यह समस्या रोबोटिक कवरेज में मेरी प्रयोगशाला के अनुसंधान से संबंधित है:
प्रतिस्थापन के बिना सेट से यादृच्छिक रूप से संख्याएँ खींचें और संख्याओं को क्रम में क्रमबद्ध करें। ।
संख्याओं की इस क्रमबद्ध सूची से , लगातार संख्याओं और सीमाओं के बीच अंतर उत्पन्न करना: । यह अंतराल देता है ।
अधिकतम अंतर का वितरण क्या है?
यह आदेश आँकड़ों का उपयोग करके तैयार किया जा सकता है :
अंतराल के वितरण के लिए लिंक देखें , लेकिन यह सवाल अधिकतम अंतराल के वितरण को पूछता है ।
मैं औसत मूल्य, \ mathbb {E} [g _ {(n + 1)}] से संतुष्ट रहूंगा ।
यदि सभी अंतराल आकार हैं 1. यदि आकार 2 का एक अंतराल है , और संभावित स्थान हैं। अधिकतम गैप आकार है , और इस अंतर से पहले या में से किसी के बाद रखा जा सकता है , संख्या के लिए कुल संभव पदों। सबसे छोटा अधिकतम गैप आकार । किसी भी दिए गए संयोजन T = {m \ choose n} ^ {- 1} की संभावना को परिभाषित करें ।
मैंने P (g _ {(n + 1)} = k) = P (k; m, n) = \ start {मामलों} 0 & k <\ lceil \ frac {mn} {के रूप में प्रायिकता मास फ़ंक्शन को आंशिक रूप से हल किया है
वर्तमान कार्य (1): पहले अंतर के लिए समीकरण, सीधा है:
वर्तमान कार्य (2): मोंटे कार्लो सिमुलेशन चलाना आसान है।
simMaxGap[m_, n_] := Max[Differences[Sort[Join[RandomSample[Range[m], n], {0, m+1}]]]];
m = 1000; n = 1; trials = 100000;
SmoothHistogram[Table[simMaxGap[m, n], {trials}], Filling -> Axis,
Frame -> {True, True, False, False},
FrameLabel -> {"k (Max gap)", "Probability"},
PlotLabel -> StringForm["m=``,n=``,smooth histogram of maximum map for `` trials", m, n, trials]][![enter image description here][1]][1]