ड्रिफ्ट के साथ रैंडम वॉक के अधिकतम ड्राडाउन के संचयी वितरण की गणना करना

Question

मैं एक यादृच्छिक चलने की अधिकतम गिरावट के वितरण में रुचि रखता हूं: जहां । पीरियड के बाद की अधिकतम गिरावट । मैगडन-इस्माइल एट द्वारा एक पेपर । अल। बहाव के साथ एक ब्राउनियन गति की अधिकतम गिरावट के लिए वितरण देता है। अभिव्यक्ति में एक अनंत राशि शामिल होती है जिसमें केवल अनुमानित रूप से परिभाषित कुछ शब्द शामिल होते हैं। मुझे एक कार्यान्वयन लिखने में समस्याएँ हो रही हैं जो कि परिवर्तित होती हैं। क्या किसी को CDF की वैकल्पिक अभिव्यक्ति या कोड में संदर्भ कार्यान्वयन के बारे में पता है?$X_0 = 0, X_{i+1} = X_i + Y_{i+1}$$Y_i \sim \mathcal{N}(\mu,1)$$n$$\max_{0 \le i \le j \le n} (X_i - X_j)$

Comments

आपको इसकी कितनी सही जरूरत है? क्या आप बस चलने का अनुकरण कर सकते हैं और पूरी तरह से कार्यात्मक समाधान से बच सकते हैं?

— काइल सिप

अच्छी बात। मुझे परमाणु-भौतिकी स्तर की सटीकता की आवश्यकता नहीं है। वास्तव में, 3 सिगफिग शायद ठीक है ....

— shabbychef

यही कारण है कि एक लाख नकली यादृच्छिक क्षेत्रों के बारे में की आवश्यकता होगी ...

— whuber

Answer 1

यह एक वैकल्पिक योग है। प्रत्येक क्रमिक जोड़ी लगभग रद्द हो जाती है; इस तरह की जोड़ी-रकम अंततः नीरस रूप से कम हो जाती है।

एक दृष्टिकोण, तो, जोड़े में योग की गणना करना है जहां = {1,2}, {3,4}, {5,6}, आदि (ऐसा करने से बहुत सारी फ़्लोटिंग पॉइंट त्रुटि समाप्त हो जाती है।) अधिक तरकीबें मदद कर सकती हैं:$n$

(1) एक सकारात्मक निरंतर लिए को हल करने के लिए , खोज के लिए एक अच्छा प्रारंभिक मूल्य - और सबसे बड़ा root-- के लिए एक उत्कृष्ट सन्निकटन है । मुझे संदेह है कि न्यूटन-राफसन को वास्तव में अच्छी तरह से काम करना चाहिए।$\tan(t) = t / \alpha$$\alpha$$n^\text{th}$$t = (n + 1/2)\pi - \frac{\alpha}{(n + 1/2)\pi}$

(२) कम संख्या में प्रारंभिक शब्दों के बाद, जोड़ियों की राशि बहुत, बहुत लगातार आकार में कम होने लगती है। तेजी से फैलने वाले जोड़े के पूर्ण मूल्यों के लघुगणक जल्दी से लगभग रैखिक रूप से कम हो जाते हैं। इसका मतलब यह है कि आप गणना किए गए सभी जोड़ी-रकम का अनुमान लगाने के लिए बहुत कम संख्या में गणना किए गए जोड़ी-रकम के बीच अंतर कर सकते हैं। उदाहरण के लिए, केवल जोड़े (2,3), (4,5), (8,9), (16,17), ..., (16384, 16385) के मानों की गणना करके और इन के लिए प्रक्षेप बहुपद का निर्माण करना (1, 2, ..., 14 पर एक समारोह के मूल्यों के रूप में सोचा) और तर्कों का उपयोग करके$h = \mu = \sigma = 1$, मैं सबसे खराब मामलों की त्रुटियों के लिए छह-आंकड़ा परिशुद्धता प्राप्त करने में सक्षम था। (यहां तक ​​कि अच्छे, हस्ताक्षर में त्रुटियां उत्पन्न होती हैं, संक्षेपित प्रक्षेपित मानों में सटीकता का सुझाव देना छह आंकड़ों की तुलना में थोड़ा बेहतर हो सकता है।) आप शायद इन मूल्यों के अंत में रेखीय रूप से एक्सट्रपलेशन करके अच्छी परिशुद्धता तक सीमित राशि का अनुमान लगा सकते हैं (जो एक शक्ति कानून के लिए अनुवाद) और अनन्तता के लिए अतिरिक्त कार्य को एकीकृत करता है। इस उदाहरण की गणना को पूरा करने के लिए आपको पहले पद की भी आवश्यकता है। यह समिश्रण में केवल 29 संगणित शब्दों के माध्यम से छह-आंकड़ा परिशुद्धता देता है।

(3) ध्यान दें कि फ़ंक्शन वास्तव में और पर निर्भर करता है , इन तीनों चर पर स्वतंत्र रूप से नहीं। पर निर्भरता कमजोर है (जैसा कि यह होना चाहिए); आप अपने सभी गणनाओं में इसके मूल्य को ठीक करने के लिए संतुष्ट हो सकते हैं।$h/\sigma$$\mu/\sigma$$T$

(४) इस सब के शीर्ष पर, कुछ श्रृंखला-त्वरण विधियों का उपयोग करने पर विचार करें , जैसे कि ऐटकेन की विधि । न्यूमेरिकल रेसिपी में इसका एक अच्छा लेखा-जोखा दिखाई देता है ।

जोड़ा गया

(5) आप एक अभिन्न के साथ योग की पूंछ का अनुमान लगा सकते हैं। लेखन पर , समीकरण (साथ ) हल किया जा सकता के लिए , जो छोटे, और उसके बाद के लिए है वापस प्रतिस्थापन। में एक टेलर श्रृंखला में स्पर्शरेखा का विस्तार अनुमानित समाधान देता है$\theta_n = (n + 1/2)\pi - 1/t_n$$\tan(\theta_n) = \theta_n / \alpha$$\alpha = \mu h / \sigma^2$$t_n$$\theta_n$$t_n$

$$\theta_n = z - \frac{\alpha}{ z} - \frac{\alpha^2 - \alpha^3/3 }{z^3} + O\left((\frac{\alpha}{n})^5\right)$$

जहाँ ।$z = (n + 1/2)\pi$

बशर्ते पर्याप्त रूप से बड़ा है, फार्म के घातीय कारक 1 के बेहद करीब हो जाते हैं ताकि आप उनकी उपेक्षा कर सकें। आमतौर पर इन शर्तों यहां तक कि छोटे के लिए उपेक्षित किया जा सकता है क्योंकि है , बहुत जल्दी शून्य करने के लिए पहले घातीय चलते बना रही है। (ऐसा तब होता है जब एक बार काफी हद तक । यदि आप कर सकते हैं तो बड़े लिए अपनी गणना करें !)$n$$1 - \exp(\frac{-\sigma^2 \theta_n^2 T}{2 h^2}) \exp(\frac{-\mu^2 T}{2 \sigma^2})$$n$$\theta_n^2$$\Theta\left(n^2\right)$$n$$\alpha / T^{1/2}$$T$

और लिए शब्दों को योग करने के लिए लिए इस अभिव्यक्ति का उपयोग करने से हम उन्हें (एक बार सभी धुएँ को साफ़ करते हैं)$\theta_n$$n$$n+1$

$$\frac{2}{\pi n^2}-\frac{4}{\pi n^3}+\frac{13 \pi ^2+6 (4-3 \alpha ) \alpha }{2 \pi ^3 n^4}+O\left(\frac{1}{n^5}\right) \text{.}$$

योग से शुरू होने की जगह से अधिक एक अभिन्न द्वारा से शुरू पूंछ अनुमान लगाती है। (इंटीग्रल को एक सामान्य कारक से गुणा किया जाना है ।) इंटीग्रल में त्रुटि । इस प्रकार, तीन महत्वपूर्ण आंकड़े प्राप्त करने के लिए आपको आम तौर पर राशि में लगभग आठ या तो शर्तों की गणना करनी होगी और फिर इस पूंछ सन्निकटन को जोड़ना होगा।$n = 2N$$N$$N - 1/4$$\exp(-\alpha)$$O(1/n^4)$

Comments

यह वास्तव में बहुत अच्छा है, और सीडीएफ की ओर एक लंबा रास्ता तय करना चाहिए। ऊपर और बैज सामग्री से परे।

— shabbychef

Answer 2

आप fBasics में ड्रॉडाउन वितरण कार्यों को देखकर शुरू कर सकते हैं । तो आप आसानी से बहाव के साथ ब्राउनियन गति का अनुकरण कर सकते हैं और इन कार्यों को एक शुरुआत के रूप में लागू कर सकते हैं।

Comments

+1 यह एक बहुत ही सीधा जवाब है, इन कार्यों को ध्यान में रखते हुए पेपर में फॉर्मूले लागू करें!

— whuber

ऐसा लगता है कि यह पैकेज पेपर के आधार पर अपेक्षित अधिकतम गिरावट की गणना करता है, लेकिन सीडीएफ की गणना नहीं करता है। कागज उस उम्मीद की गणना करने के लिए 'शॉर्टकट' परिणाम, IIRC देता है।

— shabbychef

@shabbychef क्षमा करें, मुझे वह अच्छा याद आया। मैं देखता हूं कि पूरी सीडीएफ प्राप्त करना अपेक्षा को जानने के बजाय अधिक उपयोगी हो सकता है। (वित्तीय जोखिम, केवल अपेक्षित नुकसान से बहुत अधिक है ...) लेकिन अब मैं सीडीएफ के लगभग काम के बारे में थोड़ा बेहतर महसूस करता हूं!

— whuber