सामान्य रूप से वितरित त्रुटियों और केंद्रीय सीमा प्रमेय

Wooldridge की परिचयात्मक अर्थमिति में एक उद्धरण है:

तर्क त्रुटियों के लिए सामान्य वितरण को न्यायोचित ठहरा आमतौर पर कुछ इस तरह से चलाता है: क्योंकि कई अलग अलग अप्रत्यक्ष प्रभावित करने वाले कारकों का योग है , हम यह निष्कर्ष निकला कि केंद्रीय सीमा प्रमेय आह्वान कर सकते हैं एक अनुमानित सामान्य वितरण है। $u$ $y$ $u$

यह उद्धरण रैखिक मॉडल मान्यताओं में से एक से संबंधित है, अर्थात्:

$u \sim N(μ, σ^2)$

जहाँ $u$ जनसंख्या मॉडल में त्रुटि शब्द है।

अब, जहां तक मुझे पता है, केंद्रीय सीमा प्रमेय कहती है कि का वितरण

$Z_i=(\overline{Y_i}-μ)/(σ/√n)$

(जहाँ $\overline{Y_i}$ औसत $μ$ और विचरण साथ किसी भी आबादी से खींचे गए यादृच्छिक नमूनों का औसत है $σ^2$ )

रूप में एक मानक सामान्य चर के दृष्टिकोण $n \rightarrow \infty$ ।

सवाल:

मुझे यह समझने में मदद करें कि की सामान्यता का $Z_i$ तात्पर्य $u \sim N(μ, σ^2)$

— बत्तख
स्रोत

आईआईडी रैंडम वैरिएबल के रकम के मामले में सीएलटी के परिणाम को व्यक्त करके इसे बेहतर माना जा सकता है। हमारे पास है

\sqrt{n} \frac{\bar{X} - μ}{σ} \sim N (0, 1) asymptotically

$\sqrt{n} \frac{ \bar{X} -\mu}{\sigma} \sim N(0, 1) \quad \text{asymptotically}$

भागफल को गुणा करें और इस तथ्य का उपयोग करें कि प्राप्त करने के लिए $\frac{\sigma}{\sqrt{n}}$ $Var(cX) = c^2 Var(X)$

\bar{X} - μ \sim N (0, \frac{σ^{2}}{n})

$\bar{X}-\mu \sim N\left(0, \frac{\sigma^2}{n} \right)$

अब LHS में जोड़ें और इस तथ्य का उपयोग करें कि प्राप्त करने के लिए $\mu$ $\mathbb{E} \left[a X+\mu\right] = a \mathbb{E}[X] + \mu$

\bar{X} = \frac{1}{n} \sum_{i = 1}^{n} X_{i} \sim N (μ, \frac{σ^{2}}{n})

$\bar{X} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n X_i \sim N\left(\mu, \frac{\sigma^2}{n} \right)$

अंत में, गुणा करें और उपरोक्त दो परिणामों का उपयोग करके देखें $n$

\sum_{i = 1}^{n} X_{i} \sim N (n μ, n σ^{2})

$\sum_{i=1}^n X_i \sim N \left(n \mu, n\sigma^2 \right)$

और वॉल्ड्रिज के बयान से इसका क्या लेना-देना है? ठीक है, यदि त्रुटि कई आईआईडी यादृच्छिक चर का योग है तो यह लगभग सामान्य रूप से वितरित किया जाएगा, जैसा कि अभी देखा गया है। लेकिन यहां एक मुद्दा है, अर्थात बिना बताए गए कारक अनिवार्य रूप से समान रूप से वितरित नहीं किए जाएंगे और वे स्वतंत्र भी नहीं हो सकते हैं!

फिर भी, CLT को कुछ अतिरिक्त नियमित परिस्थितियों में स्वतंत्र रूप से वितरित गैर-पहचान वाले यादृच्छिक चर और यहां तक कि हल्के निर्भरता के मामलों में सफलतापूर्वक विस्तारित किया गया है। ये अनिवार्य रूप से स्थितियां हैं जो गारंटी देती हैं कि राशि में कोई भी शब्द विषम वितरण पर प्रतिकूल प्रभाव नहीं डालता है, सीएलटी पर विकिपीडिया पृष्ठ भी देखें । आपको निश्चित रूप से इन परिणामों को जानने की आवश्यकता नहीं है; वोल्ड्रिज का उद्देश्य केवल अंतर्ज्ञान प्रदान करना है।

उम्मीद है की यह मदद करेगा।

— JohnK
स्रोत

मैं जोड़ूंगा (चूंकि लेखक अर्थमिति का अध्ययन करता है) कि अध्ययन के अपने क्षेत्र में बहुत सारे यादृच्छिक चर (कम से कम मॉडलिंग के लिए उपयोग किए जाने वाले) 1 क्षणों को परिभाषित नहीं करते हैं, जैसे कि कॉची वितरण। तो CLT वह नहीं है जिस पर आप इस क्षेत्र में भरोसा कर सकते हैं।

— जर्मन डेमिडोव