एक संभावना घनत्व समारोह के चर के परिवर्तन की व्युत्पत्ति?

पुस्तक पैटर्न मान्यता और मशीन लर्निंग (सूत्र 1.27) में, यह देता है

जहाँ,वह पीडीएफ है जोचर के परिवर्तन के संबंध मेंसे मेल खाती है।

p_{y} (y) = p_{x} (x) | \frac{d x}{d y} | = p_{x} (g (y)) | g^{'} (y) |

$p_y(y)=p_x(x) \left | \frac{d x}{d y} \right |=p_x(g(y)) | g'(y) |$

x = g (y)

$x=g(y)$

p_{x} (x)

$p_x(x)$

p_{y} (y)

$p_y(y)$

पुस्तकों का कहना है, क्योंकि है कि टिप्पणियों की सीमा में पड़ने वाले है , के छोटे मूल्यों के लिए होगा , रेंज में तब्दील किया जा $(x, x + \delta x)$ $\delta x$ $(y, y + \delta y)$ ।

यह औपचारिक रूप से कैसे प्राप्त होता है?

दिलीप सरवटे से अपडेट

परिणाम केवल तभी है जब एक कड़ाई से मोनोटोन बढ़ रहा है या कम हो रहा है। $g$

LV राव के जवाब देने के लिए कुछ मामूली संपादित इसलिए यदि है नीरस रूप से बढ़ती हुई

P (Y \leq y) = P (g (X) \leq y) = {\begin{cases} P (X \leq g^{- 1} (y)), & if g is monotonically increasing \\ P (X \geq g^{- 1} (y)), & if g is monotonically decreasing \end{cases}

$\begin{equation} P(Y\le y) = P(g(X)\le y)= \begin{cases} P(X\le g^{-1}(y)), & \text{if}\ g \text{ is monotonically increasing} \\ P(X\ge g^{-1}(y)), & \text{if}\ g \text{ is monotonically decreasing} \end{cases} \end{equation}$

g

$g$

F_{Y} (y) = F_{X} (g^{- 1} (y))

$F_{Y}(y)=F_{X}(g^{-1}(y))$

यदि होगा- घटते

f_{Y} (y) = f_{X} (g^{- 1} (y)) \cdot \frac{d}{d y} g^{- 1} (y)

$f_{Y}(y)= f_{X}(g^{-1}(y))\cdot \frac{d}{dy}g^{-1}(y)$

F_{Y} (y) = 1 - F_{X} (g^{- 1} (y))

$F_{Y}(y)=1-F_{X}(g^{-1}(y))$

f_{Y} (y) = - f_{X} (g^{- 1} (y)) \cdot \frac{d}{d y} g^{- 1} (y)

$f_{Y}(y)=- f_{X}(g^{-1}(y))\cdot \frac{d}{dy}g^{-1}(y)$

∴ f_{Y} (y) = f_{X} (g^{- 1} (y)) \cdot | \frac{d}{d y} g^{- 1} (y) |

$\therefore f_{Y}(y) = f_{X}(g^{-1}(y)) \cdot \left | \frac{d}{dy}g^{-1}(y) \right |$

— dontloo
स्रोत

g

$g$

g

$g$

आपकी पुस्तक की व्याख्या मेरे द्वारा बताए गए आँकड़े की याद दिलाती है । मैंने एक सामान्य बीजीय पद्धति भी चिट्ठों पर पोस्ट की है । स्टैट्सएक्सएक्सचेंज . com/ a / 101298 / 919 और स्टैटिस्टिक्स पर एक जियोमेट्रिक स्पष्टीकरण । स्टैकएक्सचेंज . com / a / 4223 / 919 ।

— व्हिबर

@DilipSarwate आपके स्पष्टीकरण के लिए धन्यवाद, मुझे लगता है कि मैं अंतर्ज्ञान को समझता हूं, लेकिन मैं इस बात में अधिक दिलचस्पी रखता हूं कि मौजूदा नियमों और प्रमेयों का उपयोग करके इसे कैसे प्राप्त किया जा सकता है :)

— नॉट्लू

$X$ pdf $Y=g(X)$ pdf $Y$

\begin{array}{rcl} पी (Y \leq y) & = & पी (जी (एक्स) \leq y) \\ = & पी (एक्स \leq {जी}^{- 1} (y)) \\ ओ आर {एफ}_{Y} (y) & = & {एफ}_{एक्स} ({जी}^{- 1} (y)), सीडीएफ की परिभाषा के अनुसार \end{array}

$\begin{eqnarray*} P(Y\le y) &=& P(g(X)\le y)\\ &=& P(X\le g^{-1}(y))\\ or\;\;F_{Y}(y)&=& F_{X}(g^{-1}(y)),\quad \mbox{by the definition of CDF}\\ \end{eqnarray*}$

y

$y$

Y

$Y$

Y

$Y$

च_{Y} (y) = च_{एक्स} ({जी}^{- 1} (y)) \cdot \frac{घ}{घ y} {जी}^{- 1} (y)

$\begin{equation*} f_{Y}(y)= f_{X}(g^{-1}(y))\cdot \frac{d}{dy}g^{-1}(y) \end{equation*}$ और दूसरी ओर, अगर यह नीरस रूप से कम हो रहा है, तो पीडीएफ

Y

$Y$ द्वारा दिया गया है

च_{Y} (y) = - च_{एक्स} ({जी}^{- 1} (y)) \cdot \frac{घ}{घ y} {जी}^{- 1} (y)

$\begin{equation*} f_{Y}(y)= - f_{X}(g^{-1}(y))\cdot \frac{d}{dy}g^{-1}(y) \end{equation*}$ उपरोक्त दो समीकरणों को एक एकल समीकरण में जोड़ा जा सकता है:

∴ च_{Y} (y) = च_{एक्स} ({जी}^{- 1} (y)) \cdot | \frac{घ}{घ y} {जी}^{- 1} (y) |

$\begin{equation*} \therefore f_{Y}(y) = f_{X}(g^{-1}(y))\cdot |\frac{d}{dy}g^{-1}(y)| \end{equation*}$

— LVRao
स्रोत

लेकिन जैसा कि fx पर अभिन्न 1 का योग होना चाहिए और fy fx का एक छोटा संस्करण है, इसका मतलब यह नहीं है कि fy एक उचित पीडीएफ नहीं है, जब तक कि एब्स में जैकोबियन () 1 या -1 नहीं है?

— क्रिस

@ क्रिस जैकोबियन

g^{- 1}

$g^{-1}$ आवश्यक रूप से एक स्थिर कार्य नहीं है, इसलिए यह कुछ स्थानों पर> 1 और दूसरों में <1 हो सकता है।

— यतीर्थ अग्रवाल