क्यूची वितरण का कोई मतलब क्यों नहीं है?

109

वितरण घनत्व फ़ंक्शन से हम कॉची वितरण के लिए माध्य (= 0) की पहचान कर सकते हैं जैसे नीचे दिए गए ग्राफ़ से पता चलता है। लेकिन हम क्यों कहते हैं कि काउची वितरण का कोई मतलब नहीं है?

यहाँ छवि विवरण दर्ज करें

— उड़ता सुअर
स्रोत

2

मैं कैबेजा जी, यूए के संदर्भ की सिफारिश करता हूं। (2013)। ला मीडिया डे ला डिस्ट्रीब्यूसिन डे कॉची। ब्लॉग में Apoyo en Matemáticas काउची वितरण के मतलब के बारे में।

यहाँ मेरा उत्तर देखें: आंकड़े

— kjetil b halvorsen

99

आप यंत्रवत् जांच कर सकते हैं कि अपेक्षित मूल्य मौजूद नहीं है, लेकिन यह शारीरिक रूप से सहज होना चाहिए, कम से कम यदि आप ह्यूजेंस के सिद्धांत और बड़ी संख्या के कानून को स्वीकार करते हैं । बड़े संख्या के कानून का निष्कर्ष एक काउची वितरण के लिए विफल रहता है, इसलिए इसका कोई मतलब नहीं हो सकता है। यदि आप स्वतंत्र कैची रैंडम वैरिएबल को औसत करते हैं, तो परिणाम रूप में संभावना साथ परिवर्तित नहीं होता है । यह उसी आकार का एक कॉची वितरण रहता है। प्रकाशिकी में यह महत्वपूर्ण है। $n$ $0$ $n\to \infty$ $1$

कॉची वितरण एक बिंदु स्रोत से एक लाइन पर प्रकाश की सामान्यीकृत तीव्रता है। ह्यूजेंस का सिद्धांत कहता है कि आप यह मानकर तीव्रता का निर्धारण कर सकते हैं कि प्रकाश स्रोत और लक्ष्य के बीच किसी रेखा से फिर से उत्सर्जित होता है। तो, मीटर दूर एक रेखा पर प्रकाश की तीव्रता यह मानकर निर्धारित की जा सकती है कि प्रकाश पहले मीटर दूर एक रेखा से टकराता है, और किसी भी आगे के कोण पर फिर से उत्सर्जित होता है। एक लाइन पर प्रकाश की तीव्रता मीटर की दूरी पर के रूप में व्यक्त किया जा सकता है एक लाइन पर प्रकाश के वितरण के गुना घुमाव के मीटर की दूरी पर। जो है, का योग स्वतंत्र कॉची वितरण एक कॉची वितरण का एक पहलू से बढ़ाया है । $2$ $1$ $n$ $n$ $1$ $n$ $n$

यदि कॉची वितरण एक मतलब था, तो की वें प्रतिशतक गुना घुमाव से विभाजित करने के लिए अभिसरण करने के लिए होगा बड़े नंबर के कानून द्वारा। इसके बजाय यह स्थिर रहता है। यदि आप मीटर की दूरी पर (पारदर्शी) लाइन पर मीटर दूर, मीटर दूर आदि पर निशान लगाते हैं , तो ये बिंदु डिग्री पर एक सीधी रेखा बनाते हैं । वे की ओर नहीं झुकते । $25$ $n$ $n$ $0$ $25$ $1$ $2$ $45$ $0$

यह आपको विशेष रूप से कॉची वितरण के बारे में बताता है, लेकिन आपको अभिन्न परीक्षण का पता होना चाहिए क्योंकि ऐसे अन्य वितरण हैं जिनका कोई मतलब नहीं है जिसमें स्पष्ट भौतिक व्याख्या नहीं है।

— डगलस ज़ारे
स्रोत

39

+1 अब वहाँ एक रोशन जवाब :-) (खेद) है। वैसे, सिद्धांत का नाम क्रिस्टियन ह्यूजेंस के लिए रखा गया है, न कि ऑक्सीजन के लिए। ह्यूजेंस 1650 में पास्कल द्वारा प्रकाशित किए गए प्रायिकता के नए घटनाक्रम की सराहना करने वाले पहले व्यक्ति थे (फ़र्मेट के साथ उनके पत्रों पर आधारित): यह इन विचारों (1657) के ह्यूजेंस का खाता था, जिसमें अपेक्षा भी शामिल थी, जिसे मूल रूप से एक गणितीय पर प्रायिकता सिद्धांत मिला था। जेकब बर्नौली ( एर्स कंजेक्टिंडी , 1713) के सेमिनल (मरणोपरांत) ग्रंथ का मार्ग प्रशस्त किया ।

— whuber

4

आयामों का प्रचार किया जाता है, तीव्रता का नहीं।

— डोरू कांस्टेंटिन

2

यह एक महान जवाब है, लेकिन मुझे अंत भ्रामक लगता है: "... 25 वीं परसेंटाइल को चिह्नित करें ... एक सीधी रेखा, 45 डिग्री पर। वे 0. की ओर झुकते नहीं हैं।" यह कथन अपने आप में सत्य है (Huygens-Fresnel सिद्धांत के परिणाम के रूप में), लेकिन यह " द्वारा विभाजित" से पहले है । जब 2 को 2-मीटर से विभाजित करते हैं, तो 3 से 3-मीटर में विभाजित किया जाता है, ..., फिर पारदर्शी रेखा ऊर्ध्वाधर (स्क्रीन पर लंबवत होती है जो प्रकाश को पकड़ती है)। 45 डिग्री की मात्रात्मक रेखा कॉची के योग से संबंधित है और तर्क (अभी तक) के साथ मदद नहीं करती है।

n

$n$

— ली डेविड चुंग लिन

40

माइकल चेरनिक्स के उत्तर पर @ व्हिबर की टिप्पणी के जवाब में जोड़ा गया उत्तर (और पूरी तरह से व्हॉबर द्वारा बताई गई त्रुटि को दूर करने के लिए फिर से लिखा गया है।)

एक कॉची रैंडम वैरिएबल के अपेक्षित मूल्य के लिए अभिन्न के मूल्य को अपरिभाषित कहा जाता है क्योंकि किसी भी चीज़ को पसंद करने के लिए मूल्य को "बनाया" जा सकता है। अभिन्न (Riemann इंटीग्रल के अर्थ में व्याख्या की जाती है) जिसे आमतौर पर कहा जाता है अनुचित अभिन्न और उसके मूल्य को एक सीमित मूल्य के रूप में गणना की जानी चाहिए: या

\int_{- \infty}^{\infty} \frac{x}{π (1 + x^{2})} d x

$\int_{-\infty}^{\infty} \frac{x}{\pi(1+x^2)}\,\mathrm dx$

\int_{- \infty}^{\infty} \frac{x}{π (1 + x^{2})} d x = lim_{T_{1} \to - \infty} lim_{T_{2} \to + \infty} \int_{T_{1}}^{T_{2}} \frac{x}{π (1 + x^{2})} d x

$\int_{-\infty}^{\infty} \frac{x}{\pi(1+x^2)}\,\mathrm dx = \lim_{T_1\to-\infty}\lim_{T_2\to+\infty} \int_{T_1}^{T_2} \frac{x}{\pi(1+x^2)}\,\mathrm dx$

\int_{- \infty}^{\infty} \frac{x}{π (1 + x^{2})} d x = lim_{T_{2} \to + \infty} lim_{T_{1} \to - \infty} \int_{T_{1}}^{T_{2}} \frac{x}{π (1 + x^{2})} d x

$\int_{-\infty}^{\infty} \frac{x}{\pi(1+x^2)}\,\mathrm dx = \lim_{T_2\to+\infty}\lim_{T_1\to-\infty} \int_{T_1}^{T_2} \frac{x}{\pi(1+x^2)}\,\mathrm dx$ और या फिर, दोनों मूल्यांकनों को समान परिमित मूल्य देना चाहिए। यदि नहीं, तो अभिन्न को अपरिभाषित कहा जाता है। यह तुरंत दिखाता है कि क्यूची यादृच्छिक चर का मतलब अपरिभाषित क्यों कहा गया है: आंतरिक सीमा में अंतर सीमित करता है।

कॉची प्रमुख मूल्य एक सीमा के रूप में प्राप्त किया जाता है: ऊपर की दोहरी सीमा के बजाय । उम्मीद के अभिन्न अंग का मुख्य मूल्य आसानी से देखा जाता है क्योंकि सभी लिए सीमा का मूल्य । लेकिन यह कहने के लिए इस्तेमाल नहीं किया जा सकता है कि कैची यादृच्छिक चर का मतलब । अर्थात्, सामान्य अर्थ में अभिन्न के मूल्य के रूप में अर्थ को परिभाषित किया गया है न कि प्रमुख मूल्य अर्थ में।

lim_{T \to \infty} \int_{- T}^{T} \frac{x}{π (1 + x^{2})} d x

$\lim_{T\to\infty} \int_{-T}^{T} \frac{x}{\pi(1+x^2)}\,\mathrm dx$

0

$0$

0

$0$

T

$T$

0

$0$

के लिए , पर विचार के बजाय अभिन्न जो सीमित सीमा मान को समेटता है को । जब , तो हमें मुख्य मूल्य मिलता है जो ऊपर चर्चा की गई है। इस प्रकार, हम अभिव्यक्ति के लिए एक स्पष्ट अर्थ नहीं दे सकते हैं $\alpha > 0$

\begin{aligned} \int_{- T}^{α T} \frac{x}{π (1 + x^{2})} d x & = \int_{- T}^{T} \frac{x}{π (1 + x^{2})} d x + \int_{T}^{α T} \frac{x}{π (1 + x^{2})} d x \\ = 0 + {\frac{\ln (1 + x^{2})}{2 π} |}_{T}^{α T} \\ = \frac{1}{2 π} \ln (\frac{1 + α^{2} T^{2}}{1 + T^{2}}) \\ = \frac{1}{2 π} \ln (\frac{α^{2} + T^{- 2}}{1 + T^{- 2}}) \end{aligned}

$\begin{align} \int_{-T}^{\alpha T} \frac{x}{\pi(1+x^2)}\,\mathrm dx &= \int_{-T}^{T} \frac{x}{\pi(1+x^2)}\,\mathrm dx + \int_{T}^{\alpha T} \frac{x}{\pi(1+x^2)}\,\mathrm dx\\ &= 0 + \left.\frac{\ln(1+x^2)}{2\pi}\right|_T^{\alpha T}\\ &= \frac{1}{2\pi}\ln\left(\frac{1+\alpha^2T^2}{1+T^2}\right)\\ &= \frac{1}{2\pi}\ln\left(\frac{\alpha^2+T^{-2}}{1+T^{-2}}\right) \end{align}$

\frac{\ln (α)}{π}

$\displaystyle \frac{\ln(\alpha)}{\pi}$

T \to \infty

$T\to\infty$

α = 1

$\alpha = 1$

0

$0$

\int_{- \infty}^{\infty} \frac{x}{π (1 + x^{2})} d x

$\int_{-\infty}^{\infty} \frac{x}{\pi(1+x^2)}\,\mathrm dx$ यह निर्दिष्ट किए बिना कि कैसे दो शिशुओं के संपर्क किया गया था, और इस बिंदु को अनदेखा करने के लिए सभी की ओर जाता है जटिलताओं के प्रकार और गलत परिणाम क्योंकि चीजें हमेशा वैसी नहीं होती हैं, जब वे मूल्य के क्रीम के रूप में प्रमुख मूल्य का दूध बनाते हैं। यही कारण है कि कॉची यादृच्छिक चर का मतलब मान बजाय अपरिभाषित कहा जाता है , अभिन्न का प्रमुख मूल्य।

0

$0$

यदि कोई प्रायिकता के लिए माप-सिद्धांत के दृष्टिकोण का उपयोग कर रहा है और अपेक्षित मूल्य अभिन्न को लेब्सेग इंटीग्रल के अर्थ में परिभाषित किया गया है, तो मुद्दा सरल है। तभी मौजूद है जब परिमित है, और इसलिए एक कॉची यादृच्छिक चर के लिए अपरिभाषित है के बाद से नहीं परिमित है। $\int g$ $\int |g|$ $E[X]$ $X$ $E[|X|]$

— दिलीप सरवटे
स्रोत

9

मध्य अभिन्न का मूल्यांकन गलत है: यह शून्य है, लघुगणक नहीं। समस्या वास्तव में अनंत अभिन्नता में निहित दो सीमाओं के मूल्यांकन के साथ है।

— whuber

@whuber त्रुटि को इंगित करने के लिए धन्यवाद। मैंने अपना जवाब पूरी तरह से लिख दिया है और आपकी टिप्पणी अब लागू नहीं होती है।

— दिलीप सरवटे

मुझे समझ में नहीं आता कि अनुपात की उम्मीद क्यों नहीं है। यदि और संयुक्त रूप से शून्य से भिन्न माध्य के साथ संयुक्त रूप से वितरित किए जाते हैं, तो अर्थ , मुझे क्या याद आ रहा है?

X

$X$

Y

$Y$

Z = \frac{X}{Y}

$Z = \frac{X}{Y}$

\int \int \frac{x}{y} p (x, y) d x d y

$\int \int \frac{x}{y} p \left( x, y \right) dx dy$

— रॉय

@ ड्रेकिक मैंने अपने उत्तर में कहीं भी दो सामान्य यादृच्छिक चर के अनुपात का उल्लेख नहीं किया है। कृपया किसी ऐसे व्यक्ति से पूछें जिसने इस मुद्दे को कॉची यादृच्छिक चर के संबंध में उठाया है।

— बजे दिलीप सरवटे

2

@Drazick इस बात पर गौर करें कि क्या आपका अभिन्न अंग मौजूद है । सामान्य तौर पर, यदि का घनत्व , E [X ^ {- 1}] के पड़ोस में निरंतर है , तो $ मौजूद नहीं है।

X

$X$

0

$0$

— दिलीप सरवटे

33

हालांकि उपरोक्त उत्तर स्पष्ट स्पष्टीकरण के कारण हैं कि कॉची वितरण की कोई अपेक्षा नहीं है, मुझे इस तथ्य का पता चलता है कि दो स्वतंत्र सामान्य का अनुपात है कि है : वास्तव में, हम have और दूसरी अपेक्षा है । $X_1/X_2$ $\mathcal{N}(0,1)$

E [\frac{| X_{1} |}{| X_{2} |}] = E [| X_{1} |] \times E [\frac{1}{| X_{2} |}]

$\mathbb{E}\left[ \frac{|X_1|}{|X_2|} \right] = \mathbb{E}\left[ |X_1| \right] \times \mathbb{E}\left[ \frac{1}{|X_2|} \right]$

+ \infty

$+\infty$

— शीआन
स्रोत

1

Isएक 'मुड़ा हुआ' कॉची रैंडम वैरिएबल जब मुझे पता है कि स्टैंडर्ड कॉची है? कोई कैसे का वितरण पा सकता है?

| \frac{X_{1}}{X_{2}} |

$\left|\frac{X_1}{X_2}\right|$

\frac{X_{1}}{X_{2}}

$\frac{X_1}{X_2}$

| \frac{X_{1}}{X_{2}} |

$\left|\frac{X_1}{X_2}\right|$

— स्टबबोर्नटॉम

1

हां, यह एक कैची वेरिएंट का निरपेक्ष मूल्य है, जिसमें सकारात्मक वास्तविक संख्याओं पर घनत्व ।

f (x) + f (- x)

$f(x)+f(-x)$

— शीआन

यदि आप सामान्य वितरण को , तोअनंत नहीं है?

E 1 / | X_{2} |

$\mathbb{E} 1/|X_2|$

— अल्बर्ट चेन

यह अनंत है।

— शीआन

22

कॉची का कोई मतलब नहीं है क्योंकि आप जिस बिंदु का चयन करते हैं (0) उसका मतलब नहीं है। यह एक मध्यमा और एक विधा है । पूर्ण रूप से निरंतर वितरण के लिए माध्य को रूप में परिभाषित किया गया है जहाँ घनत्व घनत्व है और अभिन्न को के डोमेन पर ले जाया जाता है (जो कि कॉची के मामले में to ) है। कॉची घनत्व के लिए, यह अभिन्न केवल परिमित नहीं है (आधे से से है और आधे से से है )। $\int x f(x) dx$ $f$ $f$ $-\infty$ $\infty$ $-\infty$ $0$ $-\infty$ $0$ $\infty$ $\infty$

— माइकल चेरिक
स्रोत

9

मैं आपकी आलोचना नहीं कर रहा हूं, @Dipip: मैं आपके अवलोकन को बढ़ा रहा हूं। यह बहुत दिलचस्प है कि एक शून्य प्रमुख मूल्य का अस्तित्व हमें अभिन्न के प्रमुख मूल्य के रूप में कॉची वितरण (या किसी आरवी का मतलब) के माध्यम को परिभाषित करने के लिए लुभा सकता है। यह इस प्रश्न की प्रकृति में बहुत अधिक गहराई से जांच करता है, जो यह घोषित करके चमकता है कि अभिन्न या तो अनंत या अपरिभाषित है: अर्थात्, मूल मूल्य काम क्यों नहीं करता है ? यह एक साधन के रूप में उपयोग करने के लिए वैध क्यों नहीं होगा?

— whuber

5

@ वाउचर यह भी दिलचस्प है कि यदि आप इंटीग्रल एट-ए और + को किसी a> 0 के लिए काटते हैं तो आपको 0. मिलता है। इसलिए सममित अभिन्न के दृष्टिकोण के रूप में सीमा लेना 0. देता है। यह पूछने का एक और कारण है कि क्यों नहीं 0 का मतलब।

— माइकल चेरिक

10

@whuber: मैं आपकी अंतिम टिप्पणी आपके बयान में बयानबाजी करने के लिए लेता हूं; किसी भी दर पर हम पूर्ण अभिसरण चाहते हैं और मेरे दिमाग में "कारण" यह है कि हम चीजों को क्षेत्रों की तरह व्यवहार करना चाहते हैं। विशेष रूप से, हमें चीजों को (कार्यों) को टुकड़ों में काटने और उन्हें पुनर्व्यवस्थित करने में सक्षम होना चाहिए जो हमें प्राप्त उत्तर को परेशान किए बिना होगा। हम यह काट नहीं कर सकते हैं और एक रेखीय फ़ंक्शन रे के लिए एक कॉची वितरण को पुनर्व्यवस्थित कर सकते हैं, इसलिए हमें यह आग्रह करना चाहिए कि इसका मतलब मौजूद नहीं है।

— कार्डिनल

9

कि, @cardinal, एक अच्छा जवाब है! मैं केवल बयानबाजी नहीं कर रहा था, क्योंकि सवाल खुद से पूछता है "हम क्यों कहते हैं [] कैची वितरण का कोई मतलब नहीं है?" अपेक्षा को अनसुना करते हुए अपरिचित को संतुष्ट किया जा सकता है, लेकिन संभावना है कि अभिन्न की एक वैकल्पिक वैकल्पिक परिभाषा मौजूद हो सकती है - और सहज ज्ञान युक्त सही उत्तर देता है! - लोगों को परेशान करना चाहिए। आपका जवाब मेरे मन में जो था, उसके करीब है, लेकिन यह अभी भी अधूरा है। मुझे लगता है कि एक संतोषजनक जवाब सांख्यिकीय सिद्धांत के महत्वपूर्ण प्रमेयों की पहचान करेगा जो तब विफल हो जाते हैं जब हम सशर्त रूप से अभिन्न अभिन्न अंग के साथ काम करते हैं।

— whuber

7

@Dipip मैंने भी ऐसा ही सोचा था, लेकिन प्रतिबिंब में यह सुझाव देने की तुलना में थोड़ा अधिक चुनौतीपूर्ण लगता है। उदाहरण के लिए, केंद्रीय सीमा प्रमेय के साथ कोई समस्या नहीं है: एक विचरण की आवश्यकता को स्वचालित रूप से एक अपेक्षा की गारंटी देता है, निश्चित रूप से। और बहुत सारे प्रमेयों को चेबीशेव की असमानता का उपयोग करके साबित किया जाता है, जहां एक बार और हम एक मतलब की गारंटी देते हैं। इसलिए मैं वास्तव में उत्सुक हूं: आंकड़ों के अभ्यास में उपयोग किए जाने वाले बड़े सिद्धांत क्या हैं जहां हमें सशर्त रूप से अभिसरण के साथ समस्याओं का संज्ञान होना चाहिए, लेकिन अभिसरण नहीं, अपेक्षाएं?

— whuber

16

एक यूनिट सर्कल पर एक समान वितरण के रूप में कॉची वितरण सबसे अच्छा माना जाता है, इसलिए अगर यह औसत समझ में आता है तो आश्चर्य होगा। मान लीजिए कि किसी प्रकार का "औसत कार्य" था। यही है, मान लीजिए कि यूनिट सर्कल के प्रत्येक परिमित सबसेट के लिए, यूनिट सर्कल का एक बिंदु था। स्पष्ट रूप से, को "अप्राकृतिक" होना चाहिए। घुमावों के संबंध में अधिक सटीक रूप से समतुल्य नहीं हो सकता है। कॉची वितरण को अपने सामान्य रूप से प्राप्त करने के लिए, लेकिन कम खुलासा करते हुए, प्रपत्र (0,1) से एक्स-अक्ष पर इकाई सर्कल को प्रोजेक्ट करें, और इस प्रक्षेपण का उपयोग सर्कल पर समान वितरण को एक्स-अक्ष पर स्थानांतरित करने के लिए करें। $f$ $X$ $f(X)$ $f$ $f$

यह समझने के लिए कि माध्य क्यों नहीं है, इकाई चक्र पर एक फ़ंक्शन के रूप में x के बारे में सोचें। यूनिट सर्कल पर एक अलग संख्या में असंबद्ध आर्क्स मिलना बहुत आसान है, जैसे कि यदि आर्क्स में से किसी की लंबाई d है, तो उस चाप पर x> 1 / 4d। अतः इनमें से प्रत्येक विखंडित चाप औसत से 1/4 से अधिक योगदान देता है, और इन चापों से कुल योगदान अनंत है। हम फिर से वही काम कर सकते हैं, लेकिन x <-1 / 4d के साथ, कुल योगदान माइनस इनफिनिटी के साथ। इन अंतरालों को आरेख के साथ प्रदर्शित किया जा सकता है, लेकिन क्या कोई क्रॉस वैलिडेट के लिए आरेख बना सकता है?

— डेविड एपस्टीन
स्रोत

1

साइट पर आपका स्वागत है, @DavidEpstein। आप उत्तर क्षेत्र के ऊपर छोटे चित्र आइकन (विज़ार्ड लॉन्च करने के लिए) पर क्लिक करके छवियों को w / अपने पसंदीदा सॉफ़्टवेयर बना सकते हैं और उन्हें अपने उत्तर में अपलोड कर सकते हैं। दुर्भाग्य से, आपको ऐसा करने के लिए> = 10 प्रतिनिधि चाहिए। मुझे यकीन है कि आपके पास जल्द ही पर्याप्त होगा; अंतरिम में, यदि आप छवि को इंटरनेट पर कहीं और भी पोस्ट कर सकते हैं और अपने उत्तर में एक लिंक पोस्ट कर सकते हैं, तो एक उच्च प्रतिनिधि उपयोगकर्ता इसे प्राप्त कर सकता है और आपके लिए पोस्ट कर सकता है।

— गूँग

3

मैं कॉची को एक सर्कल पर वर्दी के रूप में व्याख्या किए जाने के बारे में नहीं जानता था लेकिन यह निश्चित रूप से समझ में आता है। एक सामयिक तर्क से पता चलता है कि एक सर्कल पर कोई निरंतर कार्य नहीं हो सकता है जिसमें एक औसत फ़ंक्शन के गुण हैं।

— जॉनी

@DavidEpstein मैंने अन्य पोस्ट में भी आपका उत्तर पढ़ा है । टकसाली प्रक्षेपण वास्तव में अच्छा है। इसकी तुलना में, क्या आप टिप्पणी कर सकते हैं कि अर्धवृत्त के समान वैध रेडियल प्रक्षेपण का मतलब अच्छी तरह से परिभाषित क्यों नहीं है? अर्थात्, , फिर मानक कॉची है। ज्यामितीय रूप से यह मूल तथ्य है कि एक खुदा हुआ कोण हमेशा इसके संबंधित केंद्रीय कोण का आधा होता है।

U \sim U n i f [0, 1]

$U \sim \mathrm{Unif}[0,1]$

X \equiv \tan (π (U - \frac{1}{2}))

$X \equiv \tan\left( \pi( U - \frac12 ) \right)$

— ली डेविड चुंग लिन

वास्तव में एक प्रकाश स्रोत के भौतिक मॉडल के संदर्भ में, अर्धवृत्त चित्र अधिक उपयुक्त है, क्योंकि यह तुरंत स्पष्ट नहीं है कि ह्यूजेंस का सिद्धांत आपको एक टकसाली प्रक्षेपण क्यों देगा।

— ली डेविड चुंग लिन

10

कुछ रैंडम वैरिएबल का माध्य या प्रत्याशित मान कुछ प्रायिकता मापक पर परिभाषित एक लेब्सेग इंटीग्रल है : $X$ $P$

E X = \int X d P

$EX=\int XdP$

कॉची यादृच्छिक चर के माध्य का कोई मतलब नहीं है कि कॉची आरवी का अभिन्न अस्तित्व नहीं है। ऐसा इसलिए है क्योंकि कॉची वितरण की पूंछ भारी पूंछ हैं (सामान्य वितरण की पूंछ की तुलना में)। हालांकि, अपेक्षित मूल्य का कोई भी कारण एक काची यादृच्छिक चर के अन्य कार्यों के अस्तित्व को मना नहीं करता है।

— टॉमस
स्रोत

5

पूंछ इस अर्थ में "भारी" हैं कि वे अभिन्न रूप से अभिसिंचित करने के लिए दोनों दिशाओं में तेजी से क्षय नहीं करते हैं। इस अवधारणा का सामान्य वितरण (या किसी संदर्भ वितरण) से कोई लेना-देना नहीं है।

— whuber

4

हां, इस सुधार के लिए धन्यवाद। मैंने भारी पूंछ और सामान्य वितरण के बीच किसी भी कठोर संबंध का अर्थ नहीं लगाया है। हालांकि, मुझे लगता है कि सामान्य वितरण (हल्के पूंछ के साथ) और भारी पूंछ वाले वितरण की तुलना "भारी" पूंछ की अवधारणा को समझने के लिए नेत्रहीन (हमेशा नहीं) थोड़ा आसान बनाता है।

— टॉमस

5

यहाँ दृश्य व्याख्या अधिक है। (हम में से उन लोगों के लिए जो गणित को चुनौती देते हैं।) एक बेतरतीब ढंग से वितरित यादृच्छिक संख्या जनरेटर ले लो और परिणामस्वरूप मूल्यों का औसत प्रयास करें। यहां इसके लिए एक फ़ंक्शन पर एक अच्छा पृष्ठ है। https://math.stackexchange.com/questions/484395/how-to-generate-a-cauchy-random-variable आप पाएंगे कि यादृच्छिक मूल्यों की "चंचलता" के कारण यह बड़ा हो जाता है क्योंकि आप छोटे के बजाय चलते हैं। । इसलिए इसका कोई मतलब नहीं है।

— पॉल
स्रोत

4

बस उत्कृष्ट उत्तरों में जोड़ने के लिए, मैं इस बारे में कुछ टिप्पणी करूंगा कि सांख्यिकीय अभ्यास के लिए अभिन्न की गैर-मान्यता क्यों प्रासंगिक है। जैसा कि दूसरों ने उल्लेख किया है, अगर हमने मूल मूल्य को "मतलब" होने की अनुमति दी है, तो slln अब मान्य नहीं है! इसके अलावा, इस तथ्य के निहितार्थ के बारे में सोचें कि, व्यवहार में, सभी मॉडल अनुमानित हैं। विशेष रूप से, कॉची वितरण एक अनबाउंड यादृच्छिक चर के लिए एक मॉडल है। व्यवहार में, यादृच्छिक चर बाध्य होते हैं, लेकिन सीमा अक्सर अस्पष्ट और अनिश्चित होती है। अनबाउंड मॉडल का उपयोग करने का तरीका यह है कि, यह अनावश्यक (और अक्सर अप्राकृतिक) मॉडल में सीमा का परिचय अनावश्यक बनाता है। लेकिन इसके लिए समझ बनाने के लिए, समस्या के महत्वपूर्ण पहलुओं को प्रभावित नहीं किया जाना चाहिए। इसका मतलब है कि, अगर हम सीमाएं लागू करते, यह महत्वपूर्ण तरीकों में परिवर्तन नहीं करना चाहिए। लेकिन जब अभिन्न न हो जाए तो ऐसा नहीं होता है! मॉडल अस्थिर है, इस अर्थ में कि आरवी की उम्मीद काफी हद तक मनमानी सीमा पर निर्भर करेगी। (आवेदनों में, सीमा को सममित बनाने के लिए कोई कारण आवश्यक नहीं है!)

इस कारण से, यह कहना बेहतर है कि अभिन्न यह कहने से अलग है कि यह "अनंत" है, अंतिम कोई अस्तित्व नहीं होने पर कुछ निश्चित मूल्य को लागू करने के करीब है! अधिक गहन चर्चा यहाँ है ।

— kjetil b halvorsen
स्रोत

-4

मैं एक पल के लिए थोड़ा अचार बनना चाहता था। शीर्ष पर ग्राफिक गलत है। एक्स-एक्सिस मानक विचलन में है, कुछ ऐसा जो कॉची वितरण के लिए मौजूद नहीं है। मैं picky हो रहा हूं क्योंकि मैं अपने काम में अपने जीवन के हर एक दिन कॉची वितरण का उपयोग करता हूं। एक व्यावहारिक मामला है जहां भ्रम एक अनुभवजन्य त्रुटि का कारण बन सकता है। 1 डिग्री की स्वतंत्रता के साथ छात्र का टी-वितरण मानक कैची है। यह आमतौर पर महत्व के लिए आवश्यक विभिन्न संयोगों को सूचीबद्ध करेगा। ये सिग्मा मानक विचलन नहीं हैं, वे संभावित त्रुटियां हैं और म्यू मोड है।

यदि आप उपरोक्त ग्राफिक को सही ढंग से करना चाहते थे, तो या तो एक्स-एक्सिस कच्चा डेटा है, या यदि आप चाहते हैं कि उनके बराबर आकार की त्रुटियां हों, तो आप उन्हें समान संभावित त्रुटियां देंगे। सामान्य वितरण पर आकार में एक संभावित त्रुटि .67 मानक विचलन है। दोनों ही मामलों में यह अर्ध-अंतःक्रियात्मक श्रेणी है।

अब आपके प्रश्न के उत्तर के रूप में, जो कुछ भी सभी ने ऊपर लिखा है वह सही है और इसके लिए गणितीय कारण है। हालांकि, मुझे संदेह है कि आप एक छात्र हैं और विषय के लिए नए हैं और इसलिए नेत्रहीन स्पष्ट करने के लिए काउंटर-सहज गणितीय समाधान सही नहीं हो सकते हैं।

मेरे पास दो लगभग समान वास्तविक दुनिया के नमूने हैं, एक कॉची वितरण से तैयार, दोनों में एक ही मोड और एक ही संभावित त्रुटि है। एक का मतलब १.२ 1. है और एक का मतलब १.३३ है। 1.27 के माध्य के साथ मानक विचलन 400 है, 1.33 के माध्य के साथ मानक 5.15 है। दोनों के लिए संभावित त्रुटि .32 और मोड 1 है। इसका मतलब है कि सममित डेटा के लिए, इसका मतलब केंद्रीय 50% में नहीं है। यह केवल माध्य और / या किसी भी परीक्षण के लिए महत्व के बाहर विचरण करने के लिए एक अतिरिक्त अवलोकन करता है। कारण यह है कि माध्य और विचरण पैरामीटर नहीं हैं और नमूना माध्य और नमूना विचरण स्वयं यादृच्छिक संख्याएँ हैं।

सबसे सरल उत्तर यह है कि कॉची वितरण के मापदंडों में एक माध्य शामिल नहीं है और इसलिए किसी माध्य के बारे में कोई विचरण नहीं होता है।

यह संभावना है कि आपके पिछले शिक्षाशास्त्र में इस अर्थ का महत्व था कि यह आमतौर पर एक पर्याप्त आंकड़ा है। लंबे समय तक आवृत्ति आधारित आँकड़ों में कॉची वितरण के पास कोई पर्याप्त आँकड़ा नहीं है। यह सच है कि पूरे मध्य में समर्थन के साथ कॉची वितरण के लिए नमूना मंझला, एक पर्याप्त आंकड़ा है, लेकिन ऐसा इसलिए है क्योंकि यह एक क्रम सांख्यिकीय होने से विरासत में मिला है। यह संयोग से पर्याप्त है, इसके बारे में सोचने का आसान तरीका नहीं है। अब बायेसियन आंकड़ों में कॉची वितरण के मापदंडों के लिए एक पर्याप्त आंकड़ा है और यदि आप पहले एक समान का उपयोग करते हैं तो यह भी निष्पक्ष है। मैं इसे ऊपर लाता हूं क्योंकि अगर आपको उन्हें दैनिक आधार पर उपयोग करना है, तो आपने हर तरह से सीखा है कि उन पर अनुमान लगाना है।

ऐसे कोई मान्य आदेश आँकड़े नहीं हैं, जिन्हें काटे गए कॉची वितरण के लिए अनुमानक के रूप में उपयोग किया जा सकता है, जो कि आप वास्तविक दुनिया में चलने की संभावना रखते हैं, और इसलिए अधिकांश वास्तविक अनुप्रयोगों के लिए आवृत्ति आधारित विधियों में पर्याप्त सांख्यिकीय नहीं है ।

मेरा सुझाव है कि मानसिक, मानसिक रूप से, कुछ वास्तविक होने से दूर हटना है। यह एक उपकरण है, एक हथौड़ा की तरह, जो मोटे तौर पर उपयोगी है और आमतौर पर इसका इस्तेमाल किया जा सकता है। कभी-कभी वह उपकरण काम नहीं करेगा।

सामान्य और कैची वितरण पर एक गणितीय नोट। जब डेटा को समय श्रृंखला के रूप में प्राप्त किया जाता है, तो सामान्य वितरण केवल तब होता है जब त्रुटियां शून्य में परिवर्तित हो जाती हैं क्योंकि टी अनंत तक जाती है। जब डेटा को एक समय श्रृंखला के रूप में प्राप्त किया जाता है, तो कैची वितरण तब होता है जब त्रुटियां अनन्तता को विचलित करती हैं। एक अभिसारी श्रृंखला के कारण है, दूसरे एक विचलन श्रृंखला के कारण। कॉची वितरण कभी भी एक विशिष्ट बिंदु पर सीमा पर नहीं आते हैं, वे एक निश्चित बिंदु पर आगे और पीछे झूलते हैं ताकि पचास प्रतिशत समय वे एक तरफ और पचास प्रतिशत समय दूसरे पर रहे। कोई मध्यवर्ती प्रत्यावर्तन नहीं है।

— डे हैरिस
स्रोत

9

इस प्रतिक्रिया में कुछ भ्रम है! उदाहरण के लिए, यह कहता है कि "अब बायेसियन आंकड़ों में कॉची वितरण के मापदंडों के लिए पर्याप्त आँकड़ा मौजूद है और यदि आप पहले एक समान का उपयोग करते हैं तो यह भी निष्पक्ष है।" इसका कोई मतलब निकालना मुश्किल है! सबसे पहले, पर्याप्तता की आवृत्तिवादी और बेयसियन अवधारणाएं बहुत करीब हैं (और मेरा मानना है कि केवल कुछ अजीब, अनंत-मंद नमूना स्थानों में अंतर हो सकता है, इसलिए वास्तविक रेखा के लिए समान हैं)। कॉची मॉडल के लिए निश्चित आयाम का कोई पर्याप्त आंकड़ा नहीं है !, बस (पूरा डेटा स्पष्ट रूप से पर्याप्त है)।

— kjetil b halvorsen

-6

इसे सीधे शब्दों में कहें, तो वक्र के नीचे का क्षेत्र अनंत के करीब पहुंच जाता है क्योंकि आप ज़ूम आउट करते हैं। यदि आप एक परिमित क्षेत्र का नमूना लेते हैं, तो आप उस क्षेत्र के लिए एक साधन पा सकते हैं। हालांकि, अनंत का कोई मतलब नहीं है।

— पॉल
स्रोत

8

पीडीएफ के तहत क्षेत्र परिभाषा के अनुसार बराबर है , इसलिए आपको "वक्र" द्वारा कुछ और मतलब होना चाहिए। यह क्या है?

1

$1$

— whuber