असतत वर्दी वितरण से प्रतिस्थापन के बिना खींचे गए नमूनों के बीच अधिकतम अंतर

यह समस्या रोबोटिक कवरेज में मेरी प्रयोगशाला के अनुसंधान से संबंधित है:

प्रतिस्थापन के बिना सेट से यादृच्छिक रूप से संख्याएँ खींचें और संख्याओं को क्रम में क्रमबद्ध करें। । $n$ $\{1,2,\ldots,m\}$ $1\le n\le m$

संख्याओं की इस क्रमबद्ध सूची से , लगातार संख्याओं और सीमाओं के बीच अंतर उत्पन्न करना: । यह अंतराल देता है । $\{a_{(1)},a_{(2)},…,a_{(n)}\}$ $g = \{a_{(1)},a_{(2)}−a_{(1)},\ldots,a_{(n)}−a_{(n-1)},m+1-a_{(n)}\}$ $n+1$

अधिकतम अंतर का वितरण क्या है?

$P(\max(g) = k) = P(k;m,n) = ?$

यह आदेश आँकड़ों का उपयोग करके तैयार किया जा सकता है : $P(g_{(n+1)} = k) = P(k;m,n) = ?$

अंतराल के वितरण के लिए लिंक देखें , लेकिन यह सवाल अधिकतम अंतराल के वितरण को पूछता है ।

मैं औसत मूल्य, संतुष्ट $\mathbb{E}[g_{(n+1)}]$ ।

यदि $n=m$ सभी अंतराल आकार हैं 1. यदि $n+1 = m$ आकार का एक अंतराल है $2$ , और $n+1$ संभावित स्थान हैं। अधिकतम गैप आकार है $m-n+1$ , और इस अंतर से पहले या में से किसी के बाद रखा जा सकता है $n$ , संख्या के लिए कुल $n+1$ संभव पदों। सबसे छोटा अधिकतम गैप आकार $\lceil\frac{m-n}{n+1}\rceil$ । किसी भी दिए गए संयोजन की संभावना को परिभाषित करें $T= {m \choose n}^{-1}$ ।

मैंने रूप में प्रायिकता मास फ़ंक्शन को आंशिक रूप से हल किया है $P(g_{(n+1)} = k) = P(k;m,n) = \begin{cases} 0 & k < \lceil\frac{m-n}{n+1}\rceil\\ 1 & k = \frac{m-n}{n+1} \\ 1 & k = 1 \text{ (occurs when $m=n$)} \\ T(n+1)& k = 2 \text{ (occurs when $m=n+1$)} \\ T(n+1)& k = \frac{m-(n-1)}{n} \\ ? & \frac{m-(n-1)}{n} \le k \le m-n+1 \\ T(n+1)& k = m-n+1\\ 0 & k > m-n+1 \end{cases} \tag{1}$

वर्तमान कार्य (1): पहले अंतर के लिए समीकरण, $a_{(1)}$ सीधा है:

P (a_{(1)} = k) = P (k; m, n) = \frac{1}{(\binom{m}{n})} \sum_{k = 1}^{m - n + 1} (\binom{m - k - 1}{n - 1})

$P(a_{(1)} = k) = P(k;m,n) = \frac{1}{{m \choose n}} \sum_{k=1}^{m-n+1} {m-k-1 \choose n-1}$ अपेक्षित मूल्य का एक सरल मूल्य है:

E [P (a_{(1)})] = \frac{1}{(\binom{m}{n})} \sum_{k = 1}^{m - n + 1} (\binom{m - k - 1}{n - 1}) k = \frac{m - n}{1 + n}

$\mathbb{E}[P(a_{(1)})] = \frac{1}{ {m \choose n}} \sum_{k=1}^{m-n+1} {m-k-1 \choose n-1} k = \frac{m-n}{1+n}$ । समरूपता से, मुझे उम्मीद है कि सभी

n

$n$ अंतरालों में यह वितरण होगा। शायद इस वितरण

n

$n$ समय से ड्राइंग द्वारा समाधान पाया जा सकता है ।

वर्तमान कार्य (2): मोंटे कार्लो सिमुलेशन चलाना आसान है।

simMaxGap[m_, n_] := Max[Differences[Sort[Join[RandomSample[Range[m], n], {0, m+1}]]]];
m = 1000; n = 1; trials = 100000;
SmoothHistogram[Table[simMaxGap[m, n], {trials}], Filling -> Axis,
Frame -> {True, True, False, False},
FrameLabel -> {"k (Max gap)", "Probability"},
PlotLabel -> StringForm["m=``,n=``,smooth histogram of maximum map for `` trials", m, n, trials]][![enter image description here][1]][1]

— AaronBecker
स्रोत

इन शर्तों के साथ आपके पास n <= m होना चाहिए। मुझे लगता है कि आप g = {a_ (1), a_ (2) -a_ (1), ..., a_ (n) -a_ (n-1)} चाहते हैं। क्या बेतरतीब ढंग से पहली बार ड्रॉ पर प्रायिकता 1 / मी के साथ प्रत्येक संख्या का चयन करने का मतलब है? चूँकि आप दूसरी पर 1 / (m-1) की संभावना को प्रतिस्थापित नहीं करते हैं और इसलिए m = 0 पर नीचे 1 पर यदि n = m है। यदि n <m यह अंतिम ड्रॉ के साथ पहले रुकेगा तो nth ड्रा पर संभावना 1 / (m- (n-1)) होगा।

— माइकल आर। चेर्निक

आपके मूल विवरण का कोई मतलब नहीं था, क्योंकि (मेरा मानना है कि) आपने दो सदस्यताएँ लीं। कृपया पुष्टि करें कि मेरा संपादन आपके इरादे के अनुरूप है: विशेष रूप से, कृपया पुष्टि करें कि आपका मतलब वहाँ अंतराल है, जिनमें से पहला है।

g

$g$

n

$n$

a_{(1)}

$a_{(1)}$

— व्हिबर

@ मुझे लगता है कि यह आत्म-अध्ययन के बजाय शोध है

— Glen_b -Reinstate मोनिका

मुझे लगता है कि आपके न्यूनतम और अधिकतम अंतर का आकार और होना चाहिए । न्यूनतम अंतर आकार तब होता है जब लगातार पूर्णांक चुने जाते हैं, और अधिकतम अंतराल आकार तब होता है जब आप और पहले पूर्णांक (या और ) का चयन करते हैं

1

$1$

m - n + 1

$m-n+1$

m

$m$

n - 1

$n-1$

1, \dots, n - 1

$1,\dots,n-1$

1

$1$

m - n + 2, \dots, m

$m-n+2,\dots,m$

— probabilityislogic

धन्यवाद माइकल चेरिक और प्रोबेबिलिसलॉगिक, आपके सुधार किए गए हैं। सुधार करने के लिए धन्यवाद @whuber!

— एरोनबेकर

आज्ञा देना मौका है कि न्यूनतम, , बराबर ; अर्थात् , नमूना में और -subset का समाहित है । कर रहे हैं से बाहर इस तरह के सबसेट समान रूप से होने की संभावना सबसेट, जिस कारण से $f(g;n,m)$ $a_{(1)}$ $g$ $g$ $n-1$ $\{g+1,g+2,\ldots,m\}$ $\binom{m-g}{n-1}$ $\binom{m}{n}$

Pr (a_{(1)} = g = f (g; n, m) = \frac{(\binom{m - g}{n - 1})}{(\binom{m}{n})} .

$\Pr(a_{(1)}=g = f(g;n,m) = \frac{\binom{m-g}{n-1}}{\binom{m}{n}}.$

से अधिक सभी संभावित मूल्यों के लिए जोड़ने से उत्तरजीविता फलन होता है $f(k;n,m)$ $k$ $g$

Pr (a_{(1)} > g) = Q (g; n, m) = \frac{(m - g) (\binom{m - g - 1}{n - 1})}{n (\binom{m}{n})} .

$\Pr(a_{(1)} \gt g) = Q(g;n,m)= \frac{(m-g)\binom{m-g-1}{n-1}}{n \binom{m}{n}}.$

चलो हो यादृच्छिक चर सबसे बड़ी खाई द्वारा दिए गए: $G_{n,m}$

G_{n, m} = max (a_{(1)}, a_{(2)} - a_{(1)}, \dots, a_{(n)} - a_{(n - 1)}) .

$G_{n,m} = \max\left(a_{(1)}, a_{(2)}-a_{(1)}, \ldots, a_{(n)}-a_{(n-1)}\right).$

(यह प्रश्न का उत्तर मूल रूप से तैयार किया गया है, इससे पहले कि यह और बीच एक अंतर को शामिल करने के लिए संशोधित किया गया था ) $a_{(n)}$ $m$ हम इसके उत्तरजीविता फ़ंक्शन ) की गणना करेंगे । जिसमें से का संपूर्ण वितरण आसानी से प्राप्त होता है। विधि शुरू होने वाला एक गतिशील कार्यक्रम है , जिसके लिए यह स्पष्ट है कि

P (g; n, m) = Pr (G_{n, m} > g),

$P(g;n,m)=\Pr(G_{n,m}\gt g),$

G_{n, m}

$G_{n,m}$

n = 1

$n=1$

\begin{matrix} (1) & P (g; 1, m) = Pr (G_{1, m} > 1) = \frac{m - g}{m}, g = 0, 1, \dots, m . \end{matrix}

$P(g;1,m) = \Pr(G_{1,m} \gt 1) = \frac{m-g}{m},\ g=0, 1, \ldots, m.\tag{1}$

बड़े , ध्यान दें कि इवेंट इवेंट का संघ है $n\gt 1$ $G_{n,m}\gt g$

a_{1} > g,

$a_{1} \gt g,$

जिसके लिए बहुत पहले अंतर , और अलग घटनाओं से अधिक है $g$ $g$

a_{1} = k and G_{n - 1, m - k} > g, k = 1, 2, \dots, g

$a_{1}=k\text{ and } G_{n-1,m-k} \gt g, \ k=1, 2, \ldots, g$

जिसके लिए पहला अंतराल बराबर और से बड़ा अंतर बाद में नमूने में होता है। कुल संभाव्यता का कानून इन घटनाओं की संभावनाओं को जोड़कर बताता है, जहां $k$ $g$

\begin{matrix} (2) & P (g; n, m) = Q (g; n, m) + \sum_{k = 1}^{g} f (k; n, m) P (g; n - 1, m - k) . \end{matrix}

$P(g;n,m) = Q(g;n,m) + \sum_{k=1}^g f(k;n,m) P(g;n-1,m-k).\tag{2}$

फिक्स करना और और द्वारा अनुक्रमित दो-तरफ़ा सरणी , हम का उपयोग करके गणना कर सकते हैं प्रत्येक पंक्ति में संचालन प्रति पंक्ति का उपयोग करके भरने के लिए इसकी पहली पंक्ति और को भरना है । नतीजतन तालिका संचालन में पूरी की जा सकती है और माध्यम से लिए सभी तालिकाओं का निर्माण संचालन में किया जा सकता है । $g$ $i=1,2,\ldots,n$ $j=1,2,\ldots,m$ $P(g;n,m)$ $(1)$ $(2)$ $O(gm)$ $O(gmn)$ $g=1$ $g=m-n+1$ $O(m^3n)$

ये ग्राफ़ अस्तित्व समारोह दिखाने के लिए । जैसे ही बढ़ता है, ग्राफ बड़े अंतराल की घटती संभावनाओं के अनुरूप बाईं ओर चला जाता है। $g\to P(g;n,64)$ $n=1,2,4,8,16,32,64$ $n$

लिए बंद किए गए सूत्र कई विशेष मामलों में प्राप्त किए जा सकते हैं, विशेष रूप से बड़े , लेकिन मैं एक बंद सूत्र प्राप्त करने में सक्षम नहीं हूं जो सभी पर लागू होता है । निरंतर समरूप चर के लिए अनुरूप समस्या के साथ इस समस्या को प्रतिस्थापित करके आसानी से उपलब्ध हैं। $P(g;n,m)$ $n$ $g,n,m$

अंत में, की उम्मीद को पर शुरू होने वाले अपने अस्तित्व समारोह के योग द्वारा प्राप्त किया जाता है : $G_{n,m}$ $g=0$

E (G_{n, m}) = \sum_{g = 0}^{m - n + 1} P (g; n, m) .

$\mathbb{E}(G_{n,m}) = \sum_{g=0}^{m-n+1} P(g;n,m).$

उम्मीद का यह समोच्च प्लॉट , अंधेरे से प्रकाश में स्नातक की उपाधि प्राप्त करता है। $2, 4, 6, \ldots, 32$

— व्हीबर
स्रोत

सुझाव: लाइन "Let सबसे बड़ा अंतर द्वारा दिया गया यादृच्छिक चर है:", कृपया के अंतिम अंतराल को जोड़ें । आपकी उम्मीद की साजिश मेरे मोंटे कार्लो सिमुलेशन से मेल खाती है।

G_{n, m}

$G_{n,m}$

m + 1 - a_{n}

$m+1-a_{n}$

— एरोनबेकर