क्या इसका मतलब है = मोड एक सममित वितरण है?

Question

मुझे पता है कि इस सवाल को माध्य = माध्यिका के साथ पूछा गया है, लेकिन मुझे माध्य = मोड से संबंधित कुछ भी नहीं मिला।

यदि मोड माध्य के बराबर है, तो क्या मैं हमेशा यह निष्कर्ष निकाल सकता हूं कि यह एक सममित वितरण है? क्या मुझे इस तरीके के लिए मंझला भी जानने के लिए मजबूर किया जाएगा?

Comments

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— questions/

कई द्विपद वितरण तिरछे हैं, लेकिन उनका अर्थ = मोड है।

— निक कॉक्स

Answer 1

माध्य = विधा का अर्थ समरूपता नहीं है।

यदि माध्य = माध्य = विधा है तब भी आपके पास समरूपता नहीं है।

और संभावित अनुवर्ती की प्रत्याशा में - भले ही माध्य = मोड और तीसरा केंद्रीय क्षण शून्य है (इसलिए पल-विषमता 0 है), आपको अभी भी समरूपता नहीं है।

... लेकिन उस एक के लिए एक अनुवर्ती था। निकट ने टिप्पणियों में पूछा कि क्या सभी विषम क्षण शून्य होने के लिए समरूपता की आवश्यकता होती है। उस का जवाब भी नहीं है। [चर्चा अंत में देखें। † ]$^\dagger$

उन विभिन्न चीजों को समरूपता (सभी प्रासंगिक क्षणों को मानते हुए) द्वारा निहित किया गया है, लेकिन निहितार्थ दूसरे तरीके से नहीं जाता है - कई प्राथमिक पाठ के बावजूद स्पष्ट रूप से अन्यथा उनमें से एक या अधिक के बारे में।

Counterexamples निर्माण करने के लिए बहुत तुच्छ हैं।

निम्नलिखित असतत वितरण पर विचार करें:

  x     -4    0    1    5
P(X=x)  0.2  0.4  0.3  0.1

इसका मतलब है, माध्य, मोड और तीसरा केंद्रीय क्षण (और इसलिए क्षण-विषमता) सभी 0 लेकिन यह असममित है।

इस तरह का उदाहरण शुद्ध रूप से निरंतर वितरण के साथ भी किया जा सकता है। उदाहरण के लिए, यहां समान गुणों वाला घनत्व है:

यह -6, -4, -3, -1, 0, 1, 2, 5 के साधन के साथ सममित त्रिकोणीय घनत्व (प्रत्येक के साथ प्रत्येक) का मिश्रण है और मिश्रण वजन 0.08, 0.08, 0.12, 0.08, 0.28, 0.08 , 0.08, 0.20 क्रमशः। यह तथ्य कि मैंने अभी इसे बनाया है - पहले कभी नहीं देखा है - यह बताता है कि इन मामलों का निर्माण कितना सरल है।

[मैंने त्रिकोणीय मिश्रण घटकों को चुना ताकि मोड नेत्रहीन हो - एक चिकनी वितरण का उपयोग किया जा सकता है।]

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हाँग ओई के सवालों को संबोधित करने के लिए एक अतिरिक्त असतत उदाहरण यहां दिया गया है कि इन शर्तों को समरूपता से कितनी दूर आप प्राप्त करने की अनुमति देते हैं। यह कोई सीमित मामला नहीं है, यह सिर्फ इतना है कि यह कम सममित दिखने वाला उदाहरण बनाने के लिए सरल है:

   x    -2    0    1    6
P(X=x) 0.175 0.5  0.32 0.005

0 पर स्पाइक को शर्तों को बदलने के बिना अपेक्षाकृत उच्च या निम्न बनाया जा सकता है; इसी तरह दाईं ओर स्थित बिंदु को और अधिक दूर रखा जा सकता है (संभावना में कमी के साथ) 1 और 2 पर सापेक्ष ऊंचाइयों को बदले बिना (यानी उनकी सापेक्ष संभावना 2: 1 अनुपात के करीब रहेगी क्योंकि आप सबसे सही चलते हैं तत्व के बारे में)।

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NickT के सवाल के जवाब पर अधिक विस्तार

$\dagger$

Comments

मुझे लगता है कि कहानी का नैतिक है: समरूपता एक मजबूत संपत्ति है और इसे वितरण के कुछ विशिष्ट सारांश मूल्यों से नहीं घटाया जा सकता है।

— कोडियालॉजिस्ट

एक दिलचस्प सवाल यह हो सकता है कि इन गुणों के साथ आप समरूपता के लिए "करीब" कैसे हो सकते हैं। अपने असतत उदाहरण को देखते हुए, यह बीच में कूबड़ के साथ सममित-प्रकार का है।

— हॉन्ग ओई

@HongOoi मुझे उम्मीद है कि आप यह पूछने का मतलब है कि आप कितनी दूर मिल सकते हैं, क्योंकि (जाहिर है कि आप इसे किसी भी समय पूरी तरह से सममित बना सकते हैं)। आप इसे मेरे उदाहरण की तुलना में अधिक अच्छा असममित बना सकते हैं - यह सिर्फ एक सुविधाजनक मामला था।

— Glen_b -Reinstate Monica

@HongOoi मैंने एक और उदाहरण जोड़ा है।

— Glen_b -Reinstate Monica

यदि विचरण से परे सभी विषम (विषम) क्षण 0 हैं, तो क्या केवल ऐसा होगा यदि सममित वितरण है?

— निक टी

Answer 2

$$\begin{align} X &= \{2,3,5,5,10\} \\[10pt] {\rm mean}(X) &= 5 \\ {\rm median}(X) &= 5 \\ {\rm mode}(X) &= 5 \end{align}$$

मैं उस वितरण को सममित नहीं कहूंगा।

Answer 3

नहीं।

$X$$p(X = -2) = \tfrac{1}{6}$$p(X = 0) = \tfrac{1}{2}$$p(X = 1) = \tfrac{1}{3}$$X$

Answer 4

एक उत्तर देने के लिए मैंने दिया कहीं और , लेकिन यहाँ भी फिट बैठता है:

$$\mathbb{P}(X=n) = \left\{ \begin{array}{ll} 0.03 & n=-3 \\ 0.04 & n=-2 \\ 0.25 & n=-1 \\ 0.40 & n=0 \\ 0.15 & n=1 \\ 0.12 & n=2 \\ 0.01 & n=3 \end{array} \right.$$

जिसमें न केवल माध्य, माध्य और मोड सभी समान हैं, बल्कि शून्य तिरछा भी है। कई अन्य संस्करण संभव हैं।