दिखा रहा है

9

यदि , का वितरण खोजें । $X\sim\mathcal C(0,1)$ $Y=\frac{2X}{1-X^2}$

हमारे पास $F_Y(y)=\mathrm{Pr}(Y\le y)$

$\qquad\qquad\qquad=\mathrm{Pr}\left(\frac{2X}{1-X^2}\le y\right)$

$\qquad\qquad=\begin{cases} \mathrm{Pr}\left(X\in\left(-\infty,\frac{-1-\sqrt{1+y^2}}{y}\right]\right)+\mathrm{Pr}\left(X\in\left(-1,\frac{-1+\sqrt{1+y^2}}{y}\right]\right),\text{if}\quad y>0\\ \mathrm{Pr}\left(X\in\left(-1,\frac{-1+\sqrt{1+y^2}}{y}\right]\right)+\mathrm{Pr}\left(X\in\left(1,\frac{-1-\sqrt{1+y^2}}{y}\right]\right),\text{if}\quad y<0 \end{cases}$

मुझे आश्चर्य है कि उपरोक्त मामला भेद सही है या नहीं।

दूसरी ओर, निम्नलिखित एक सरल तरीका लगता है:

हम पहचान का उपयोग करके लिख सकते हैं। $Y=\tan(2\tan^{-1}X)$ $\frac{2\tan z}{1-\tan^2z}=\tan 2z$

अब, $X\sim\mathcal C(0,1)\implies\tan^{-1}X\sim\mathcal R\left(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right)$

$\qquad\qquad\qquad\quad\implies 2\tan^{-1}X\sim\mathcal R(-\pi,\pi)$

$\qquad\qquad\qquad\quad\implies\tan\left(2\tan^{-1}X\right)\sim\mathcal C(0,1)$ , अंतिम एक 2-टू -1 परिवर्तन है।

लेकिन अगर मुझे परिभाषा से के वितरण को प्राप्त करने के लिए कहा जाता है , तो मुझे लगता है कि पहली विधि यह है कि मुझे कैसे आगे बढ़ना चाहिए। गणना थोड़ी गड़बड़ हो जाती है, लेकिन क्या मैं सही निष्कर्ष पर पहुंचता हूं? किसी भी वैकल्पिक समाधान का भी स्वागत है। $Y$

जॉनसन-कोटज़-बालाकृष्णन द्वारा निरंतर यूनीवेरिएट डिस्ट्रीब्यूशन (Vol.1) ने कॉची वितरण की इस संपत्ति को उजागर किया है। जैसा कि यह पता चला है, यह सामान्य परिणाम का सिर्फ एक विशेष मामला है।

— StubbornAtom
स्रोत

4

दूसरा समाधान पूरी तरह से सही है, इसलिए इसमें कोई आपत्ति नहीं होनी चाहिए।

— शीआन

1

परिशिष्ट: के बाद से

P (X < x) = \tan^{- 1} (x) / π + 1 / 2

$P(X<x)=\tan^{-1}(x)/\pi+1/2$ , पहले संकल्प को स्पर्शरेखा पर इस पहचान का उपयोग करके समाप्त होना चाहिए।

— शीआन

@ शीआन वास्तव में मैं पहली विधि में तर्क को खत्म करने की कोशिश कर रहा हूं।

— स्टबबोर्नटॉम

6

एक वैकल्पिक, अधिक सरल, इसे देखने का तरीका:

मानक काऊची वितरण:

f (x) d x = \frac{π^{- 1}}{x^{2} + 1} d x

$f(x) \text{d}x = \frac{\pi^{-1}}{x^2+1} \text{d}x$

चर के परिवर्तन:

u (x) = \frac{2 x}{1 - x^{2}} and x_{1} (u) = \frac{- 1 - \sqrt{u^{2} + 1}}{u}, x_{2} (u) = \frac{- 1 + \sqrt{u^{2} + 1}}{u}

$u(x) = \frac{2x}{1-x^2} \qquad \text{and} \qquad x_1(u) = \frac{-1 - \sqrt{u^2+1}}{u} \, , \, x_2(u) = \frac{-1 + \sqrt{u^2+1}}{u}$

वितरण का परिवर्तन:

g (u) d u = \sum_{i = 1, 2} f (x_{i} (u)) | \frac{d x_{i}}{d u} | d u

$g(u)\text{d}u = \sum_{i=1,2} f(x_i(u)) \left|\frac{\text{d}x_i}{\text{d}u}\right|\text{d}u$

यदि आप उसके साथ काम करते हैं, जिसे इतना गन्दा बनने की आवश्यकता नहीं है, तो आपको मिलेगा

g (u) = \frac{π^{- 1}}{u^{2} + 1}

$g(u) = \frac{\pi^{-1}}{u^2+1}$

सचित्र प्रदर्शन

इस तरह की पहचान की तरह काम करता है $\frac{2\tan z}{1-\tan^2z}=\tan 2z$ , लेकिन अधिक स्पष्ट रूप से लिखा गया है।

या विभाजित संचयी वितरण फ़ंक्शन के साथ आपका प्रतिनिधित्व पसंद है $F_Y(y) = Pr(Y \leq y)$ लेकिन अब में एक विभाजन के लिए $f_Y(y) = Pr(y-\frac{1}{2}dy \leq Y\leq y+\frac{1}{2}dy)$ ।

— सेक्सटस एम्पिरिकस
स्रोत

2

दरअसल, परिवर्तन सूत्र, जब

x (u)

$x(u)$ किसी भी दिए गए के लिए एक से अधिक रूट है

u

$u$ , कहो

x_{i} (u) = u

$x_i(u) =u$ के लिये

i = 1, 2, \dots n

$i=1,2,\ldots n$ , है

g (u) = \sum_{i = 1}^{n} f (x_{i} (u)) | \frac{d x_{i} (u)}{d u} | .

$g(u) =\sum_{i=1}^n f(x_i(u))\left|\frac{\mathrm dx_i(u)}{\mathrm du}\right|.$ इस प्रकार, आप जो आवश्यक बताते हैं वह वास्तव में सूत्र में निर्मित होता है।

— दिलीप सरवटे

@DilipSarwate मैं इसे बदलूंगा।

— सेक्स्टस एम्पिरिकस

3

दूसरे दृष्टिकोण में परिवर्तन प्रेरणा की कमी लगता है (इसमें कुछ विवरण भी भरे जाने चाहिए)। यहां, विशेषता फ़ंक्शन गणना से, मैं आपके "रहस्यमय" परिवर्तन का समर्थन करने की कोशिश कर रहा हूं।

की विशेषता समारोह $Y$ इस प्रकार गणना की जा सकती है:

\begin{aligned} φ_{Y} (t) = & E [e^{i t Y}] = \int_{- \infty}^{\infty} e^{i t \frac{2 x}{1 - x^{2}}} \frac{1}{π (1 + x^{2})} d x \\ = & \frac{1}{π} \int_{- \infty}^{\infty} e^{i t \frac{2 x}{1 - x^{2}}} d \arctan x, \end{aligned}

$\begin{align} \varphi_Y(t) = & E[e^{itY}] = \int_{-\infty}^{\infty} e^{it\frac{2x}{1 - x^2}} \frac{1}{\pi(1 + x^2)} dx \\ = & \frac{1}{\pi}\int_{-\infty}^\infty e^{it\frac{2x}{1 - x^2}} d\arctan x, \end{align}$ जो हमें परिवर्तन का प्रयास करने का सुझाव देता है

u = \arctan x

$u = \arctan x$ , जिससे होता है

\begin{aligned} (1) & φ_{Y} (t) = \frac{1}{π} \int_{- π / 2}^{π / 2} e^{i t \frac{2 \tan u}{1 - \tan^{2} u}} d u = \frac{1}{π} \int_{- π / 2}^{π / 2} e^{i t \tan (2 u)} d u . \end{aligned}

$\begin{align} \varphi_Y(t)= \frac{1}{\pi}\int_{-\pi/2}^{\pi/2} e^{it\frac{2\tan u}{1 - \tan^2 u}} du = \frac{1}{\pi}\int_{-\pi/2}^{\pi/2}e^{it\tan(2u)}du. \tag{1} \end{align}$

हमारा लक्ष्य यह दिखाना है कि में अभिन्न है $(1)$ एक मानक कॉची यादृच्छिक चर की विशेषता समारोह के बराबर है $X$ :

\begin{aligned} φ_{X} (t) = & \int_{- \infty}^{\infty} e^{i t x} \frac{1}{π (1 + x^{2})} d x \\ (2) & = & \frac{1}{π} \int_{- π / 2}^{π / 2} e^{i t \tan u} d u \end{aligned}

$\begin{align} \varphi_X(t) = & \int_{-\infty}^\infty e^{itx}\frac{1}{\pi(1 + x^2)} dx \\ = & \frac{1}{\pi}\int_{-\pi/2}^{\pi/2} e^{it\tan u} du \tag{2} \end{align}$

में अभिन्न क्यों करता है $(1)$ में अभिन्न के बराबर $(2)$ ? पहली नज़र में, यह थोड़ा जवाबी-सहज है। इसे सत्यापित करने के लिए, हमें फ़ंक्शन की एकरसता का इलाज करने की आवश्यकता है $\tan(\cdot)$ सावधानी से। चलो काम करना जारी रखें $(1)$ :

\begin{aligned} φ_{Y} (t) = & \frac{1}{π} \int_{- π / 2}^{π / 2} e^{i t \tan (2 u)} d u \\ = & \frac{1}{2 π} \int_{- π}^{π} e^{i t \tan v} d v (Change of variable v = 2 u) \\ = & \frac{1}{2 π} [\int_{- π}^{- π / 2} + \int_{- π / 2}^{π / 2} + \int_{π / 2}^{π}] e^{i t \tan u} d u \\ = & \frac{1}{2} φ_{X} (t) + \frac{1}{2 π} \int_{- π}^{- π / 2} e^{i t \tan v} d v + \frac{1}{2 π} \int_{π / 2}^{π} e^{i t \tan v} d v (3) \\ = & \frac{1}{2} φ_{X} (t) + \frac{1}{2 π} \int_{- π / 2}^{0} e^{- i t \tan u_{1}} d u_{1} + \frac{1}{2 π} \int_{0}^{π / 2} e^{- i t \tan u_{2}} d u_{2} (4) \\ = & \frac{1}{2} φ_{X} (t) + \frac{1}{2 π} \int_{- π / 2}^{π / 2} e^{- i t \tan v} d v \\ = & φ_{X} (t) (5) \end{aligned}

$\begin{align} \varphi_Y(t) = & \frac{1}{\pi}\int_{-\pi/2}^{\pi/2}e^{it\tan(2u)}du \\ = & \frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^\pi e^{it\tan v} dv \quad (\text{Change of variable } v = 2u) \\ = & \frac{1}{2\pi}\left[\int_{-\pi}^{-\pi/2} + \int_{-\pi/2}^{\pi/2} + \int_{\pi/2}^{\pi}\right]e^{it\tan u} du \\ = & \frac{1}{2}\varphi_X(t) + \frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{-\pi/2}e^{it\tan v} dv + \frac{1}{2\pi}\int_{\pi/2}^{\pi}e^{it\tan v} dv \quad (3) \\ = & \frac{1}{2}\varphi_X(t) + \frac{1}{2\pi}\int_{-\pi/2}^{0} e^{-it\tan u_1} du_1 + \frac{1}{2\pi}\int_{0}^{\pi/2} e^{-it\tan u_2} du_2 \quad (4) \\ = & \frac{1}{2}\varphi_X(t) + \frac{1}{2\pi}\int_{-\pi/2}^{\pi/2} e^{-it\tan v} dv \\ = & \varphi_X(t) \quad (5) \end{align}$

$(3)$ : Because the function $u \mapsto \tan(u)$ is not monotone on the interval $(-\pi, \pi)$ , I made such division such that each integrand is monotone on the separated interval (which ensures subsequent change of variable formulae valid).

$(4)$ : The two change of variable formulae are $u_1 = -\pi - v$ and $u_2 = \pi - v$ .

$(5)$ : Last change of variable formula $u = -v$ .

The steps $(3)$ -- $(5)$ elaborated the statement "the last one being a 2-to-1 transformation" in OP's question.

— Zhanxiong
स्रोत

I wonder why the second approach is 'mysterious' or 'lacks motivation'. The fact that

Θ \sim Rect (- π / 2, π / 2) \Leftrightarrow \tan (Θ) \sim C (0, 1)

$\Theta\sim\text{Rect}(-\pi/2,\pi/2)\Leftrightarrow \tan(\Theta)\sim\mathcal C(0,1)$ is a very standard result which is easily seen using the probability integral transformation. And in the last step where I go from

U \sim Rect (- π, π)

$U\sim\text{Rect}(-\pi,\pi)$ to

V = \tan U \sim C (0, 1)

$V=\tan U\sim\mathcal C(0,1)$ is possibly justified as follows:

— StubbornAtom

...

F_{V} (v) = P r (\tan U \leq v) = F_{U} (\tan^{- 1} v)

$F_V(v)=\mathrm{Pr}(\tan U\le v)=F_U(\tan^{-1}v)$ . I differentiate the above wrt

v

$v$ to get

f_{V} (v) = f_{U} (\tan^{- 1} v) 2 \frac{d}{d v} (\tan^{- 1} v)

$f_V(v)=f_U(\tan^{-1}v)2\frac{d}{dv}(\tan^{-1}v)$ , where I multiply the Jacobian by 2 because the transformation is two to one in

(- π, π)

$(-\pi,\pi)$ . All this can be expressed more rigorously I guess.

— StubbornAtom