क्या दो मानक सामान्य यादृच्छिक चर हमेशा स्वतंत्र होते हैं?

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मैंने सीखा कि मानक सामान्य वितरण अद्वितीय है क्योंकि औसत और विचरण क्रमशः 0 और 1 पर तय किए जाते हैं। इस तथ्य से, मुझे आश्चर्य है कि क्या कोई दो मानक यादृच्छिक चर स्वतंत्र होना चाहिए।

normal-distribution independence

— C.Hawk
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उन्हें क्यों होना चाहिए ..? स्वतंत्रता का वितरण से कोई लेना-देना नहीं है।

— टिम

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X

$X$ और

पर विचार करें

X

$X$ । वे स्वतंत्र नहीं हैं।

— djechlin 18

आपको यह व्यावहारिक दृष्टिकोण से मददगार लग सकता है। आंकड़े.stackexchange.com/questions/15011/…

— JustGettinStarted

आम तौर पर दिए गए अच्छे उदाहरणों के अलावा, एन (0;;) सीमांत वितरणों के साथ एक सामान्य रूप से द्विभाजित सामान्य वितरण पर विचार करें। -1 और 1. के बीच कोई संबंध होना संभव है। नीचे दिए गए उदाहरण सभी विशेष मामले हैं। एक तरफ के रूप में यह दो मानक सामान्य चर पर निर्भर होना संभव है, लेकिन एक द्विभाजित वितरण नहीं है।

— माइकल आर। चेर्निक

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मैंने देखा कि बैटमैन एक सामान्य परिणाम देता है जो कि जैसा मैं सुझा रहा हूं वैसा ही हो सकता है। Y = -X मामले में सहसंबंध -1 होता है और इसलिए यह एक द्विभाजित सामान्य का एक विकृत रूप है। मैंने यहां (इस पोस्ट पर) एक उदाहरण नहीं देखा है जो एक ऐसे मामले का वर्णन करता है जो सामान्य रूप से द्विभाजित नहीं है।

— माइकल आर। चेर्निक

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जवाब न है। उदाहरण के लिए, यदि एक मानक यादृच्छिक चर है, तो समान आँकड़ों का अनुसरण करता है, लेकिन और स्पष्ट रूप से निर्भर हैं। $X$ $Y=-X$ $X$ $Y$

— गाली मार देना
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नहीं, यह मानने का कोई कारण नहीं है कि कोई भी दो मानक गॉसियन स्वतंत्र हैं।

यहाँ एक सरल गणितीय निर्माण है। मान लीजिए कि और हैं दो स्वतंत्र मानक सामान्य चर। फिर जोड़ी $X$ $Y$

X, \frac{X + Y}{\sqrt{2}}

$X, \frac{X + Y}{\sqrt{2}}$

दो निर्भर मानक सामान्य चर हैं। इसलिए, जब तक उनके दो स्वतंत्र सामान्य चर हैं, तब तक दो आश्रित होने चाहिए ।

दूसरा चर सामान्य है क्योंकि स्वतंत्र सामान्य चर का कोई भी रैखिक संयोजन फिर से सामान्य है। द वहाँबराबर विचरण करने के लिए है। $\sqrt{2}$ $1$

V (\frac{X + Y}{\sqrt{2}}) = \frac{1}{{\sqrt{2}}^{2}} (V (X) + V (Y)) = 1

$V \left(\frac{X + Y}{\sqrt{2}} \right) = \frac{1}{\sqrt{2}^2} (V(X) + V(Y)) = 1$

सहज रूप से, ये निर्भर हैं क्योंकि के मूल्य को जानने से आपको अतिरिक्त जानकारी मिलती है जिसका उपयोग आप दूसरे चर के मूल्य का अनुमान लगाने के लिए कर सकते हैं। उदाहरण के लिए, यदि आप जानते हैं कि , तो दूसरे चर की सशर्त अपेक्षा है $X$ $X = x$

E [\frac{X + Y}{\sqrt{2}} ∣ X = x] = \frac{x}{\sqrt{2}}

$E \left[\frac{X + Y}{\sqrt{2}} \mid X = x \right] = \frac{x}{\sqrt{2}}$

— मैथ्यू पारा
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यहाँ एक व्यापक जवाब है:

चलो संयुक्त रूप से गाऊसी यादृच्छिक चर हो (यानी किसी के लिए वास्तविक संख्या, एक गाऊसी वितरण है)। तब, और स्वतंत्र हैं यदि और केवल तभी (यानी वे असंबद्ध हैं)। देखें इन नोटों जानकारी के लिए, उदाहरण के लिए,। $X,Y$ $a,b$ $a X + bY$ $X$ $Y$ $E[(X-E[X])(Y-E[Y])]=0$

आप मानक सामान्य यादृच्छिक चर कैसे उत्पन्न कर सकते हैं जो स्वतंत्र नहीं हैं? फार्म के अपने पसंदीदा मैट्रिक्स उठाओ ऐसा है कि में सकारात्मक जड़ें । फिर, के लिए Cholesky decompositon लागू । फिर, दो स्वतंत्र मानक सामान्य यादृच्छिक चर और फिर वेक्टर $\Sigma=\begin{bmatrix} 1 & p \\ p & 1 \end{bmatrix}$ $(\lambda-1)^2 - p^2$ $\lambda$ $\Sigma= R R^T$ $U,V$ $R \begin{bmatrix} U \\ V \end{bmatrix}$ $p=0$

— बैटमैन
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एक गैर-सामान्य व्यक्ति का उदाहरण (जैसा कि माइकल चेरिक टिप्पणियों में बताता है):

$f_{X,Y}(x,y) = \begin{cases} \frac{1}{\pi} e^{-\frac{x^2+y^2}{2}} & xy\geq 0 \\ 0 & o.w. \end{cases}$ .

This is not a bivariate normal distribution, but a simple integral shows that both marginals are standard normal. They're obviously not independent since $f_{X,Y}(x,y) \neq f_X(x) f_Y(y)$ .

— Batman
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