मानक विचलन पर त्रिकोणमितीय संचालन

सामान्य यादृच्छिक चर के अलावा, घटाव, गुणा और भाग को अच्छी तरह से परिभाषित किया गया है, लेकिन त्रिकोणमितीय संचालन के बारे में क्या?

उदाहरण के लिए, मान लें कि मैं त्रिकोणीय कील (एक समकोण त्रिभुज के रूप में मॉडलिंग) के कोण को खोजने की कोशिश कर रहा हूं, जिसमें दो कैथे के आयाम और , दोनों को सामान्य वितरण के रूप में वर्णित किया गया है। $d_1$ $d_2$

अंतर्ज्ञान और अनुकरण दोनों मुझे बताते हैं कि परिणामी वितरण सामान्य है, माध्य । लेकिन क्या परिणामस्वरूप कोण के वितरण की गणना करने का एक तरीका है? जहाँ मैं जवाब मिल जाएगा पर संदर्भ? $\arctan\left(\frac{\text{mean}(d_1)}{\text{mean}(d_2)}\right)$

(संदर्भ के एक बिट के लिए, मैं यांत्रिक भागों के सांख्यिकीय सहिष्णुता पर काम कर रहा हूं। मेरा पहला आवेग बस पूरी प्रक्रिया का अनुकरण करना होगा, जांचें कि क्या अंतिम परिणाम यथोचित सामान्य है, और मानक विचलन की गणना करें। लेकिन मैं सोच रहा हूं। अगर कोई नटखट विश्लेषणात्मक दृष्टिकोण हो सकता है।)

— Bossykena
स्रोत

क्या आप पुष्टि कर सकते हैं कि (ए) डी १ और डी २ साइड की लंबाई हैं (और कोण नहीं); (बी) कि आप उनके बीच के कोण को सही कोण मान रहे हैं (अन्यथा अतन सूत्र संदिग्ध है); और (ग) कि आप इस समकोण त्रिभुज के अन्य कोणों के वितरण में रुचि रखते हैं? इसके अलावा, संभवतः, प्रत्येक लंबाई वितरण का एसडी इसकी अपेक्षा से बहुत छोटा है क्योंकि त्रिकोण में नकारात्मक पक्ष की लंबाई की कोई प्रशंसनीय संभावना नहीं होनी चाहिए :-)।

— whuber

सटीक। मैंने इसे थोड़ा स्पष्ट करने के लिए समस्या को दोहराया है। और हाँ, एसडी आयामों के सापेक्ष छोटा होगा।

— बोसकेन

गुणा और जोड़ के लिए सूत्रों का उपयोग करके, आप टेलर विस्तार की कोशिश कर सकते हैं।

आपके दोनों उत्कृष्ट उत्तरों के लिए धन्यवाद, जो (जहाँ तक मैं अपनी सीमित सांख्यिकी विशेषज्ञता के साथ बता सकता हूं) सहज और ध्वनि दोनों हैं।

— बोसकेन 18

जवाबों:

इस व्याख्या में, त्रिकोण पक्ष के एक समकोण त्रिभुज लंबाई है और उम्मीदों के साथ binormally वितरित और , मानक विचलन और , और सहसंबंध । हम के वितरण की तलाश करते हैं । इसके लिए, और मानकीकृत करें $X$ $Y$ $\mu_x$ $\mu_y$ $\sigma_x$ $\sigma_y$ $\rho$ $\arctan(Y/X)$ $X$ $Y$ ताकि

और

X = σ_{x} ξ + μ_{x}

$X = \sigma_x \xi + \mu_x$

Y = σ_{y} η + μ_{y}

$Y = \sigma_y \eta + \mu_y$

साथ और सहसंबंध के साथ मानक सामान्य variates । चलो एक कोण और सुविधा लिखने के लिए हो । फिर $\xi$ $\eta$ $\rho$ $\theta$ $q = \tan(\theta)$

P [\arctan (Y / X) \leq θ] = P [Y \leq q X]

$\mathbb{P}[\arctan(Y/X) \le \theta] = \mathbb{P}[Y \le q X]$

= P [σ_{y} η + μ_{y} \leq q (σ_{x} ξ + μ_{x})

$=\mathbb{P}[\sigma_y \eta + \mu_y \le q \left( \sigma_x \xi + \mu_x \right)$

= P [σ_{y} η - q σ_{x} ξ \leq q μ_{x} - μ_{y}]

$=\mathbb{P}[\sigma_y \eta - q \sigma_x \xi \le q \mu_x - \mu_y]$

बाएं हाथ की ओर, नॉर्मल्स की एक रैखिक संयोजन किया जा रहा है, सामान्य है, साथ मतलब और विचरण $\mu_y \sigma_y - q \mu_x \sigma_x$ $\sigma_y^2 + q^2 \sigma_x^2 - 2 q \rho \sigma_x \sigma_y$ ।

के संबंध में इन मानकों के सामान्य CDF फर्क $\theta$ कोण की पीडीएफ अर्जित करता है। अभिव्यक्ति काफी गंभीर है, लेकिन इसका एक महत्वपूर्ण हिस्सा घातीय है

\exp (- \frac{(μ_{y} (σ_{y} + 1) - μ_{x} (σ_{x} + 1) \tan (θ))^{2}}{2 (- 2 ρ σ_{x} σ_{y} \tan (θ) + σ_{x}^{2} + σ_{y}^{2} + \tan^{2} (θ))}),

$\exp \left(-\frac{\left(\mu _y \left(\sigma _y+1\right)-\mu _x \left(\sigma _x+1\right) \tan (\theta )\right){}^2}{2 \left(-2 \rho \sigma _x \sigma _y \tan (\theta )+\sigma _x^2+\sigma _y^2+\tan ^2(\theta )\right)}\right),$

तुरंत दिखा रहा है कि कोण सामान्य रूप से वितरित नहीं है । हालाँकि, जैसा कि आपके सिमुलेशन शो और अंतर्ज्ञान से पता चलता है, यह लगभग सामान्य होना चाहिए बशर्ते कि लंबाई की विविधताएं स्वयं की लंबाई की तुलना में छोटी हों। इस मामले में एक Saddlepoint सन्निकटन विशिष्ट के मूल्यों के लिए अच्छा परिणाम चाहिए , , , , और , भले ही एक पूर्ण-सूत्र सामान्य समाधान उपलब्ध नहीं है। अनुमानित मानक विचलन दूसरी व्युत्पन्न ( संबंध में) खोजने पर सही छोड़ देगा $\mu_x$ $\mu_y$ $\sigma_x$ $\sigma_y$ $\rho$ $\theta$ ) पीडीएफ के लघुगणक (जैसा कि समीकरणों में दिखाया गया है (2.6) और संदर्भ का 3.1)। मैं इसे बाहर ले जाने के लिए एक कंप्यूटर बीजगणित प्रणाली (जैसे MatLab या Mathematica) की सलाह देता हूं!

— व्हीबर
स्रोत

सामान्य रूप से वितरित होने का कोई मौका नहीं था। यह एक कोण है! यह केवल पर मान लेता है

।

[- π, π)

$[-\pi, \pi)$

— रॉबी मैककिलियम

पी (वाई / एक्स

क्यू) = पी (वाई

अगर एक्स एक सामान्य आर.वी. है qx) सही नहीं है - एक्स कर सकते हैं नकारात्मक भी हो।

\leq

$\le$

\leq

$\le$

— रोनाफ

@ क्रोनफ़: वास्तव में, चूंकि

और

एक भौतिक त्रिभुज की भुजाएँ हैं, इसलिए हमें ऋणात्मक

नहीं होना चाहिए !

X

$X$

Y

$Y$

X

$X$

— shabbychef

@ क्रोनफ़: यह सही विचार है। एक का उपयोग करता है ओर लंबाई पर हस्ताक्षर किए और यह भी एक वास्तविक मूल्य के रूप में कोण मानता है (बजाय अपने मूल्य सापेक्ष

), वहाँ या तो मामले में सामान्य के साथ कोई विसंगति है। असमानता के बारे में आपकी बात संभवतः गलत है। जवाब में मैं केवल यह दावा कर सकता हूं कि समीकरण बनी मान्यताओं के तहत एक उत्कृष्ट सन्निकटन है क्योंकि एक्स या वाई के नकारात्मक होने की संभावना नगण्य है।

2 π

$2\pi$

— whuber

@ हां मैं मानता हूं कि मेरी अभिव्यक्ति में अंतिम "+" ऐसा लगता है जैसे वह नहीं है - यह तब फिसल सकता है जब मैं TeX मार्कअप को साफ कर रहा था। मेरे पास कोई संदर्भ नहीं है क्योंकि मैंने खुद व्युत्पन्न की गणना की है।

— whuber

आप परिपत्र आँकड़ों को देख रहे हैं और विशेष रूप से एक परिपत्र वितरण को अनुमानित सामान्य वितरण कहते हैं ।

किसी कारण से यह विषय Google के लिए थोड़ा कठिन हो सकता है, लेकिन परिपत्र आँकड़ों पर दो प्रमुख ग्रंथ हैं , मार्डीया और जुप्प द्वारा फिशर और दिशात्मक सांख्यिकी द्वारा परिपत्र डेटा का सांख्यिकीय विश्लेषण ।

अनुमानित सामान्य वितरण के गहन विश्लेषण के लिए मर्डिया और जुप के पृष्ठ 46 देखें। वितरण के लिए बंद फॉर्म एक्सप्रेशन (एरर फंक्शन इंटीग्रल तक) हैं, और जैसा कि व्हीबर ने सुझाव दिया है, यह तब सामान्य जैसा दिखता है जब इसके `वेरिएंस '(यहां सावधान, एक सर्कल पर एक यादृच्छिक चर के लिए विचरण का क्या मतलब है? !) छोटा है, यानी जब वितरण एक बिंदु (या दिशा या कोण) पर काफी केंद्रित होता है।

— रॉबी मैककिलियम
स्रोत