क्या पॉइसन वितरण स्थिर है और एमजीएफ के लिए व्युत्क्रम सूत्र हैं?

सबसे पहले, मेरे पास एक सवाल है कि पॉइसन वितरण "स्थिर" है या नहीं। बहुत भोलेपन से (और "स्थिर" वितरण के बारे में मुझे भी यकीन नहीं है), मैंने एमजीएफ के उत्पाद का उपयोग करके आरवी के वितरित पॉसों के रैखिक संयोजन का काम किया। ऐसा लगता है कि मुझे एक और पॉइसन मिला है, जिसमें व्यक्तिगत आरवी के मापदंडों के रैखिक संयोजन के बराबर पैरामीटर है। इसलिए मैं निष्कर्ष निकालता हूं कि पॉइसन "स्थिर" है। मैं क्या खो रहा हूँ?

दूसरा, क्या एमजीएफ के लिए उलटा सूत्र हैं जैसे कि विशेषता फ़ंक्शन के लिए हैं?

distributions poisson-distribution mgf

— फ्रैंक
स्रोत

यह (स्वतंत्र) रकम के तहत बंद है , लेकिन मनमाना रैखिक संयोजन नहीं है। यदि आप अपना काम शामिल करते हैं, तो मुझे संदेह है कि आप इस प्रक्रिया में क्यों देखेंगे; और, यदि नहीं, तो कोई इसे इंगित करने में सक्षम होगा। हाँ, वहाँ कुछ उलटा analogues विशेषता कार्यों के हैं। लाप्लास परिवर्तन और ब्रोमविच समोच्च एकीकरण के बारे में आप क्या जानते हैं?

— कार्डिनल

ठीक है, मैं ड्राइंग बोर्ड पर वापस जाऊंगा। मेरे पास i-th पॉइसन का MGF इस प्रकार है: exp (lambda_i (exp (t) - 1))। तो n पॉइसन एमजीएफ का उत्पाद मुझे देता है: ऍक्स्प (राशि (i, 0, n) अल्फा_आई * lambda_i * (एक्सपी (टी) - 1)) और मैं नया लैम्ब्डा = राशि (i, 0, n) अल्फा_आई * लेता हूं lambda_i। अब मुझे डर है कि मैं एक स्पष्ट गलती करने के लिए बेवकूफ लग रहा हूँ। - मैं सामान्य रूप से लाप्लास परिवर्तन और समोच्च एकीकरण के बारे में जानता हूं, लेकिन ब्रोमविश समोच्च एकीकरण नहीं। - क्या आप सामान्य रूप से एमजीएफ के बजाय सीएफ के साथ काम करने की सलाह देंगे? यह अधिक शक्तिशाली लगता है।

— फ्रैंक

आपकी टिप्पणी में क्या है ? इसके अलावा, काम करने के लिए अपने गणित-लाटेक्स को चारों ओर से घेर लें ताकि वह काम कर सके ("ऍक्स्प" बनाने के लिए

α_{i}

$\alpha_i$

λ

$\lambda$

\sum

$\sum$

— _

हां, मैं LaTex में बहुत अच्छा नहीं हूं, लेकिन यहां जाता हूं। तो, RVs का मेरा रैखिक संयोजन है: , और उनके MGFs का उत्पाद है: , अगर मैं सही हूं, अगर RVs को रूप में वितरित किया जाता है । मैंने सभी आरवी के लिए एक ही टी का उपयोग किया था, लेकिन मुझे का उपयोग करने की आवश्यकता है ।

\sum_{i = 0}^{n} α_{i} X_{i}

$\sum_{i=0}^{n}\alpha_{i} X_{i}$

\exp (\sum_{i = 0}^{n} α_{i} λ_{i} (\exp (t_{i}) - 1))

$\exp(\sum_{i=0}^{n}\alpha_{i} \lambda_{i} (\exp(t_{i}) - 1))$

P o i s s o n (λ_{i})

$Poisson(\lambda_{i})$

t_{i}

$t_{i}$

— फ्रैंक

गलती यह है कि का MGF और

a_{i} X_{i}

$a_iX_i$

e x p (λ_{i} (e x p (a_{i} t) - 1))

$exp(\lambda_i (exp(a_i t)-1))$

e x p (a_{i} λ_{i} (e x p (t) - 1))

$exp(a_i\lambda_i (exp(t)-1))$

— gui11aume

जवाबों:

Poisson यादृच्छिक चर के रैखिक संयोजन

आपके द्वारा परिकलित के रूप में, दर के साथ प्वासों बंटन के क्षण पैदा समारोह है $\lambda$

m_{X} (t) = E e^{t X} = e^{λ (e^{t} - 1)} .

$m_X(t) = \mathbb E e^{t X} = e^{\lambda (e^t - 1)} \>.$

अब, आइए स्वतंत्र पॉइसन यादृच्छिक चर और रैखिक संयोजन पर ध्यान दें । चलो । फिर, $X$ $Y$ $Z = a X + b Y$

m_{Z} (t) = E e^{t Z} = E e^{t (a X + b Y)} = E e^{t (a X)} E e^{t (b Y)} = m_{X} (a t) m_{Y} (b t) .

$m_Z(t) = \mathbb Ee^{tZ} = \mathbb E e^{t (a X + b Y)} = \mathbb E e^{t(aX)} \mathbb E e^{t (bY)} = m_X(at) m_Y(bt) \>.$

अतः, यदि की दर और की दर , तो हमें और यह सामान्य रूप में नहीं लिखा जा सकता है, फॉर्म में लिखा जा सकता है। कुछ जब तक कि । $X$ $\lambda_x$ $Y$ $\lambda_y$

m_{Z} (t) = \exp (λ_{x} (e^{a t} - 1)) \exp (λ_{y} (e^{b t} - 1)) = \exp (λ_{x} e^{a t} + λ_{y} e^{b t} - (λ_{x} + λ_{y})),

$m_Z(t) = \exp({\lambda_x (e^{at} - 1)}) \exp({\lambda_y (e^{bt} - 1)}) = \exp(\lambda_x e^{at} + \lambda_y e^{bt} - (\lambda_x + \lambda_y))\>,$

\exp (λ (e^{t} - 1))

$\exp(\lambda(e^t - 1))$

λ

$\lambda$

a = b = 1

$a = b = 1$

पल-पल कार्यों का उलटा

यदि क्षण उत्पन्न करने वाला फ़ंक्शन शून्य के पड़ोस में मौजूद है, तो यह शून्य के आसपास एक अनंत पट्टी में एक जटिल-मूल्यवान फ़ंक्शन के रूप में भी मौजूद है। यह समोच्च एकीकरण द्वारा कई मामलों में खेल में आने की अनुमति देता है। दरअसल, लाप्लास ट्रांसफॉर्म एक नॉननेगेटिव रैंडम वैरिएबल का स्टोचैस्टिक-प्रोसेस थ्योरी में एक सामान्य टूल है, खासकर स्टॉपिंग टाइम का विश्लेषण करने के लिए। ध्यान दें कि वास्तविक मूल्य के लिए । आपको एक अभ्यास के रूप में साबित करना चाहिए कि लाप्लास ट्रांसफॉर्म हमेशा यादृच्छिक चर के लिए लिए मौजूद है । $\mathcal L(s) = \mathbb E e^{-s T}$ $T$ $\mathcal L(s) = m_T(-s)$ $s$ $s \geq 0$

व्युत्क्रम को ब्रोमविच इंटीग्रल या पोस्ट इनवर्जन फॉर्मूला के माध्यम से पूरा किया जा सकता है । उत्तरार्द्ध की एक संभावित व्याख्या को कई शास्त्रीय संभाव्यता ग्रंथों में एक अभ्यास के रूप में पाया जा सकता है।

हालांकि सीधे संबंधित नहीं है, आप निम्नलिखित नोट में भी रूचि ले सकते हैं।

जेएच कर्टिस (1942), पल उत्पन्न करने वाले कार्यों के सिद्धांत पर एक नोट , एन। गणित। स्टेट। , वॉल्यूम। 13, नहीं। 4, पीपी 430-433।

संबंधित सिद्धांत आमतौर पर विशेषता कार्यों के लिए अधिक विकसित होता है क्योंकि ये पूरी तरह से सामान्य होते हैं: ये सभी वितरणों के लिए मौजूद होते हैं बिना समर्थन या क्षण प्रतिबंध के।

— कार्डिनल
स्रोत

(+1) क्या व्युत्क्रम सूत्र विशुद्ध रूप से सैद्धांतिक है या यह वास्तव में कभी-कभी उपयोग किया जाता है?

— गुई ११

@ gui11aume: इसका उपयोग स्थानों में किया जाता है; लेकिन, आमतौर पर आपको एक पाठ में जो उदाहरण मिलेंगे, वे आमतौर पर ऐसे उदाहरण हैं जिनके लिए आपको इसकी आवश्यकता नहीं है। :)

— कार्डिनल

तो, संभवतः यह एमजीएफ की तुलना में सीएफ के साथ काम करना आसान है? MGFs हमेशा मौजूद नहीं है, है ना? उनसे परेशान क्यों?

— फ्रैंक

@Frank: शैक्षणिक रूप से वे उन छात्रों से परिचय करना आसान है जो कैलकुलस जानते हैं, लेकिन जटिल चर में बहुत कम या कोई पृष्ठभूमि नहीं है। जब वे मौजूद होते हैं, तो उनके पास सीएफ के गुणों के पूर्ण अनुरूप गुण होते हैं। वे संभावना सिद्धांत और सैद्धांतिक आँकड़ों के कुछ हिस्सों में महत्वपूर्ण भूमिका निभाते हैं, जैसे, बड़े विचलन और घातीय झुकाव।

— कार्डिनल

@ फ्रेंक: ये लेवी अस्थिर वितरण हैं और एमजीएफ के साथ एकमात्र सामान्य वितरण है। दरअसल, CFs इस समस्या का उपकरण है; CF का संभावित रूप ऐसे सभी वितरणों के लिए जाना जाता है, लेकिन बंद-प्रपत्र संगत pdfs केवल कुछ चुनिंदा उदाहरणों में ही ज्ञात होते हैं।

α

$\alpha$

— कार्डिनल

Poisson वितरण योग से स्थिर हैं। वे रैखिक संयोजन द्वारा तुच्छ रूप से स्थिर नहीं हैं क्योंकि आप नॉनटाइगर मूल्यों के साथ समाप्त हो सकते हैं। उदाहरण के लिए, यदि Poisson है, तो तुच्छ रूप से Poisson नहीं है। $X$ $X/2$

मुझे एमजीएफ के लिए उलटा फॉर्मूला पता नहीं है (लेकिन @ कार्डिनल लगता है)।

— gui11aume
स्रोत

(+1) क्योंकि मुझे सरल इलस्ट्रेटिव साक्ष्य और प्रतिकार पसंद हैं जो तुरंत मामले के दिल में लाते हैं।

— कार्डिनल

मेरे पास शब्दावली के बारे में एक प्रश्न है। जिन आंकड़ों का मैंने अध्ययन किया, उनमें स्थिर dsitributions थे जो वितरण की सीमा थे जो एक अभिसरण स्थिति को संतुष्ट करते थे जिसे एक स्थिर कानून कहा जाता था। ये लगातार गैर-असामान्य वितरण हैं। एक सामान्यीकृत औसत Z की सीमा के लिए एक वितरण हैं लेकिन जनसंख्या वितरण के पूंछ व्यवहार के कारण केंद्रीय सीमा प्रमेय Z पर लागू नहीं होता है। दरअसल केंद्रीय सीमा प्रमेय स्थिर कानूनों से संबंधित हो सकता है कि कोई पैरामीटर अल्फा = 2.

— माइकल आर Chernick

जिसे आप यहां स्थिर कह रहे हैं, वह रकम के करीब है जो मुझे असीम रूप से विभाज्य शब्द की तरह लगता है। इसके लिए किस क्षेत्र में स्थिर शब्द का उपयोग किया जाता है? क्या यह संभावना और सांख्यिकी में उपयोग किया जा रहा है?

— माइकल आर। चेरिक

a X_{1} + b X_{2}

$aX_1 + bX_2$

c X + d

$cX + d$