निम्नलिखित दो समय श्रृंखला ( एक्स , वाई ; नीचे देखें) को देखते हुए, इस डेटा में दीर्घकालिक रुझानों के बीच संबंध को मॉडल करने का सबसे अच्छा तरीका क्या है?
दोनों समय श्रृंखला में महत्वपूर्ण डर्बिन-वाटसन परीक्षण होते हैं जब समय के एक समारोह के रूप में मॉडलिंग की जाती है और न ही स्थिर होते हैं (जैसा कि मैं शब्द को समझता हूं, या इसका मतलब यह है कि इसे केवल अवशिष्ट में स्थिर होना चाहिए?)। मुझे बताया गया है कि इसका मतलब है कि मुझे प्रत्येक समय श्रृंखला के पहले-क्रम का अंतर (कम से कम, शायद 2 वाँ क्रम) भी लेना चाहिए, इससे पहले कि मैं एक दूसरे के कार्य के रूप में मॉडल बना सकूं, अनिवार्य रूप से एक अरिमा (1,1,0) ), अरिमा (1,2,0) आदि।
मुझे समझ में नहीं आता है कि आपको उन्हें मॉडल करने से पहले उन्हें अलग करने की आवश्यकता क्यों है। मैं ऑटो-सहसंबंध को मॉडल करने की आवश्यकता को समझता हूं, लेकिन मुझे समझ नहीं आता कि अलग-अलग होने की आवश्यकता क्यों है। मेरे लिए, यह ऐसा प्रतीत होता है जैसे विभेदों से अलग होते हुए डेटा में प्राथमिक संकेतों (इस मामले में दीर्घकालिक रुझान) को हटा रहा है जिसे हम रुचि रखते हैं और उच्च-आवृत्ति "शोर" (शब्द शोर का उपयोग करके) छोड़ रहे हैं। वास्तव में, सिमुलेशन में जहां मैं एक समय श्रृंखला और दूसरे के बीच एक पूर्ण संबंध बनाता हूं, जिसमें कोई ऑटोकॉर्लेशन नहीं होता है, समय श्रृंखला में अंतर करने से मुझे ऐसे परिणाम मिलते हैं जो रिश्ते का पता लगाने के उद्देश्यों के लिए प्रतिगामी होते हैं, उदाहरण के लिए,
a = 1:50 + rnorm(50, sd = 0.01)
b = a + rnorm(50, sd = 1)
da = diff(a); db = diff(b)
summary(lmx <- lm(db ~ da))
इस मामले में, बी दृढ़ता से संबंधित है , लेकिन बी में अधिक शोर है। मेरे लिए यह दिखाता है कि विभिन्न आवृत्ति कम आवृत्ति संकेतों के बीच संबंधों का पता लगाने के लिए एक आदर्श मामले में काम नहीं करती हैं। मैं समझता हूं कि आमतौर पर समय-श्रृंखला विश्लेषण के लिए विभेदन का उपयोग किया जाता है, लेकिन यह उच्च-आवृत्ति संकेतों के बीच संबंधों को निर्धारित करने के लिए अधिक उपयोगी प्रतीत होता है। मैं क्या खो रहा हूँ?
उदाहरण डेटा
df1 <- structure(list(
x = c(315.97, 316.91, 317.64, 318.45, 318.99, 319.62, 320.04, 321.38, 322.16, 323.04, 324.62, 325.68, 326.32, 327.45, 329.68, 330.18, 331.08, 332.05, 333.78, 335.41, 336.78, 338.68, 340.1, 341.44, 343.03, 344.58, 346.04, 347.39, 349.16, 351.56, 353.07, 354.35, 355.57, 356.38, 357.07, 358.82, 360.8, 362.59, 363.71, 366.65, 368.33, 369.52, 371.13, 373.22, 375.77, 377.49, 379.8, 381.9, 383.76, 385.59, 387.38, 389.78),
y = c(0.0192, -0.0748, 0.0459, 0.0324, 0.0234, -0.3019, -0.2328, -0.1455, -0.0984, -0.2144, -0.1301, -0.0606, -0.2004, -0.2411, 0.1414, -0.2861, -0.0585, -0.3563, 0.0864, -0.0531, 0.0404, 0.1376, 0.3219, -0.0043, 0.3318, -0.0469, -0.0293, 0.1188, 0.2504, 0.3737, 0.2484, 0.4909, 0.3983, 0.0914, 0.1794, 0.3451, 0.5944, 0.2226, 0.5222, 0.8181, 0.5535, 0.4732, 0.6645, 0.7716, 0.7514, 0.6639, 0.8704, 0.8102, 0.9005, 0.6849, 0.7256, 0.878),
ti = 1:52),
.Names = c("x", "y", "ti"), class = "data.frame", row.names = 110:161)
ddf<- data.frame(dy = diff(df1$y), dx = diff(df1$x))
ddf2<- data.frame(ddy = diff(ddf$dy), ddx = diff(ddf$dx))
ddf$ti<-1:length(ddf$dx); ddf2$year<-1:length(ddf2$ddx)
summary(lm0<-lm(y~x, data=df1)) #t = 15.0
summary(lm1<-lm(dy~dx, data=ddf)) #t = 2.6
summary(lm2<-lm(ddy~ddx, data=ddf2)) #t = 2.6
अपने डेटा के लिए एक उपयुक्त मॉडल की पहचान करने के लिए 
एक ACF के साथ एक गाऊसी त्रुटि प्रक्रिया प्रदान करते हुए महत्वपूर्ण संरचना का निर्माण
ट्रांसफर फंक्शन आइडेंटिफिकेशन मॉडलिंग प्रोसेस के लिए (इस मामले में) सरोगेट सीरीज़ बनाने के लिए उपयुक्त विभेदक की आवश्यकता होती है जो कि स्थिर हो और इस तरह से रिलेशनशिप की पहचान करने में सक्षम हो। इसमें पहचान के लिए अलग-अलग आवश्यकताओं की एक्स के लिए दोहरी भिन्नता और वाई के लिए एकल भिन्नता है। इसके अतिरिक्त दोहरे भिन्न एक्स के लिए एक एआरआईएमए फ़िल्टर को एआर (1) पाया गया। इस ARIMA फ़िल्टर (केवल पहचान के उद्देश्यों के लिए!) को दोनों स्थिर श्रृंखला में लागू करने से निम्नलिखित क्रॉस-सहसंबंधी संरचना निकली। 
एक सरल समसामयिक संबंध का सुझाव देना। 
। ध्यान दें कि जबकि मूल श्रृंखला गैर-स्थैतिकता का प्रदर्शन करती है, यह जरूरी नहीं है कि कारण मॉडल में भिन्नता की आवश्यकता होती है। अंतिम मॉडल 
और अंतिम acf इसका समर्थन करते हैं
। एक समान रूप से पहचाने गए स्तर की बदलाव (वास्तव में अवरोधन परिवर्तन) से अंतिम समीकरण को बंद करने में है
। सांख्यिकी लैम्पपोस्ट की तरह होती हैं, कुछ उन्हें दूसरों पर झुकाने के लिए उपयोग करते हैं, रोशनी के लिए उनका उपयोग करते हैं।