कर देता है

Question

कर देता है $\mathbb{Cov} \left(f(X),Y\right) = 0 \; \forall \; f(.)$ स्वतंत्र रूप से $X$ तथा $Y$?

मैं केवल स्वतंत्रता की निम्नलिखित परिभाषा से परिचित हूं $X$ तथा $Y$।

$$f_{x,y}(x,y) = f_x(x)f_y(y)$$

Comments

आप की जरूरत है $\mathbb{Cov} \left(f(X),g(Y)\right) = 0 ~\text{for all (measurable)} ~f(\cdot), g(\cdot)$, न सिर्फ $\mathbb{Cov} \left(f(X),Y\right) = 0 \; \forall \; f(\cdot)$

— दिलीप सरवटे

Answer 1

आइए अंतर्ज्ञान से शुरू करें। के सामान्य कम से कम वर्गों प्रतिगमन का ढलान$Y$ विरुद्ध $h(X)$किसी भी समारोह के लिए $h$, के सह-प्रसार के लिए आनुपातिक है $h(X)$ तथा $Y$। धारणा यह है कि सभी प्रतिगमन सभी शून्य हैं (न केवल रैखिक वाले)। यदि आप कल्पना करते हैं$(X,Y)$ एक बिंदु बादल (वास्तव में, एक संभावना घनत्व बादल) द्वारा प्रतिनिधित्व किया जाता है, फिर कोई फर्क नहीं पड़ता कि आप इसे कैसे लंबवत स्लाइस करते हैं और स्लाइस को पुन: व्यवस्थित करते हैं (जो मैपिंग को पूरा करता है। $h$), प्रतिगमन शून्य रहता है। इसका तात्पर्य सशर्त अपेक्षाओं से है$Y$(जो प्रतिगमन समारोह हैं) सभी स्थिर हैं। हम उम्मीदों को स्थिर रखते हुए सशर्त वितरण के साथ चारों ओर पेंच कर सकते हैं , जिससे स्वतंत्रता का कोई भी मौका बर्बाद हो सकता है। इसलिए हमें यह उम्मीद करनी चाहिए कि निष्कर्ष हमेशा पकड़ में नहीं आता है।

सरल प्रतिपक्ष हैं। नौ सार तत्वों के एक नमूना स्थान पर विचार करें

$$\Omega = \{\omega_{i,j}\mid -1 \le i,j,\le 1\}$$ और संभावना द्वारा निर्धारित असतत उपाय

$$\mathbb{P}(\omega_{0,0})=0;\ \mathbb{P}(\omega_{0,j})=1/5\,(j=\pm 1);\ \mathbb{P}(\omega_{i,j}=1/10)\text{ otherwise.}$$

परिभाषित करें

$$X(\omega_{i,j})=j,\ Y(\omega_{i,j})=i.$$

हम इन संभावनाओं को एक सरणी के रूप में प्रदर्शित कर सकते हैं

$$\pmatrix{1&2&1\\1&0&1\\1&2&1}$$

(सभी प्रविष्टियों के साथ गुणा करके $1/10$) मूल्यों द्वारा दोनों दिशाओं में अनुक्रमित $-1,0,1$।

सीमांत संभावनाएं हैं

$$f_X(-1)=f_X(1)=3/10;\, f_X(0)=4/10$$ तथा $$f_Y(-1)=f_Y(1)=4/10;\, f_Y(0)=2/10,$$ क्रमशः कॉलम और पंक्ति के कॉलम से गणना की जाती है। जबसे $$f_X(0)f_Y(0)=(4/10)(2/10)\ne 0=\mathbb{P}(\omega_{0,0})=f_{XY}(0,0),$$ ये चर स्वतंत्र नहीं हैं।

इसका निर्माण सशर्त वितरण करने के लिए किया गया था $Y$ कब $X=0$ के लिए अन्य सशर्त वितरण से अलग $X=\pm 1$। आप इसे मैट्रिक्स के मध्य स्तंभ की तुलना अन्य स्तंभों से कर सकते हैं। में समरूपता$Y$निर्देशांक और सभी सशर्त संभावनाओं में तुरंत सभी सशर्त अपेक्षाएं शून्य से दिखाई देती हैं, जहां सभी संवेग शून्य हैं, चाहे कोई भी संबंधित मान क्यों न हो$X$ स्तंभों को पुन: असाइन किया जा सकता है।

जो लोग असंबद्ध रह सकते हैं, उनके लिए प्रतिक्षेपण को प्रत्यक्ष संगणना के माध्यम से प्रदर्शित किया जा सकता है - केवल हैं $27$ जिन कार्यों पर विचार किया जाना है और उनमें से प्रत्येक के लिए सहसंयोजक शून्य है।