नमूना आकार और पूर्ववर्ती पर प्रभाव के बीच संबंध क्या है?

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यदि हमारे पास एक छोटा सा नमूना आकार है, तो क्या पूर्व वितरण पिछले वितरण को बहुत प्रभावित करेगा?

bayesian sample-size prior

— toby j
स्रोत

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अंतर्ज्ञान स्पष्ट है: आपके पास जितना अधिक डेटा होगा, आपको अपने पुजारियों पर उतना कम भरोसा करना होगा। सिर्फ एक सांख्यिकी सबक नहीं, बल्कि एक जीवन सबक! ;)

— लुकास रीस

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हाँ। एक पैरामीटर के लिए पिछला वितरण , एक डेटा सेट दिया के रूप में लिखा जा सकता है $\theta$ ${\bf X}$

p (θ | X) \propto \underset{l i k e l i h o o d}{\underset{⏟}{p (X | θ)}} \cdot \underset{p r i o r}{\underset{⏟}{p (θ)}}

$p(\theta | {\bf X}) \propto \underbrace{p({\bf X} | \theta)}_{{\rm likelihood}} \cdot \underbrace{p(\theta)}_{{\rm prior}}$

या, जैसा कि आमतौर पर लॉग स्केल पर प्रदर्शित होता है,

\log (p (θ | X)) = c + L (θ; X) + \log (p (θ))

$\log( p(\theta | {\bf X}) ) = c + L(\theta;{\bf X}) + \log(p(\theta))$

लॉग-संभावना, , नमूना आकार के साथ तराजू , क्योंकि यह डेटा का एक कार्य है, जबकि पूर्व घनत्व नहीं है। इसलिए, नमूने का आकार बढ़ जाता है, का निरपेक्ष मान के रूप में बड़ा हो रही है, जबकि रहता है फिक्स्ड (की एक निश्चित मूल्य के लिए ), इस प्रकार योग $L(\theta;{\bf X}) = \log \left( p({\bf X}|\theta) \right)$ $L(\theta;{\bf X})$ $\log(p(\theta))$ $\theta$ अधिक भारी से प्रभावित हो जाता है नमूने का आकार बढ़ जाती है के रूप में। $L(\theta;{\bf X}) + \log(p(\theta))$ $L(\theta;{\bf X})$

इसलिए, अपने सवाल का सीधे जवाब देने के लिए - पूर्व वितरण कम और कम प्रासंगिक हो जाता है क्योंकि यह संभावना से आगे निकल जाता है। तो, एक छोटे नमूने के आकार के लिए, पूर्व वितरण बहुत बड़ी भूमिका निभाता है। यह तब से अंतर्ज्ञान के साथ सहमत है, आप अपेक्षा करेंगे कि पूर्व विनिर्देश एक बड़ी भूमिका निभाएंगे जब उन्हें अप्रसारित करने के लिए बहुत अधिक डेटा उपलब्ध नहीं है, जबकि यदि नमूना आकार बहुत बड़ा है, तो डेटा में मौजूद संकेत जो कुछ भी प्राथमिकता देगा मॉडल में विश्वासों को रखा गया था।

— मैक्रो
स्रोत

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+1 ध्यान दें कि

पर भी निर्भर करता है ।

c

$c$

n

$n$

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यहां मैक्रो के उत्कृष्ट (+1) उत्तर में अंतिम पैराग्राफ को चित्रित करने का प्रयास किया गया है। यह पैरामीटर के लिए दो महंतों से पता चलता में वितरण। कुछ भिन्न , पीछे के वितरण को तब दिखाया जाता है जब देखा गया हो। जैसा कि $p$ ${\rm Binomial}(n,p)$ $n$ $x=n/2$ $n$ बढ़ता है, दोनों कूल्हे अधिक से अधिक के आसपास केंद्रित हो जाते हैं । $1/2$

के लिए $n=2$ $n=50$

${\rm Beta(1/2,1/2)}$ ${\rm Beta(2,2)}$

Posterior distributions

$n=50$

— MånsT
स्रोत

4

बहुत अच्छा चित्र, @ MånsT। मैंने आपके उत्तर में 'बीटा' और 'बिनोमियल' शब्दों को डी-इटैलिक किया। मुझे आशा है कि आपको कोई आपत्ति नहीं है।

— मैक्रो

बिल्कुल नहीं, @ मैक्रो! मैं मानता हूं कि यह इस तरह से बेहतर है।

— Mnsns