गैर-प्रसार घातांक वितरण का अपेक्षित लॉग मान

मान लीजिए $X$ गैर-केंद्रीय घातीय स्थान के साथ वितरित किया जाता है $k$ और दर $\lambda$ । फिर, क्या है $E(\log(X))$ ।

मुझे पता है कि के लिए $k=0$ , उत्तर है $-\log(\lambda) - \gamma$ कहाँ पे $\gamma$ Euler-Mascheroni स्थिर है। कब क्या हुआ? $k > 0$ ?

mean expected-value integral

— नील जी
स्रोत

क्या आपने गणितज्ञ में एकीकृत करने की कोशिश की है?

मै मानता हूँ

k > 0

$k > 0$ (जब घनत्व के रूप में लिखा जाता है

λ \exp {- λ (x - k)}

$\lambda \exp\{-\lambda(x-k)\}$ ,) अन्यथा

x < 0

$x < 0$ संभाव्यता के साथ> 0, के लिए भयानक परिणामों के साथ

E \log x

$\mathbb{E}\log x$ ।

— जूलमैन

मुझे मिला

E [\log (X)] = e^{k λ} Γ (0, k λ) + \log (k)

${\mathbb E}[\log(X)]=e^{k\lambda}\Gamma(0,k\lambda)+\log(k)$ । यदि आप Assumptionsपैरामीटर स्पेस को निर्दिष्ट करने के लिए कमांड का उपयोग करते हैं तो मैथेमेटिका अधिक तेज़ है।

क्या ऊपरी अपूर्ण गामा फ़ंक्शन को बंद रूप में गिना जाता है ? (मेरे लिए, यह नहीं है।) यह सिर्फ आसानी से अंकन के माध्यम से एक अभिन्न छुपा रहा है।

— कार्डिनल

@NeilG यह मैथमेटिका कोड है Integrate[Log[x + k]*\[Lambda]*Exp[-\[Lambda]*x], {x, 0, \[Infinity]}, Assumptions -> k > 0 && \[Lambda] > 0]। आप बस इसे कॉपी कर सकते हैं और इसे एक .nb फ़ाइल पर चिपका सकते हैं। मुझे यकीन नहीं है कि अगर वुल्फराम अल्फा प्रतिबंधों को शामिल करने की अनुमति देता है।

वांछित अभिन्न अंग को क्रूर बल जोड़तोड़ द्वारा प्रस्तुत किया जा सकता है; यहाँ, हम इसके बजाय थोड़ा अधिक संभावित स्वाद के साथ एक वैकल्पिक व्युत्पत्ति देने की कोशिश करते हैं।

चलो $X \sim \mathrm{Exp}(k,\lambda)$ स्थान पैरामीटर के साथ एक गैर-प्रसार घातीय यादृच्छिक चर हो $k > 0$ और दर पैरामीटर $\lambda$ । फिर $X = Z + k$ कहाँ पे $Z \sim \mathrm{Exp}(\lambda)$ ।

ध्यान दें कि $\log(X/k) \geq 0$ और इसलिए, nonnegative यादृच्छिक चर की उम्मीद की गणना के लिए एक मानक तथ्य का उपयोग करते हुए , लेकिन, बाद से पर और इसलिए जहां अंतिम समानता प्रतिस्थापन , जो उस नोट करता है। ।

E \log (X / k) = \int_{0}^{\infty} P (\log (X / k) > z) d z = \int_{0}^{\infty} P (Z > k (e^{z} - 1)) d z .

$\newcommand{\e}{\mathbb E}\newcommand{\rd}{\mathrm d}\renewcommand{\Pr}{\mathbb P} \e \log(X/k) = \int_0^\infty \Pr(\log(X/k) > z)\,\rd z = \int_0^\infty \Pr(Z > k(e^z - 1)) \,\rd z \>.$

P (Z > k (e^{z} - 1)) = \exp (- λ k (e^{z} - 1))

$\Pr(Z > k(e^z -1)) = \exp(-\lambda k(e^z - 1))$

z \geq 0

$z \geq 0$

Z \sim E x p (λ)

$Z \sim \mathrm{Exp}(\lambda)$

E \log (X / k) = e^{λ k} \int_{0}^{\infty} \exp (- λ k e^{z}) d z = e^{λ k} \int_{λ k}^{\infty} t^{- 1} e^{- t} d टी,

$\e \log(X/k) = e^{\lambda k} \int_0^\infty \exp(-\lambda k e^z) \, \rd z = e^{\lambda k} \int_{\lambda k}^\infty t^{-1} e^{-t} \,\rd t \>,$

t = λ k e^{z}

$t = \lambda k e^z$

d z = d t / t

$\rd z = \rd t / t$

अंतिम प्रदर्शन के दाहिने हाथ के आकार पर अभिन्न परिभाषा द्वारा सिर्फ है और इसलिए जैसा कि @ Procrastinator के Mathematica संगणना द्वारा पुष्टिकरण में है । $\Gamma(0,\lambda k)$

इ लॉग एक्स = इ^{λ क} Γ (0, λ क) + लॉग क,

$\e \log X = e^{\lambda k} \Gamma(0,\lambda k) + \log k \>,$

NB : बराबर संकेतन का उपयोग अक्सर स्थान पर भी किया जाता है । $\mathrm E_1(x)$ $\Gamma(0,x)$

— कार्डिनल
स्रोत

+1 @Michael चेरिक ऐसा लगता है कि हर कोई आलसी नहीं है;)।

यह वास्तव में बहुत अच्छा है। मैं इसे लागू करने वाले किसी भी व्यक्ति के लिए इंगित करना चाहता हूं कि अपूर्ण गामा फ़ंक्शन के कई कार्यान्वयन पहले पैरामीटर को कड़ाई से सकारात्मक होने के लिए प्रतिबंधित करते हैं। पहचान उस मामूली समस्या को हल करती है।

Γ (0, z) = - Ei (- z)

$\Gamma(0, z) = -\operatorname{Ei}(-z)$

— नील जी