यदि X और Y असंबंधित हैं, तो क्या X ^ 2 और Y भी असंबंधित हैं?

यदि दो यादृच्छिक चर और असंबंधित हैं, तो क्या हम यह भी जान सकते हैं कि और असंबंधित हैं? मेरी परिकल्पना हाँ है। $X$ $Y$ $X^2$ $Y$

$X, Y$ असंबद्ध का अर्थ है , या $E[XY]=E[X]E[Y]$

E [X Y] = \int x y f_{X} (x) f_{Y} (y) d x d y = \int x f_{X} (x) घ एक्स \int y च_{Y} (y) घ y = ए [एक्स] ए [Y]

$E[XY]=\int xy f_X(x)f_Y(y)dxdy=\int xf_X(x)dx\int yf_Y(y)dy=E[X]E[Y]$

क्या इसका मतलब निम्नलिखित भी है?

ए [{एक्स}^{2} Y] = \int {एक्स}^{2} y च_{एक्स} (एक्स) च_{Y} (y) घ एक्स घ y = \int {एक्स}^{2} च_{एक्स} (एक्स) घ एक्स \int y च_{Y} (y) घ y = ए [{एक्स}^{2}] ए [Y]

$E[X^2Y]=\int x^2y f_X(x)f_Y(y)dxdy=\int x^2f_X(x)dx\int yf_Y(y)dy=E[X^2]E[Y]$

random-variable independence

— वेज स्टिक्कबके
स्रोत

हाँ। यह प्रश्न पहले भी पूछा और उत्तर दिया जा चुका है, लेकिन मुझे अपने मोबाइल डिवाइस से कोई विशिष्ट संदर्भ नहीं मिल रहा है।

— दिलीप सरवटे

@DilipSarwate ऐसा लगता है कि स्वीकृत जवाब पहले से ही एक काउंटर उदाहरण देता है।

— विम

@DilipSarwate आपको अपनी टिप्पणी में "हाँ" के बजाय "नहीं" का मतलब होना चाहिए!

— अमीबा का कहना है कि मोनिका

@amoeba स्वतंत्रता के बारे में पूछे गए प्रश्न का मूल संस्करण जिसके लिए उत्तर वास्तव में हां है। तब से इसे असम्बद्ध यादृच्छिक चर के बारे में पूछने के लिए संपादित किया गया है। मैं अपनी टिप्पणी अब नहीं बदल सकता।

— दिलीप सरवटे

मूल प्रश्न काफी उलझा हुआ था, क्योंकि इसमें स्वतंत्रता की गलत परिभाषा का इस्तेमाल किया गया था। वर्तमान प्रश्न अभी भी उलझन में है, क्योंकि यह असंबंधित होने से अनुचित कटौती का दावा करता है (यह

f_{X Y} (x, y) = f_{X} (x) f_{Y} (y)

$f_{XY}(x,y)=f_X(x)f_Y(y)$ )

। मुझे आशा है कि @vegardstikbakke स्वतंत्र और असंबद्ध की उचित परिभाषाओं पर कुछ उदाहरणों के साथ पढ़ता है।

— मेनी रोसेनफेल्ड

जवाबों:

नहीं। एक प्रतिधारण:

चलो समान रूप से पर वितरित किया जा , । $X$ $[-1, 1]$ $Y = X^2$

फिर और भी ( विषम कार्य है), इसलिए असंबंधित हैं। $E[X]=0$ $E[XY]=E[X^3]=0$ $X^3$ $X,Y$

लेकिन $E[X^2Y] = E[X^4] = E[{X^2}^2] > E[X^2]^2 = E[X^2]E[Y]$

अंतिम असमानता जेन्सेन की असमानता से होती है। यह इस तथ्य से भी अनुसरण करता है कि चूंकि स्थिर नहीं है। $E[{X^2}^2] - E[X^2]^2 = Var(X) > 0$ $X$

आपके तर्क के साथ समस्या यह है कि और इसके विपरीत पर निर्भर हो सकता है , इसलिए आपकी समानता अमान्य है। $f_X$ $y$

— जकुब बार्टिचुक
स्रोत

जेन्सन की असमानता के साथ इसे और अधिक जटिल बनाने की कोई आवश्यकता नहीं है; एक गैर-नकारात्मक यादृच्छिक चर है, और wp 1 नहीं है, इसलिए (या आप बस सकते हैं और आसानी से इसके सकारात्मक को देख सकते हैं )।

X^{4}

$X^4$

0

$0$

E [X^{4}] > 0

$E[X^4] >0$

\int_{- 1}^{1} x^{4} d x

$\int_{-1}^1 x^4 dx$

— बैटमैन

आपको एक प्लॉट भी जोड़ना चाहिए। मैं एक समान उदाहरण पर विचार कर रहा था (Y = | X | -1: +1 पर) लेकिन इसे नेत्रहीन प्रस्तुत किया होगा।

— एनी-मूस

@ बेटमैन मैं वास्तव में यह नहीं देखता कि यह आपको कुछ भी देता है क्योंकि हम रुचि रखते हैं यदि

E [{X^{2}}^{2}] - E [X^{2}]^{2} > 0

$E[{X^2}^2] - E[X^2]^2 > 0$

— Jakub Bartczuk

@ Anony-Mousse को Y. Y = | X को प्रतिबंधित करने की आवश्यकता नहीं है आवश्यकता को पूरा करता है।

— लोरेन Pechtel

दृश्य के लिए LorenPechtel। क्योंकि IMHO यह देखने के लिए बेहतर है कि ऐसा क्यों हो सकता है, और न केवल यह कि गणित परिणाम वांछित है।

— एनोनी-मौसे

भले ही , न केवल यह संभव है कि और सहसंबद्ध हैं, लेकिन वे भी पूरी तरह से सहसंबद्ध हो सकते हैं, with : $\operatorname{Corr}(X,Y)=0$ $X^2$ $Y$ $\operatorname{Corr}(X^2,Y)=1$

> x <- c(-1,0,1); y <- c(1,0,1)
> cor(x,y)
[1] 0
> cor(x^2,y)
[1] 1

या : $\operatorname{Corr}(X^2,Y)=-1$

> x <- c(-1,0,1); y <- c(-1,0,-1)
> cor(x,y)
[1] 0
> cor(x^2,y)
[1] -1

यदि आप R कोड नहीं पढ़ सकते हैं , तो पहला उदाहरण दो यादृच्छिक चर और पर विचार करने के बराबर है, संयुक्त वितरण के साथ ऐसा समान रूप से होने की संभावना है , या । पूरी तरह से नकारात्मक सहसंबद्ध उदाहरण में, समान रूप से होने की संभावना है , या । $X$ $Y$ $(X,Y)$ $(-1,1)$ $(0,0)$ $(1,1)$ $(X,Y)$ $(-1,-1)$ $(0,0)$ $(1,-1)$

फिर भी, हम और निर्माण भी कर सकते हैं जैसे कि , इसलिए सभी चरम संभव हैं: $X$ $Y$ $\operatorname{Corr}(X^2,Y)=0$

> x <- c(-1,-1,0,1,1); y <- c(1,-1,0,1,-1)
> cor(x,y)
[1] 0
> cor(x^2,y)
[1] 0

— silverfish
स्रोत

आपके तर्क में त्रुटि यह है कि आप बारे में निम्नलिखित लिखते हैं : जबकि सामान्य तौर पर दो संयोग अगर , अर्थात यदि और स्वतंत्र हैं। स्वतंत्र होने के लिए असंबद्ध होना एक आवश्यक लेकिन पर्याप्त स्थिति नहीं है। इसलिए यदि दो चर और असंबंधित हैं, लेकिन निर्भर हैं, तो और सहसंबद्ध हो सकते हैं। $E[h(X,Y)]$

ए [ज (एक्स, Y)] = \int ज (एक्स, y) च_{एक्स} (एक्स) च_{Y} (y) घ एक्स घ y

$E[h(X,Y)]=\int h(x,y) f_X(x)f_Y(y)dxdy$

ए [ज (एक्स, Y)] = \int ज (एक्स, y) च_{एक्स Y} (एक्स, y) घ एक्स घ y ।

$E[h(X,Y)]=\int h(x,y) f_{XY}(x,y)dxdy.$

f_{X Y} (x, y) = f_{X} (x) f_{Y} (y)

$f_{XY}(x,y)=f_X(x)f_Y(y)$

X

$X$

Y

$Y$

X

$X$

Y

$Y$

f (X)

$f(X)$

g (Y)

$g(Y)$

— लुका सिटी
स्रोत