दो स्वतंत्र बर्नौली आबादी से नमूना वितरण

मान लेते हैं कि हमारे पास दो स्वतंत्र बर्नौली यादृच्छिक चर, और । $\mathrm{Ber}(\theta_1)$ $\mathrm{Ber}(\theta_2)$

हम कैसे साबित करते हैं कि ?

\frac{({\bar{X}}_{1} - {\bar{X}}_{2}) - (θ_{1} - θ_{2})}{\sqrt{\frac{θ_{1} (1 - θ_{1})}{n_{1}} + \frac{θ_{2} (1 - θ_{2})}{n_{2}}}} \overset{d}{\to} N (0, 1)

$\frac{(\bar X_1-\bar X_2)-(\theta_1-\theta_2)}{\sqrt{\frac{\theta_1(1-\theta_1)}{n_1}+\frac{\theta_2(1-\theta_2)}{n_2}}}\xrightarrow{d} \mathcal N(0,1)$

मान लें कि । $n_1\neq n_2$

distributions sampling bernoulli-distribution

— समुद्र में एक बूढ़ा आदमी।
स्रोत

Z_i = X_1i - X_2i परिमित माध्य और विचरण के iid rv का एक क्रम है। इसलिए यह लेवी-लिंडबर्ग केंद्रीय सीमा प्रमेय को संतुष्ट करता है जिससे आपके परिणाम का पालन होता है। या फिर आप खुद ही इस बात का प्रमाण मांग रहे हैं?

— तीन दिग

@ThreeDiag आप CLT का LL संस्करण कैसे लागू कर रहे हैं? मुझे नहीं लगता कि यह सही है। विवरण की जांच के लिए मेरे लिए एक उत्तर लिखें।

— समुद्र में एक बूढ़ा आदमी।

सभी विवरण पहले से ही हैं। LL लागू करने के लिए आपको परिमित माध्य और विचरण के साथ iid rv के अनुक्रम की आवश्यकता होती है। चर Z_i = X_i1 और X_i2 तीनों आवश्यकताओं को पूरा करता है। स्वतंत्रता दो मूल Bernoulli की स्वतंत्रता से इस प्रकार वार्स और आप देख सकते हैं कि ई (Z_i) और वी (Z_i) ई के मानक गुण और वी लगाने से परिमित हैं

— तीन Diag

"दो स्वतंत्र बर्नौली यादृच्छिक चर के नमूने" - गलत अभिव्यक्ति। होना चाहिए: "बर्नौली वितरण से दो स्वतंत्र नमूने"।

— विक्टर

कृपया "के रूप में जोड़ने के

"।

n_{1}, n_{2} \to \infty

$n_1,n_2\to \infty$

— विक्टर

जवाबों:

रखो , $a=\frac{\sqrt{\theta_1(1-\theta_1)}}{\sqrt{n_1}}$ , , । हमारे पास । विशेषता कार्यों के संदर्भ में इसका मतलब है $b=\frac{\sqrt{\theta_2(1-\theta_2)}}{\sqrt{n_2}}$ $A=(\bar{X}_1-\theta_1)/a$ $B=(\bar{X}_2-\theta_2)/b$ $A\to_d N(0,1),\ B\to_d N(0,1)$ हम यह साबित करना चाहते हैं कि

ϕ_{A} (t) \equiv E e^{i t A} \to e^{- t^{2} / 2}, ϕ_{B} (t) \to e^{- t^{2} / 2} .

$\phi_A(t)\equiv {\bf E}e^{itA}\to e^{-t^2/2},\ \phi_B(t)\to e^{-t^2/2}.$

D := \frac{a}{\sqrt{a^{2} + b^{2}}} A - \frac{b}{\sqrt{a^{2} + b^{2}}} B \to_{d} N (0, 1)

$D:=\frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}}A-\frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}}B\to_d N(0,1)$

के बाद से और स्वतंत्र हैं, $A$ $B$ हम इसे इच्छा के रूप में किया जाना है।

ϕ_{D} (t) = ϕ_{A} (\frac{a}{\sqrt{a^{2} + b^{2}}} t) ϕ_{B} (- \frac{b}{\sqrt{a^{2} + b^{2}}} t) \to e^{- t^{2} / 2},

$\phi_D(t)=\phi_A\left(\frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}}t\right)\phi_B\left(-\frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}}t\right)\to e^{-t^2/2},$

यह प्रमाण अपूर्ण है। यहां हमें विशिष्ट कार्यों के एक समान अभिसरण के लिए कुछ अनुमानों की आवश्यकता है। हालाँकि विचाराधीन मामले में हम स्पष्ट गणना कर सकते हैं। रखो । $p=\theta_1,\ m=n_1$ के रूप में। इस प्रकार, एक निश्चित,

\begin{aligned} ϕ_{X_{1, 1}} (t) & = 1 + p (e^{i t} - 1), \\ ϕ_{{\bar{X}}_{1}} (t) & = (1 + p (e^{i t / m} - 1))^{m}, \\ ϕ_{{\bar{X}}_{1} - θ_{1}} (t) & = (1 + p (e^{i t / m} - 1))^{m} e^{- i p t}, \\ ϕ_{A} (t) & = (1 + p (e^{i t / \sqrt{m p (1 - p)}} - 1))^{m} e^{- i p t \sqrt{m} / \sqrt{p (1 - p)}} \\ = {((1 + p (e^{i t / \sqrt{m p (1 - p)}} - 1)) e^{- i p t / \sqrt{m p (1 - p)}})}^{m} \\ = {(1 - \frac{t^{2}}{2 m} + O (t^{3} m^{- 3 / 2}))}^{m} \end{aligned}

$\begin{align} \phi_{X_{1,1}}(t) &= 1+p(e^{it}-1), \\ \phi_{\bar X_{1}}(t) &= (1+p(e^{it/m}-1))^m, \\ \phi_{\bar X_{1}-\theta_1}(t) &= (1+p(e^{it/m}-1))^m e^{-ipt}, \\ \phi_{A}(t) &= (1+p(e^{it/\sqrt{mp(1-p)}}-1))^m e^{-ipt\sqrt{m}/\sqrt{p(1-p)}} \\[5pt] &= \left( \left(1+p(e^{it/\sqrt{mp(1-p)}}-1)\right)e^{-ipt/\sqrt{mp(1-p)}}\right)^m \\[5pt] &=\left( 1-\frac{t^2}{2m}+O(t^3m^{-3/2}) \right)^m \end{align}$

t^{3} m^{- 3 / 2} \to 0

$t^3m^{-3/2}\to 0$

t

$t$

(भले ही

या

), के बाद से

ϕ_{D} (t) = {(1 - \frac{a^{2} t^{2}}{2 (a^{2} + b^{2}) n_{1}} + O (n_{1}^{- 3 / 2}))}^{n_{1}} {(1 - \frac{b^{2} t^{2}}{2 (a^{2} + b^{2}) n_{2}} + O (n_{2}^{- 3 / 2}))}^{n_{2}} \to e^{- t^{2} / 2}

$\phi_D(t)=\left( 1-\frac{a^2t^2}{2(a^2+b^2)n_1}+O(n_1^{-3/2}) \right)^{n_1} \left( 1-\frac{b^2t^2}{2(a^2+b^2)n_2}+O(n_2^{-3/2}) \right)^{n_2} \to e^{-t^2/2}$

a \to 0

$a\to 0$

b \to 0

$b\to 0$

| e^{- y} - (1 - y / m)^{m} | \leq y^{2} / 2 m

$\left|e^{-y}-(1-y/m)^m\right|\le {y^2}/{2m}\$

y / m < 1 / 2

$\ y/m<1/2$

ध्यान दें कि इसी तरह की गणना पहले दो क्षणों के संदर्भ में विशेषता फ़ंक्शन के विस्तार का उपयोग करते हुए, दूसरे क्षणों के साथ मनमाने ढंग से (जरूरी नहीं कि बर्नौली) वितरण के लिए किया जा सकता है।

— विक्टर
स्रोत

This seems correct. I'll get back to you later on, when I have time to check everything. ;)

— An old man in the sea.

-1

Proving your statement is equivalent to proving the (Levy-Lindenberg) Central Limit Theorem which states

If $\{Z_i\}_{i=1}^n$ is a sequence of i.i.d random variable with finite mean $\mathbb{E}(Z_i) = \mu$ and finite variance $\mathbb{V}(Z_i) = \sigma^2$ then

\sqrt{n} (\bar{Z} - μ) \to^{d} N (0, σ^{2})

$\sqrt{n}(\bar{Z} - \mu) \to^d N(0,\sigma^2)$

Here $\bar{Z} = \sum_i Z_i/n$ that is the sample variance.

Then it is easy to see that if we put

Z_{i} = X_{1} i - X_{2} i

$Z_i = X_1i - X_2i$ with

X_{1 i}, X_{2 i}

$X_{1i}, X_{2i}$ following a

B e r (θ_{1})

$Ber(\theta_1)$ and

B e r (θ_{2})

$Ber(\theta_2)$ respectively the conditions for the theorem are satisfied, in particular

E (Z_{i}) = θ_{1} - θ_{2} = μ

$\mathbb{E}(Z_i) = \theta_1 - \theta_2 = \mu$

and

V (Z_{i}) = θ_{1} (1 - θ_{1}) + θ_{2} (1 - θ_{2}) = σ^{2}

$\mathbb{V}(Z_i)= \theta_1(1-\theta_1) +\theta_2(1-\theta_2)= \sigma^2$

(There's a last passage, and you have to adjust this a bit for the general case where $n_1 \neq n_2$ but I have to go now, will finish tomorrow or you can edit the question with the final passage as an exercise )

— Three Diag
स्रोत

I could not obtain what I wanted exactly because of the possibility of

n_{1} \neq n_{2}

$n_1\neq n_2$

— An old man in the sea.

I will show later if you can't get it. Hint: compute the variance of the sample mean of Z and use that as the variable in the theorem

— Three Diag

Three, could you please add the details for when

n_{1} \neq n_{2}

$n_1 \neq n_2$ ? Thanks

— An old man in the sea.

Will do as soon as find a little timr. There was in fact a subtlety that prevents from using LL clt without adjustment. There are three ways to go, the simplest of which is invoking the fact that for large n1 and n2, X1 and X2 go in distribution to normals, then a linear combination of normal is also normal. This is a property of normals that you can take as given, otherwise you can prove it by characteristic functions.

— Three Diag

The other two require either a different clt (Lyapunov possibly) or alternatively treat n1 = i and n2= i +k. Then for large i you can essentially disregard k and you can go back to apply LL (but still it will require some care to nail the right variance)

— Three Diag