संयुक्त विश्वास अंतराल की गणना के लिए गॉसियन सहसंबंध असमानता के परिणाम

क्वांटा मैगज़ीन के इस बहुत ही दिलचस्प लेख के अनुसार: "ए लॉन्ग-साइडेड प्रूफ़, फाउंड एंड ऑलमोस्ट लॉस्ट" - यह साबित हो चुका है कि एक वेक्टर दिया गया है जिसमें मल्टीवेरेट गौसियन डिस्ट्रीब्यूशन है। और अंतराल दिया चारों ओर की इसी घटकों के माध्यम केंद्रित , तो $\mathbf{x}=(x_1,\dots,x_n)$ $I_1,\dots,I_n$ $\mathbf{x}$

p (x_{1} \in I_{1}, \dots, x_{n} \in I_{n}) \geq \prod_{i = 1}^{n} p (x_{i} \in I_{i})

$p(x_1\in I_1, \dots, x_n\in I_n)\geq \prod_{i=1}^n p(x_i\in I_i)$

(गॉसियन सहसंबंध असमानता या जीसीआई; अधिक सामान्य सूत्रीकरण के लिए https://arxiv.org/pdf/1512.08776.pdf देखें )।

यह वास्तव में अच्छा और सरल लगता है, और लेख कहता है कि इसमें संयुक्त आत्मविश्वास अंतराल के परिणाम हैं। हालांकि, यह मेरे लिए उस संदर्भ में काफी बेकार लगता है। मान लीजिए कि हमारे मानकों का आकलन कर रहे हैं , और हम आकलनकर्ता पाया जो कर रहे हैं (शायद asymptotically) संयुक्त रूप से सामान्य (उदाहरण के लिए, MLE आकलनकर्ता)। फिर, यदि मैं प्रत्येक पैरामीटर के लिए 95% -कॉन्फिडेंस अंतराल की गणना करता हूं, तो जीसीआई गारंटी देता है कि हाइपरक्यूब एक संयुक्त विश्वास क्षेत्र है जिसमें कवरेज कम से कम है $\theta_1,\dots,\theta_n$ $\hat{\theta_1},\dots,\hat{\theta_n}$ $I_1\times\dots I_n$ ... जो मध्यम लिए भी काफी कम कवरेज है। $(0.95)^n$ $n$

इस प्रकार, यह संयुक्त आत्मविश्वास क्षेत्रों को खोजने के लिए एक स्मार्ट तरीका नहीं लगता है: बहुभिन्नरूपी गौसियन के लिए सामान्य विश्वास क्षेत्र, यानी, एक हाइपरलिपोसिड, यह खोजने के लिए मुश्किल नहीं है कि सहसंयोजक मैट्रिक्स ज्ञात है और यह तेज है। शायद यह विश्वास क्षेत्रों को खोजने के लिए उपयोगी हो सकता है जब सहसंयोजक मैट्रिक्स अज्ञात है? क्या आप मुझे जीसीआई की प्रासंगिकता के साथ संयुक्त विश्वास क्षेत्रों की गणना का उदाहरण दिखा सकते हैं?

normal-distribution confidence-interval multivariate-normal

— DeltaIV
स्रोत

आपके पास सही विचार है। संयुक्त क्षेत्र के लिए 95% प्राप्त करने के लिए व्यक्तिगत आत्मविश्वास अंतराल 95% से अधिक होना चाहिए। प्रत्येक को कम से कम 0.95 1 / nth की शक्ति के लिए उठाया जाना चाहिए।

— माइकल आर। चेर्निक

एक छोटे लेकिन महत्वपूर्ण सुधार: अंतराल

सब शून्य के आसपास है, यानी केंद्रित किया जाना चाहिए

।

I_{k}

$I_k$

I_{k} = {x : | x | \leq x_{k}}

$I_k=\{x: |x|\leq x_k\}$

— एलेक्स आर।

@amoeba मैं सबूत की कठिनाई के बारे में चिंतित नहीं हूं, लेकिन लागू आंकड़ों की इसकी प्रासंगिकता के बारे में। अगर हाइपरट्रैंगल पर विचार करने से ऐसी प्रासंगिकता को दिखाना आसान हो जाता है, तो अच्छा। यदि इसके बजाय आपको लगता है कि यह असमानता केवल व्यवहार में उपयोगी होती है जब एक मनमाना बहुभुज माना जाता है, तो पर्याप्त रूप से। मैं एक उत्तर स्वीकार करूंगा जो कहता है "यदि आप केवल हाइपरट्रेक्टैंगल्स पर विचार करते हैं, तो जीसीआई एक लागू सांख्यिकीविद् के लिए बहुत उपयोगी उपकरण नहीं है, क्योंकि .... लेकिन यदि आप मनमाने ढंग से बहुभुज मानते हैं, तो यह प्रासंगिक हो जाता है, क्योंकि ..."

— डेल्टाविले

मैं कागजात को संपादित करना चाहता था और सबूतों के साथ देखा था, लेकिन अब मैं 100% सुनिश्चित नहीं हूं कि अगर हाइपरट्रैंगल एक विशेष / आसान मामला है या एक समकक्ष सूत्रीकरण है। मैं इसे अभी के लिए छोड़ दूंगा और शायद बाद में यहां वापस आऊंगा।

— अमीबा का कहना है कि मोनिका

हाइपरक्टेन्गल्स मूल पर केंद्रित हैं (जहां मूल पर केंद्रित होने के साथ मेरा मतलब है कि प्रत्येक 1D अंतराल, जिनके कार्टेसियन उत्पाद हाइपरट्रैंगल को परिभाषित करता है, सममितीय आरटी मूल है) निश्चित रूप से कम से कम एक विशेष मामला है (मुझे कोई पता नहीं है कि क्या वे एक हैं समतुल्य मामला)। अर्क्सिव पेपर के अनुसार, असमानता सभी सममित उत्तल सेटों के लिए मान्य है। हाइपरट्रैक्ंगल

एक उत्तल सेट है, और यदि यह ऊपर परिभाषित अर्थ में मूल पर केंद्रित है, तो यह सममित है, अर्थात,

H

$H$

।

x = (x_{1}, \dots, x_{n}) \in H ⟺ - x \in H

$\mathbf{x}=(x_1,\dots,x_n)\in H \iff -\mathbf{x} \in H$

— डेल्टाविले

मुझे लगता है कि सवाल प्रासंगिकता का है। कुछ अर्थों में, आप कई परिकल्पना परीक्षण देख रहे हैं और कई परिकल्पना परीक्षण चलाने की तुलना कर रहे हैं।

हां, वास्तव में एक निचली सीमा है जो स्वतंत्रता मानने वाले परीक्षणों के पी-मूल्यों का उत्पाद है। यह बहु-परिकल्पना टेस्ट जैसे बोन्फेरोनी या होल्म समायोजन में पी-मूल्यों के समायोजन का आधार है। लेकिन बोनफेरोनी और होल्म समायोजन (स्वतंत्रता मानकर) विशेष रूप से कम शक्ति परीक्षण हैं।

एक अभ्यास में बेहतर कर सकता है (और यह बूटस्ट्रैप के माध्यम से किया जाता है, उदाहरण के लिए देखें, एच व्हाइट के बूटस्ट्रैप रियलिटी चेक, रोमनो-वुल्फ द्वारा कागजात और मॉडल-कॉन्फिडेंस सेट्स पर अधिक हाल के सेट)। इनमें से प्रत्येक एक उच्च शक्ति परिकल्पना परीक्षण पर एक प्रयास है (उदाहरण के लिए, अनुमानित सहसंबंध का उपयोग करके केवल इस निचली सीमा का उपयोग करने से बेहतर है) और फलस्वरूप कहीं अधिक प्रासंगिक है।

— NBF
स्रोत