ज्यामितीय माध्य किस निरंतर वितरण के माध्य का एक निष्पक्ष अनुमानक है?

क्या कोई निरंतर वितरण बंद रूप में अभिव्यक्त होता है, जिसका अर्थ ऐसा है कि नमूनों का ज्यामितीय मतलब उस अर्थ के लिए एक निष्पक्ष अनुमानक है?

अद्यतन: मुझे अभी पता चला है कि मेरे नमूनों को सकारात्मक होना चाहिए (अन्यथा ज्यामितीय माध्य मौजूद नहीं हो सकता है) इसलिए शायद निरंतर सही शब्द नहीं है। कैसे एक वितरण के बारे में जो यादृच्छिक चर के नकारात्मक मूल्यों के लिए शून्य है और सकारात्मक मूल्यों के लिए निरंतर है। कुछ-कुछ बंटा हुआ वितरण जैसा।

distributions geometric-mean

— user53608
स्रोत

कड़ाई से सकारात्मक नमूना स्थान (जैसे गामा वितरण) होने पर वितरण निरंतर हो सकता है।

— गहमर

क्या आपके पास एक उदाहरण का मतलब है जहां एक नमूने से ज्यामितीय मतलब पहले क्षण का निष्पक्ष अनुमानक है? मैंने केवल कभी परिभाषित डेटा के असतत सेट के ज्यामितीय माध्य को देखा है और अनिश्चित है कि "सत्य" (यानी जनसंख्या-स्तर) ज्यामितीय माध्य को सतत वितरण के लिए कैसे परिभाषित किया जाएगा ... हो सकता है कि ?

e x p (E (\log (X)))

${\rm exp}( E(\log(X)) )$

— गेमर

यह lognormal वितरण के लिए काम करता है।

— माइकल आर। चेरिक

यह धारण करता है, तो यादृच्छिक चर कुछ सकारात्मक अदिश निरंतर बराबर होती है लगभग निश्चित रूप से । अन्यथा नहीं।

X

$X$

c

$c$

— मैथ्यू गन

जवाबों:

मेरा मानना है कि आप पूछ रहे हैं कि क्या है, यदि कोई है, तो एक आरवी का वितरण , जैसे कि, अगर हमारे पास उस वितरण से आकार का आईड नमूना है , तो वह इसे धारण करेगा $X$ $n>1$

इ [जी म] = इ [{(Π_{मैं = 1}^{n} {एक्स}_{मैं})}^{1 / n}] = इ (एक्स)

$E[GM] = E\left[\left(\prod_{i=1}^n X_{i}\right)^{1/n}\right] = E(X)$

Iid धारणा के कारण , हमारे पास है

इ [{(Π_{मैं = 1}^{n} {एक्स}_{मैं})}^{1 / n}] = इ ({एक्स}_{1}^{1 / n} \cdot । । । \cdot {एक्स}_{n}^{1 / n}) = इ ({एक्स}_{1}^{1 / n}) \cdot । । । \cdot इ ({एक्स}_{n}^{1 / n}) = {[इ ({एक्स}^{1 / n})]}^{n}

$E\left[\left(\prod_{i=1}^n X_{i}\right)^{1/n}\right] = E\left(X_1^{1/n}\cdot ...\cdot X_n^{1/n}\right) = E\left (X_1^{1/n}\right)\cdot ...\cdot E\left(X_n^{1/n}\right) = \left[E\left(X^{1/n}\right)\right]^n$

और इसलिए हम पूछ रहे हैं कि क्या हमारे पास हो सकता है

{[इ ({एक्स}^{1 / n})]}^{n} = इ (एक्स)

$\left[E\left(X^{1/n}\right)\right]^n = E(X)$

लेकिन जेन्सेन की असमानता, और तथ्य यह है कि शक्ति फ़ंक्शन एकता से अधिक शक्तियों के लिए कड़ाई से उत्तल है, हमारे पास, लगभग निश्चित रूप से एक गैर-पतित (गैर-स्थिर) यादृच्छिक चर के लिए है,

{[इ ({एक्स}^{1 / n})]}^{n} < इ {[({एक्स}^{1 / n})]}^{n} = इ (एक्स)

$\left[E\left(X^{1/n}\right)\right]^n < E\left[\left(X^{1/n}\right)\right]^n = E(X)$

इसलिए ऐसा कोई वितरण मौजूद नहीं है।

एक टिप्पणी में लॉग-सामान्य वितरण का उल्लेख के बारे में, क्या मानती है कि ज्यामितीय माध्य (है एक लॉग-सामान्य वितरण से नमूने के) की एक पक्षपाती लेकिन asymptotically संगत आकलनकर्ता है मंझला । इसका कारण यह है, कि lognormal वितरण के लिए यह है कि रखती है $GM$

इ ({एक्स}^{रों}) = \exp {रों μ + \frac{{रों}^{2} σ^{2}}{2}}

$E(X^s) = \exp\left\{s\mu + \frac {s^2\sigma^2}{2}\right \}$

(जहां और अंतर्निहित सामान्य के पैरामीटर हैं, लॉग-सामान्य के माध्य और विचरण नहीं)। $\mu$ $\sigma$

हमारे मामले में, तो हम प्राप्त करते हैं $s = 1/n$

इ (जी म) = {[इ ({एक्स}^{1 / n})]}^{n} = {[\exp {(μ / n) + \frac{σ^{2}}{2 n^{2}}}]}^{n} = \exp {μ + \frac{σ^{2}}{2 n}}

$E(GM) = \left[E\left(X^{1/n}\right)\right]^n = \left[\exp\left\{(\mu/n) + \frac {\sigma^2}{2n^2}\right \}\right]^n = \exp\left\{\mu + \frac {\sigma^2}{2n}\right \}$

(जो हमें बताता है कि यह माध्यिका का पक्षपाती अनुमानक है)। परंतु

लिम {[इ ({एक्स}^{1 / n})]}^{n} = लिम \exp {μ + \frac{σ^{2}}{2 n}} = इ^{μ}

$\lim \left[E\left(X^{1/n}\right)\right]^n = \lim \exp\left\{\mu + \frac {\sigma^2}{2n}\right \} = e^{\mu}$

जो वितरण का माध्य है। एक यह भी दिखा सकता है कि नमूने के ज्यामितीय माध्य का विचरण शून्य में परिवर्तित हो जाता है, और ये दो स्थितियाँ इस अनुमानक के लिए पर्याप्त रूप से सुसंगत होने के लिए पर्याप्त हैं - मंझले के लिए,

जी म \to_{पी} इ^{μ}

$GM \to_p e^{\mu}$

— एलेकोस पापाडोपोलोस
स्रोत

शायद यह जोड़ा जाना चाहिए कि जेन्सेन की असमानता, कड़ाई से उत्तल फ़ंक्शन के साथ लागू की जाती है, केवल एक समानता है यदि निरंतर है।

X

$X$

— ओलिवियर

@ ऑलिवर: मुझे लगता है कि यह एक अच्छी तरह से ज्ञात संपत्ति है कि इसे शामिल करने के लिए सिर्फ अव्यवस्था हो सकती है। किसी भी मामले में , जेन्सेन की असमानता के मामले पर विचार के बाद से वास्तव में भी जरूरत नहीं है पहले से ही पर्याप्त तथ्य के साथ मिलकर कर रहा है का तात्पर्य और भी अधिक प्राथमिक तर्क से लगभग निश्चित रूप से।

n = 2

$n = 2$

V a r (X) = 0

$\mathrm{Var}(X) = 0$

X = 0

$X = 0$

— कार्डिनल

यह अंकगणित माध्य के बाद एलेकोस के उत्कृष्ट उत्तर के लिए एक समान तर्क है, ज्यामितीय मतलब असमानता जेन्सेन की असमानता का परिणाम है।

अंकगणित होने दें : $A_n$ $A_n = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n X_i$
को ज्यामितीय अर्थ होने दें : $G_n$ $G_n = \left( \prod_{i=1} X_i \right) ^ \frac{1}{n}$

समांतर माध्य, ज्यामितीय माध्य असमानता कहा गया है कि समानता के साथ यदि और केवल यदि हर अवलोकन बराबर है: । (एएमजीएम असमानता जेन्सेन की असमानता का परिणाम है ।) $A_n \geq G_n$ $X_1 = X_2 = \ldots = X_n$

केस 1: लगभग निश्चित रूप से $X_1 = X_2 = \ldots = X_n$

तब । $\operatorname{E}[G_n] = \operatorname{E}[A_n] = \operatorname{E}[X]$

कुछ अर्थों में, यह पूरी तरह से पतित मामला है।

केस 2: लिए $P(X_i \neq X_j) > 0$ $i\neq j$

फिर सकारात्मक संभावना है कि ज्यामितीय माध्य अंकगणित माध्य से छोटा है। चूँकि सभी परिणामों के लिए और , हमारे पास तब । $G_n \leq A_n$ $\operatorname{E}[A_n] = \operatorname{E}[X]$ $\operatorname{E}[G_n] < \operatorname{E}[X]$

— मैथ्यू गुन
स्रोत

ज्यामितीय माध्य किस निरंतर वितरण के माध्य का एक निष्पक्ष अनुमानक है?

केस 1: लगभग निश्चित रूप सेएक्स1= एक्स2= … = एक्सnएक्स1=एक्स2=...=एक्सnX_1 = X_2 = \ldots = X_n

केस 2: लिएमैं ≠ jपी( एक्स)मैं≠ एक्सजे) > 0पी(एक्समैं≠एक्सजे)>0P(X_i \neq X_j) > 0मैं ≠ जेमैं≠जेi\neq j

केस 1: लगभग निश्चित रूप से $X_1 = X_2 = \ldots = X_n$

केस 2: लिए $P(X_i \neq X_j) > 0$ $i\neq j$