गैर-सामान्य वितरण में अपेक्षित मूल्य माध्य, माध्यिका आदि से कैसे संबंधित है?

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एक गैर-सामान्य वितरण (जैसे कि तिरछा-सामान्य) में एक निरंतर यादृच्छिक चर का अपेक्षित मान उसके अंकगणितीय माध्य, माध्यिका आदि से कैसे संबंधित है? मैं किसी भी आम / दिलचस्प वितरण में रुचि रखता हूं (जैसे। लॉग-सामान्य, सरल द्वि / मल्टीमॉडल वितरण, कुछ और अजीब और अद्भुत)।

मैं ज्यादातर गुणात्मक उत्तरों की तलाश कर रहा हूं, लेकिन किसी भी मात्रात्मक या सूत्रीय उत्तर का भी स्वागत है। मैं विशेष रूप से किसी भी दृश्य अभ्यावेदन को देखना चाहूंगा जो इसे स्पष्ट करे।

mean expected-value median

— naught101
स्रोत

क्या आप थोड़ा स्पष्ट हो सकते हैं? अंकगणितीय माध्य और माध्यिका वे कार्य हैं जो हम डेटा पर लागू करते हैं, विशेष रूप से वितरण के लिए कुछ भी आंतरिक नहीं ... उदाहरण के लिए, नमूना मतलब की गणना करने के लिए डेटा को आपके लिए सामान्य होने की आवश्यकता नहीं है।

— अतिथि

ठीक है, इसलिए यह प्रश्न तकनीकी रूप से होना चाहिए कि " किसी विशेष संभाव्यता वितरण से यादृच्छिक रूप से खींचे गए डेटा के माध्य, माध्यिका आदि से अपेक्षित मान कैसे संबंधित है ?" मैं साधारण, सहज ज्ञान युक्त समझ की तलाश कर रहा हूं, जिस तरह से आप सहजता से कह सकते हैं कि जब वितरण अधिक तिरछा होता है, तो माध्यिका और माध्य इसके अतिरिक्त होते हैं, और माध्य बेहतर संकेत दे सकता है कि डेटा कहां है।

— n

हे। धन्यवाद मार्को। मैं स्पष्ट रूप से गलत चीजों को पढ़ रहा हूं। साथ ही साथ यह भी लिख सकते हैं कि एक उत्तर के रूप में, मैंने उसे सर्वश्रेष्ठ उत्तर में चुना।

— n

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(ऊपर मेरी अब-हटाई गई टिप्पणी से आंशिक रूप से परिवर्तित)

अपेक्षित मूल्य और अंकगणित माध्य एक ही बात है। माध्य गैर-तुच्छ तरीके से माध्य से संबंधित है लेकिन आप उनके संबंध के बारे में कुछ बातें कह सकते हैं:

जब कोई वितरण सममित होता है, तो माध्य और माध्य एक ही होता है
जब वितरण नकारात्मक रूप से तिरछा होता है, तो माध्यिका आमतौर पर माध्य से अधिक होती है
जब वितरण सकारात्मक रूप से तिरछा होता है, तो माध्यिका आमतौर पर माध्य से कम होती है

— मैक्रो
स्रोत

दिलचस्प। नकारात्मक रूप से तिरछे वितरण के असामान्य व्यवहार के उदाहरण क्या हैं जहां औसत माध्यिका से अधिक है?

— n

@ naught101: क्या यह एक टाइपो है? एक नकारात्मक रूप से तिरछा वितरण वह है जिसमें बाएं से केंद्र के परिणाम दाएं केंद्र के परिणामों की तुलना में अधिक बार होते हैं, और इसलिए कम आवृत्ति परिणामों की "पूंछ" दाईं ओर निकल जाती है। ऐसी स्थिति में, बाईं ओर का कूबड़ हमेशा (अंकगणित) माध्य को केंद्र से छोड़ेगा, जबकि दाईं ओर की पूंछ मध्यिका को माध्य से अधिक रखेगी।

— असद अब्राहिम

@AssadEbrahim: नहीं, यह मैक्रो की टिप्पणी का एक संदर्भ था "माध्यिका आमतौर पर माध्य से अधिक होती है" - मैं काउंटर उदाहरणों के लिए पूछ रहा था।

— n

@ naught101: एक असमान वितरण के मामले में प्रति-उदाहरण उसकी अगली पंक्ति है: जब कूबड़ दाईं ओर होती है तो बाईं ओर की पूंछ मध्य माध्य को नीचे की ओर खींचती है। पूंछ जितनी लंबी होगी, माध्य और माध्य के बीच का अंतर उतना ही अधिक होगा।

— असद अब्राहिम

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वे व्यावहारिक परिस्थितियाँ क्या हैं जिनमें कोई माध्य या इसके विपरीत किसी माध्यिका का उपयोग करेगा? उदाहरण के लिए, उत्तरजीविता विश्लेषण में, जहां जीवनकाल एक घातांक वितरण का अनुसरण करता है, क्या मुझे माध्यिका का उपयोग करना चाहिए (इसलिए आधी चीजें लंबे समय तक चलती हैं, आधी कम होती हैं) या माध्य ("अपेक्षित" जीवनकाल) यदि मुझे जीवन / मृत्यु की भविष्यवाणी बाइनरी के रूप में करनी है परिणाम?

— ड्रेविको

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हार्मोनिक, ज्यामितीय और लॉग-सामान्य रूप से वितरित यादृच्छिक चर के अंकगणितीय माध्य के बीच एक अच्छा संबंध है $X \sim \mathcal{LN}\left( \mu,\sigma^2 \right)$ । चलो

$\mathrm{HM}(X) = \mathrm{e}^{\mu - \frac{1}{2}\sigma^2}$ (अनुकूल माध्य),
$\mathrm{GM}(X) = \mathrm{e}^{\mu}$ (जियोमेट्रिक माध्य),
$\mathrm{AM}(X) = \mathrm{e}^{\mu + \frac{1}{2}\sigma^2}$ (अंकगणित औसत)।

यह देखना मुश्किल नहीं है कि हार्मोनिक और अंकगणितीय माध्य के उत्पाद से ज्यामितीय माध्य का वर्ग निकलता है, अर्थात

$एच म (एक्स) \cdot ए म (एक्स) = {जी म}^{2} (एक्स) ।$ $\mathrm{HM}(X) \cdot \mathrm{AM}(X) = \mathrm{GM}^2(X).$

चूंकि सभी मूल्य सकारात्मक हैं, हम स्क्वेअर रूट को ले सकते हैं और पा सकते हैं कि ज्यामितीय माध्य है $X$ हार्मोनिक माध्य का ज्यामितीय माध्य है $X$ और अंकगणित का मतलब है $X$ , अर्थात

$जी म (एक्स) = \sqrt{एच म (एक्स) \cdot ए म (एक्स)} ।$ $\mathrm{GM}(X) = \sqrt{ \mathrm{HM}(X) \cdot \mathrm{AM}(X) }.$

इसके अलावा, प्रसिद्ध एचएम-जीएम-एएम असमानता

$एच म (एक्स) \leq जी म (एक्स) \leq ए म (एक्स)$ $\mathrm{HM}(X) \leq \mathrm{GM}(X) \leq \mathrm{AM}(X)$

के रूप में व्यक्त किया जा सकता है

$एच म (एक्स) \cdot \sqrt{जी वी ए आर (एक्स)} = जी म (एक्स) = \frac{ए म (एक्स)}{\sqrt{जी वी ए आर (एक्स)}},$ $\mathrm{HM}(X) \cdot \sqrt{\mathrm{GVar}(X)} = \mathrm{GM}(X) = \dfrac{\mathrm{AM}(X)}{\sqrt{\mathrm{GVar}(X)}},$

कहाँ पे $\mathrm{GVar}(X) = \mathrm{e}^{\sigma^2}$ ज्यामितीय विचरण है।

— ब्योर्न फ्रेडरिक
स्रोत

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पूर्णता के लिए, ऐसे वितरण भी हैं जिनके लिए माध्य अच्छी तरह से परिभाषित नहीं है। एक क्लासिक उदाहरण कॉची वितरण है ( इस जवाब में इसका एक अच्छा विवरण है)। एक अन्य महत्वपूर्ण उदाहरण 2 से कम एक्सपोनेंट के साथ पारेतो वितरण है ।

— drevicko
स्रोत

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कई iff's एक बिजली कानून एक वितरण नहीं है, लेकिन एक Pareto वितरण एक बिजली कानून है। यह एक लॉग-कॉनवेक्स पावर फंक्शन के नॉन-इंटीग्रैबिलिटी से संबंधित है

x = 0

$x=0$ । एक बिजली कानून के लिए, आपका मतलब 2 से कम है, 2 से अधिक नहीं

— कार्ल

@ कार्ल अच्छे अंक - मैंने तदनुसार उत्तर संपादित किया। कई thx (:

— drevicko

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हालांकि यह सही है कि गणितीय रूप से माध्य और अपेक्षा मूल्य को समान रूप से परिभाषित किया जाता है, तिरछे वितरण के लिए यह नामकरण सम्मेलन गलत हो जाता है।

कल्पना कीजिए कि आप उसके शहर में आवास की कीमतों के बारे में एक दोस्त से पूछ रहे हैं क्योंकि आप वास्तव में वहां पसंद करते हैं और वास्तव में उस शहर में जाने के बारे में सोचते हैं।

यदि आवास पुरस्कारों का वितरण असमान और सममित था, तो आपका दोस्त आपको मकानों की औसत कीमत बता सकता है और वास्तव में आप उस औसत मूल्य के आसपास के बाजार पर अधिकांश घरों को खोजने की उम्मीद कर सकते हैं ।

हालांकि, यदि आवास की कीमतों का वितरण एकतरफा और तिरछा है, उदाहरण के लिए, दाएं-तिरछे घरों के साथ निचले मूल्य सीमा में बाईं ओर और केवल दाहिनी ओर कुछ बाहरी घर हैं, तो इसका मतलब उच्च कीमतों पर "तिरछा" होगा। सही।

इस unimodal, विषम घर मूल्य वितरण के लिए आप कर सकते हैं उम्मीद के आसपास बाजार पर सबसे घरों को खोजने के लिए मंझला ।

— सोल हाटर
स्रोत

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यह स्पष्ट नहीं है कि जब आप तिरछे असमान वितरण के लिए कहते हैं, तो घर की कीमत के वितरण के माध्य के आसपास की कीमतें हैं। जो कहा जा सकता है, वह यह है कि मानों का आधा भाग मध्य या उससे नीचे होगा और आधा मध्य में या उससे ऊपर होगा। यह इंगित नहीं करता है कि ये मान कितने करीब हैं।

— माइकल आर। चेर्निक

मैं इसे लेता हूं कि आपका अंतिम वाक्य "माध्यिका" के साथ समाप्त होने वाला है? अगर ऐसा है तो मुझे लगता है कि यह स्पष्ट है कि औसत (जो प्राप्य नहीं हो सकता है) के लिए औसत के करीब है (जो प्राप्य नहीं हो सकता है, उदाहरण के लिए आवास की कीमत नहीं) जो ऊपर वर्णित आबादी से लिया गया है। वह औसतन उस औसत नमूने के सबसे करीब है, औसतन। यदि ऐसा नहीं है, तो मैंने इस बारे में कोई दावा नहीं किया कि ये मूल्य कितने करीब हैं। मैंने मंझले से उनकी दूरी के बारे में दावा किया।

— सोल हेटर