(y~x1))$r.squared
[1] 0.2378023                 # This is U
> summary(lm(y~x2))$r.squared
[1] 0.7917808                 # This is V; U < V
> summary(lm(y~x1+x2))$r.squared
[1] 1

यहां हम 0. के विचरण को ठीक कर रहे हैं । यदि आप , तो चीजें थोड़ी बदल जाती हैं। आप मनमाने ढंग से 1 से पास कर सकते हैं बनाकर छोटा और छोटा कर सकते हैं, लेकिन, न्यूनतम समस्या के साथ, आप वहां नहीं पहुंच सकते हैं, इसलिए अधिकतम नहीं है। 1 सर्वोच्चता बन जाता है , क्योंकि यह हमेशा से बड़ा होता है, लेकिन यह तक की सीमा भी है ।$\epsilon$$\sigma^2_\epsilon > 0$$R^2$$\sigma^2_\epsilon$$R^2$$\sigma^2_\epsilon \to 0$

Comments

(+1) कुछ टिप्पणियाँ: यह एक अच्छा जवाब है; यह दिलचस्प है कि आपने एक स्पर्शोन्मुखी दृष्टिकोण लिया है, जबकि यह स्पष्ट नहीं है कि क्या ओपी उस या संभव, एक निश्चित- (या दोनों) में रुचि रखता था । यह उत्तर ओपी के साथ थोड़ा असंगत है कि , हालांकि, और अगर या कुछ , उदाहरण के लिए, तो न्यूनतम लिए। सभी नमूना आकार तय है वास्तव में । (इन उदाहरणों के विकृति विज्ञान का उपयोग करें।) इसके अलावा, ओएलएस जरूरी नहीं कि भविष्यवक्ताओं पर लगातार अनुपस्थित अतिरिक्त अवरोध हो। :)$n$$U < V$$X_1 = 0$$X_1 = a \mathbf{1}$$a \in \mathbb R$$R^2$$V := V(n)$

— कार्डिनल

@कार्डिनल - रीएडिंग पर, मैं यह पता नहीं लगा सकता कि मैं उस समस्या को मीन समस्या में क्यों ले गया, जब अब स्पष्ट रूप से सही उत्तर की तरह लगता है और जैसा कि आपने स्पष्ट रूप से देखा है, मैंने एक उदाहरण का निर्माण किया है जो इसे प्राप्त करता है। अधिकतम भाग की नस ... ओह ठीक है, शायद आज सुबह मेरी एस्प्रेसो गलती से डिकैफ़िनेटेड थी। (शायद मुझे पोस्ट करने से पहले और अधिक अच्छी तरह से मेरे उत्तरों की समीक्षा करनी चाहिए!)$V$

— जूलमैन

मुझे नहीं लगता कि आप को निकाल देना चाहिए कि तुम क्या लिखा है, जो मैं करना किया था सवाल का जवाब देने के लिए एक दिलचस्प दृष्टिकोण लगता है! हालांकि मैं जिन पैथोलॉजी का उल्लेख करता हूं, वे निश्चित रूप से न्यूनतम लिए अनुमति देते हैं , किसी को आश्चर्य हो सकता है कि वास्तव में का क्या मतलब है । इस समस्या के एक सामान्य संस्करण के बाद से दूसरा उदाहरण संभवतः रोग के रूप में काफी नहीं है, यह उस मामले तक फैला है जहां कोई भी अतिरिक्त अन्य भविष्यवक्ताओं के कॉलम स्थान पर है। :)$R^2$$X_1 = 0$$X_i$

— कार्डिनल

@ कार्डिनल - धन्यवाद! मैं इसे फिर से बनाऊंगा, शायद थोड़ा और औपचारिक रूप से, और थोड़ी देर में इसे वापस नीचे रख दूंगा।

— जूलमैन

Answer 2

चलो के बीच संबंध के बराबर और , के बीच संबंध के बराबर और , और के बीच संबंध और । तो फिर पूर्ण मॉडल के लिए से विभाजित बराबर$r_{1,2}$$X_1$$X_2$$r_{1,Y}$$X_1$$Y$$r_{2,Y}$$X_2$$Y$$R^2$$V$

$$\left(\frac{1}{(1 - r_{1,2}^2)}\right) \left(1 - \frac{2 \cdot r_{1,2} \cdot r_{1,Y}}{r_{2,Y}} + \frac{U}{V}\right).$$

तो पूर्ण मॉडल के लिए बराबर होती केवल तभी और या$R^2$$V$$r_{1,2} = 0$$r_{1,Y}^2 = U = 0$

$$r_{1,2}^2 = \frac{2\cdot r_{1,2} \cdot r_{1,Y}}{r_{2,Y}} - \frac{U}{V}.$$

यदि पूर्ण मॉडल के लिए , बराबर है ।$r_{1,2} = 0$$R^2$$U + V$

Comments

(१) प्यारा। साइट पर आपका स्वागत है। कृपया अपना खाता पंजीकृत करने पर विचार करें ताकि आप अधिक पूरी तरह से भाग ले सकें। मुझे इस अभिव्यक्ति को थोड़ा और बारीकी से देखना होगा। :)

— कार्डिनल

Answer 3

और पर कोई बाधा नहीं है , तो न्यूनतम , और फिर अधिकतम छोटा । ऐसा इसलिए है क्योंकि दो चर पूरी तरह से सहसंबद्ध हो सकते हैं (जिस स्थिति में दूसरे चर को जोड़ने से बिल्कुल नहीं बदलता है ) या वे ओर्थोगोनल हो सकते हैं जिसमें में दोनों परिणाम शामिल हैं । टिप्पणियों में यह सही बताया गया कि इसके लिए यह भी आवश्यक है कि प्रत्येक को के कॉलम वेक्टर से # लिए orthogonal होना चाहिए ।$U$$V$$V$$\min(V + U, 1)$$R^2$$U + V$$\mathbf{1}$

आपने बाधा । हालांकि, यह अभी भी संभव है कि । यही है, , जिस स्थिति में, । अंत में, यह संभव है कि इसलिए ऊपरी सीमा अभी भी ।$U < V \implies X_{1} \neq X_{2}$$U = 0$$X_{1} \perp Y$$\min = \max = V + 0$$X_{1} \perp X_{2}$$\min(V + U, 1)$

यदि आप और के बीच संबंध के बारे में अधिक जानते थे , तो मुझे लगता है कि आप और अधिक कह सकते हैं।$X_{1}$$X_{2}$

Comments

(+1) लेकिन, ध्यान दें कि यह (काफी) सही नहीं है कि अगर और ऑर्थोगोनल हैं, तो मॉडल में दोनों को शामिल करने पर उनके व्यक्तिगत मानों का योग होगा। हमें उन्हें ऑल-वे वेक्टर लिए ऑर्थोगोनल होने की भी आवश्यकता है । ध्यान दें कि आप गणित को चिह्नित करने के लिए इस साइट पर उपयोग कर सकते हैं । :)$X_1$$X_2$$R^2$$\mathbf 1$$\LaTeX$

— कार्डिनल

यह सच है। टिप्पणियों के लिए बहुत बहुत धन्यवाद, और इंगित करने के लिए कि का उपयोग किया जा सकता है। मैंने सोचा कि यह हो सकता है, लेकिन मैथजैक्स शैली से बचने की कोशिश की थी (और [इनलाइन / समीकरणों के लिए। टीएक्स में जैसा मैं लिखता हूं वैसा ही काम किया है :)$\LaTeX$

— जोशुआ