क्या अधिक है,

Question

इसलिए मेरे पास एक संभावना परीक्षण था और मैं वास्तव में इस प्रश्न का उत्तर नहीं दे सकता था। यह कुछ इस तरह से पूछा:

"उस पर विचार करना $X$ एक यादृच्छिक चर है, $X$ $\geqslant$ $0$ , सही असमानता का उपयोग यह साबित करने के लिए कि क्या उच्च या बराबर है, या ।$E(X^2)^3$$E(X^3)^2$

केवल एक चीज जो मैं सोच सकता था, वह जेन्सन की असमानता थी, लेकिन मैं वास्तव में नहीं जानता कि इसे यहां कैसे लागू किया जाए।

Comments

इसके बजाय धारक की असमानता का प्रयास करें।

— 21

कृपया स्व अध्ययन टैग जोड़ें।

— माइकल आर। चेरिक

आंकड़े . stackexchange.com/questions/244202/… पर थ्रेड इस प्रश्न को सामान्य करता है: इसे लागू करने के लिए दोनों पक्षों की छठी जड़ें लें।

— whuber

कृपया सहायता केंद्र

— Glen_b -Reinstate Monica

Answer 1

यह वास्तव में जेनसन असमानता से साबित हो सकता है।

संकेत : ध्यान दें कि लिए फ़ंक्शन उत्तल है (यह वह जगह है जहां आप धारणा उपयोग करते हैं )। तब जेन्सेन असमानता और , यह है दूसरी तरह से घेर लिया।$\alpha > 1$$x^{\alpha}$$\left[0, -\infty\right)$$X \ge 0$

$$\mathbb{E}\left[Y\right]^{\alpha} \le \mathbb{E}\left[Y^{\alpha}\right]$$ $\alpha < 1$

अब, चर को कुछ तुलनीय में बदलें, और संबंधित ।$\alpha$

Answer 2

लायपुनोव की असमानता (देखें: कैसला और बर्जर, सांख्यिकीय अनुमान 4.7.6):

के लिए : $1 < r < s < \infty$

$$\mathbb{E}[|X|^r]^\frac{1}{r} \leq \mathbb{E}[|X|^s]^\frac{1}{s}$$

प्रमाण :

उत्तल लिए जेनेंस की असमानता द्वारा :$\phi(x)$$\phi(\mathbb{E}X) \leq \mathbb{E}[\phi(x)]$

पर विचार करें , फिर जहां$\phi(Y) = Y^t$$(\mathbb{E}[Y])^t \leq \mathbb{E}[Y^t]$$Y = |X|^r$

स्थानापन्न :$t = \frac{s}{r}$$(\mathbb{E}[|X|^r])^{\frac{s}{r}} \leq \mathbb{E}[|X|^{r\frac{s}{r}}]$ $\implies \mathbb{E}[|X|^r]^\frac{1}{r} \leq \mathbb{E}[|X|^s]^\frac{1}{s}$

सामान्य रूप से इसका तात्पर्य है:$X >0$

$\mathbb{E}[X] \leq (\mathbb{E}[X^2])^\frac{1}{2} \leq (\mathbb{E}[X^3])^\frac{1}{3} \leq (\mathbb{E}[X^4])^\frac{1}{4} \leq \dots$

Answer 3

मान लीजिए कि X का एक समान वितरण है [0,1] तो E (X ) = और इसलिए E (X ) = और ( X ) = तो E (X ) = । तो इस मामले में ई (एक्स ) > ई (एक्स ) । क्या आप इसे सामान्य कर सकते हैं या एक प्रतिसाद प्राप्त कर सकते हैं?$^2$$\frac{1}{3}$$^2$$^3$$\frac{1}{27}$$^3$$\frac{1}{4}$$^3$$^2$$\frac{1}{16}$$^3$$^2$$^2$$^3$

Comments

बहुत अस्पष्ट जवाब। ओपी को सही बयान साबित करने के लिए कहा जाता है। कोई प्रतिपक्ष नहीं है।

— झांक्सिओनग