नियतात्मक और स्टोचस्टिक मॉडल के बीच अंतर क्या है?

Question

सरल रैखिक मॉडल:

ε टी एन ( 0 , σ 2$x=\alpha t + \epsilon_t$ जहाँ ~ iid$\epsilon_t$$N(0,\sigma^2)$

साथ औरवी एक आर ( एक्स ) = σ $E(x) = \alpha t$$Var(x)=\sigma^2$

एआर (1):

ε टी एन ( 0 , σ 2$X_t =\alpha X_{t-1} + \epsilon_t$ जहाँ ~ iid$\epsilon_t$$N(0,\sigma^2)$

साथ औरवी एक आर ( एक्स ) = टी σ $E(x) = \alpha t$$Var(x)=t\sigma^2$

तो एक साधारण रेखीय मॉडल को नियतात्मक मॉडल माना जाता है जबकि एआर (1) मॉडल को स्टोकेस्टिक मॉडल माना जाता है।

बेन लैंबर्ट द्वारा एक Youtube वीडियो के अनुसार - नियतात्मक बनाम स्टोचैस्टिक , एआर (1) को स्टोचैस्टिक मॉडल के रूप में कहा जाता है क्योंकि इसका विचरण समय के साथ बढ़ता है। तो स्टोकेस्टिक या निर्धारक निर्धारित करने के लिए मानदंड होने के लिए गैर-निरंतर विचरण की विशेषता है?

मुझे यह भी नहीं लगता कि साधारण रैखिक मॉडल पूरी तरह से नियतात्मक है क्योंकि हमारे पास मॉडल के साथ एक शब्द जुड़ा हुआ है। इसलिए, हमारे पास हमेशा में यादृच्छिकता होती है । तो हम किस डिग्री को एक मॉडल निर्धारक या स्टोचस्टिक कह सकते हैं?$\epsilon_t$$x$

Comments

कोई भी मॉडल जिसमें त्रुटि शब्द है वह स्टोचस्टिक है। समय के साथ परिवर्तन होने से इसका कोई लेना-देना नहीं है।

— माइकल आर। चेरिक

@MichaelChernick मुझे समझ नहीं आया। फिर लोग क्यों कहते हैं कि सरल रेखीय प्रतिगमन एक नियतात्मक मॉडल है?

— केन टी।

क्या आप यह दिखाने के लिए एक लिंक प्रदान कर सकते हैं कि यह कहाँ कहा गया है और क्यों कहा गया है?

— माइकल आर। चेरिक

यह कुछ साल पहले टाइम सीरीज़ विश्लेषण के मेरे पाठ्यक्रम नोट्स से था। शायद यह गलत है।

— केन टी

Answer 1

वीडियो नियतात्मक बनाम स्टोकेस्टिक रुझानों के बारे में बात कर रहा है , न कि मॉडल । हाइलाइट बहुत महत्वपूर्ण है। आपके दोनों मॉडल स्टोचस्टिक हैं, हालांकि, मॉडल 1 में प्रवृत्ति नियतात्मक है।

मॉडल 2 में एक प्रवृत्ति नहीं है। आपका प्रश्न पाठ गलत है।

आपके प्रश्न में मॉडल 2 एक स्थिर के बिना AR (1) है, जबकि वीडियो में मॉडल एक यादृच्छिक चलना (ब्राउनियन गति) है: यह मॉडल वास्तव में एक स्टोकेस्टिक प्रवृत्ति है। यह स्टोकेस्टिक है क्योंकि यह केवल औसत में α t है । एक ब्राउनियन गति से प्रत्येक प्राप्ति से विचलित होगा α टी यादृच्छिक अवधि की वजह से ई टी , जो differencing से देखना आसान है: Δ एक्स टी = एक्स टी - एक्स टी - 1 = α

$$x_t=\alpha+x_{t-1}+e_t$$ $\alpha t$$\alpha t$$e_t$एक्स टी = एक्स 0 + टी Σ टी = 1 Δ एक्स टी = एक्स 0 + α टी + टी Σ टी = 1 ई $$\Delta x_t=x_t-x_{t-1}=\alpha+e_t$$ $$x_t=x_0+\sum_{t=1}^t\Delta x_t=x_0+\alpha t +\sum_{t=1}^t e_t$$

Comments

+1। लेकिन पूरी तरह से स्पष्ट और सटीक होने के लिए आपको बताते से विचलन है कि चाहते हो सकता है यादृच्छिक अवधि की वजह से है ई 1 + ई 2 + ⋯ + ई टी , न सिर्फ ई टी । $\alpha t$$e_1+e_2+\dots +e_t$$e_t$

— whuber

Answer 2

जैसा कि अक्सकल ने अपने उत्तर में उल्लेख किया है, वीडियो केन टी लिंक ने रुझानों के गुणों का वर्णन किया है , न कि सीधे मॉडल का, संभवतः प्रवृत्ति के संबंधित विषय के बारे में शिक्षण के भाग के रूप में- और अर्थ-मेट्रिक्स में अंतर-स्टेशनिटी। आपके प्रश्न के बाद से, आपने मॉडल के बारे में पूछा, यहाँ यह मॉडल के संदर्भ में है :

एक मॉडल या प्रक्रिया स्टोचस्टिक होती है अगर उसमें यादृच्छिकता हो। उदाहरण के लिए, यदि एक ही इनपुट (स्वतंत्र चर, भार / पैरामीटर, हाइपरपरमेटर्स, इत्यादि) दिए गए हैं, तो मॉडल अलग-अलग आउटपुट का उत्पादन कर सकता है। नियतात्मक मॉडल में, आउटपुट पूरी तरह से मॉडल (स्वतंत्र चर, भार / पैरामीटर, हाइपरपरमेटर्स, आदि) से इनपुट द्वारा निर्दिष्ट किया जाता है, जैसे कि मॉडल को एक ही इनपुट दिया जाता है, आउटपुट समान हैं। शब्द "स्टोचैस्टिक" की उत्पत्ति स्टोचस्टिक प्रक्रियाओं से होती है । अंगूठे के सामान्य नियम के रूप में, यदि किसी मॉडल में एक यादृच्छिक चर है, तो यह स्टोचस्टिक है। स्टोचस्टिक मॉडल सरल स्वतंत्र यादृच्छिक चर भी हो सकते हैं।

आइए कुछ और शब्दावली को अनपैक करें जो आपको सांख्यिकीय मॉडल (निर्धारक, स्टोचस्टिक, या अन्यथा) के आसपास के साहित्य को समझने में मदद करेगी: ...

$AR(1)$$t-1$$\mu_{\epsilon_t}=0$), आदि हम इन मान्यताओं को उस त्रुटि अवधि के कुछ मानदंडों को कम करके निर्भर चर (ओं) का अनुमान लगाने के लिए रैखिक मॉडल को उपयोगी बनाने के लिए बनाते हैं । ये धारणाएं हमें अनुमानकों के उपयोगी गुणों को प्राप्त करने और यह साबित करने की अनुमति देती हैं कि कुछ अनुमानक उन मान्यताओं के तहत सर्वश्रेष्ठ हैं; उदाहरण के लिए, कि OLS अनुमानक BLUE है ।

स्टोकेस्टिक मॉडल का एक सरल उदाहरण एक निष्पक्ष सिक्का (सिर या पूंछ) को लहरा रहा है, जिसे स्टोकेस्टिक रूप से एक iid समान रूप से वितरित बाइनरी यादृच्छिक चर, या बर्नौली प्रक्रिया के रूप में मॉडल किया जा सकता है । आप सिक्का फ्लिप को एक भौतिक प्रणाली के रूप में भी मान सकते हैं और एक निर्धारक मॉडल (एक आदर्श सेटिंग में) के साथ आ सकते हैं यदि आप सिक्का के आकार, कोण और प्रभाव के बल, सतह से दूरी, आदि को ध्यान में रखते हैं। सिक्का फ्लिप के बाद वाले (भौतिक) मॉडल में कोई यादृच्छिक चर नहीं है (उदाहरण के लिए यह मॉडल के किसी भी इनपुट की माप त्रुटि पर विचार नहीं करता है), तो यह नियतात्मक है।

$X_t$$AR(1)$$\epsilon_t$$y_t = ax_t+\epsilon_t$$t$$Var[X_t]$$t$$Var[X_t]$

इसके अलावा, स्थिर स्टोचस्टिक प्रक्रियाओं और गैर-स्थिर स्टोचस्टिक प्रक्रियाओं के बीच कभी-कभी भ्रम होता है। स्टेशनरी का तात्पर्य है कि माध्य या विचरण जैसे आँकड़े मॉडल में समय के साथ नहीं बदलते हैं। दोनों को तब भी स्टोकेस्टिक मॉडल / प्रक्रिया माना जाता है जब तक कि इसमें यादृच्छिकता शामिल न हो। साथी मैरून के रूप में, मैथ्यू गन, अपने जवाब में उल्लेख करते हैं, वोल्ड के अपघटन में कहा गया है कि किसी भी स्थिर स्टोचस्टिक प्रक्रिया को एक नियतात्मक और एक स्टोकेस्टिक प्रक्रिया के योग के रूप में लिखा जा सकता है।

Comments

बहुत बढ़िया जवाब! एक प्रश्न: आप "... यदि इसका विचरण कुछ पैरामीटर पर बदलता है ..." क्यों लिखते हैं, तो क्या यह परिवर्तनशील (या किसी चर के कार्य) पर नहीं होना चाहिए?

— एलेक्सिस

@ एलेक्सिस I मॉडल के एक पैरामीटर के रूप में समय का उल्लेख कर रहा था। आप सही हैं, वह भाषा अभेद्य है। फिक्स्ड। धन्यवाद। :-)

— इडो

AR (1) का परिवर्तन कैसे होता है?

— अक्कल

$Var[\varepsilon_t]$$\sigma^2$$Var[X_t] = t\sigma^2$$X_t = \alpha + X_{t-1} + \varepsilon_t$$\varepsilon_t \sim N(0, \sigma^2)$$AR(1)$केन टी। द्वारा वर्णित मॉडल को संदर्भित करता है)

— आईडीओ

$Var[X_t] = Var[X_{t-1}] + Var[\varepsilon_t] = \sum_{i=1}^{t} Var[\varepsilon_i] = t\sigma^2$$Var[\varepsilon_i] = \sigma^2$$\varepsilon_t$$\varepsilon_t$$Cov[X_t, X_{t-1}] = 0$

Answer 3

कुछ अनौपचारिक परिभाषाएँ

• $\{y_t\}$
  • $y(t) = 2t$
  • $y(t) = e^t$

• $\{Y_t\}$$\Omega$$Y(t,\omega)$$t$$\omega$$\Omega$

  • $y_t = \epsilon_t$$\epsilon_t \sim \mathcal{N}(0, 1)$
  • $y_t = .7 y_{t-1} + \epsilon_t$

  $\omega$$\Omega$$\omega \in \Omega$$Y_t(\omega)$

कुछ टिप्पणियां...

... एआर (1) को स्टोचैस्टिक मॉडल के रूप में कहा जाता है क्योंकि इसका विचरण समय के साथ बढ़ता है।

$t$

$\epsilon_t$

$x_t$$x_t = \alpha t + \epsilon_t$$\{\epsilon_t\}$$\{x_t\}$

$y_t = \alpha t$$\{x_t\}$$\alpha t$$\epsilon_t$

यह Wold की प्रमेय की ओर जाता है कि किसी भी कोवरियन स्थिर प्रक्रिया को निर्धारक घटक और एक स्टोकेस्टिक घटक में विशिष्ट रूप से विघटित किया जा सकता है।