जेकोबियन कारक के कारण विभिन्न संभावना घनत्व परिवर्तन

Question

बिशप में पैटर्न पहचान और मशीन लर्निंग मैं निम्नलिखित, बस प्रायिकता घनत्व के बाद पढ़ने के लिए $p(x\in(a,b))=\int_a^bp(x)\textrm{d}x$ पेश किया गया:

चर के एक nonlinear परिवर्तन के तहत, एक संभाव्यता घनत्व एक साधारण कार्य से अलग रूप से परिवर्तित हो जाता है, जो कि जेकोबियन कारक है। उदाहरण के लिए, अगर हम चर का एक परिवर्तन पर विचार , तो एक समारोह हो जाता है । अब एक संभावना घनत्व पर विचार करें जो नए चर संबंध में घनत्व से मेल खाता है , जहां suf fi ces इस तथ्य को दर्शाता है कि और भिन्न घनत्व हैं । रेंज में गिरने टिप्पणियों , के छोटे मूल्यों के लिए होगा , रेंज में तब्दील किया जा$x = g(y)$$f(x)$$\tilde{f}(y) = f(g(y))$$p_x(x)$$p_y(y)$$y$$p_x(x)$$p_y(y)$$(x, x + \delta x)$$\delta x$$(y, y + \delta y$ ) जहां , और इसलिए।$p_x(x)\delta x \simeq p_y(y)δy$$p_y(y) = p_x(x) |\frac{dx}{dy}| = p_x(g(y)) | g\prime (y) |$

जैकबियन कारक क्या है और वास्तव में सब कुछ क्या मतलब है (शायद गुणात्मक रूप से)? बिशप कहते हैं, कि इस संपत्ति का एक परिणाम यह है कि अधिकतम संभावना घनत्व की अवधारणा चर की पसंद पर निर्भर है। इसका क्या मतलब है?

मेरे लिए यह नीले रंग से थोड़ा बाहर आता है (यह परिचय अध्याय में है)। मैं कुछ संकेत की सराहना करेंगे, धन्यवाद!

Comments

"रूपांतरित चर के घनत्व के लिए सहज व्याख्या" सहायक हो सकती है। "याकूब," के बारे में कृपया हमारी साइट खोजें ।

— whuber

जैकबियन कारक के एक महान विवरण के लिए, जैकबियन निर्धारक पर खान अकादमी का वीडियो ट्यूटोरियल देखें। khanacademy.org/math/multivariable-calculus/…

— JStrahl

Answer 1

मैं आपको पढ़ने का सुझाव देता हूं प्रश्न 1.4 का हल जो एक अच्छा अंतर्ज्ञान प्रदान करता है।

संक्षेप में, यदि आपके पास एक मनमाना फ़ंक्शन और दो चर और जो फ़ंक्शन द्वारा एक दूसरे से संबंधित हैं , तो आप सीधे का विश्लेषण करके फ़ंक्शन का अधिकतम पता लगा सकते हैं : या परिवर्तित कार्य : आश्चर्य की बात नहीं, और प्रत्येक से संबंधित होगा जैसे कि (यहां मैंने माना कि ।$f(x)$$x$$y$$x = g(y)$$f(x)$$\hat{x} = argmax_x(f(x))$$f(g(y))$$\hat{y} = argmax_y(f(g(y))$$\hat{x}$$\hat{y}$$\hat{x} = g(\hat{y})$$\forall{y}: g^\prime(y)\neq0)$

यह संभावना वितरण के मामले में नहीं है। यदि आपके पास प्रायिकता वितरण और दो यादृच्छिक चर हैं जो द्वारा एक दूसरे से संबंधित हैं । फिर और के बीच कोई सीधा संबंध नहीं है । यह जेकोबियन कारक के कारण होता है, एक कारक जो दिखाता है कि कैसे जैसे फ़ंक्शन द्वारा वॉल्यूम को अपेक्षाकृत बदल दिया जाता है ।$p_x(x)$$x=g(y)$$\hat{x} = argmax_x(p_x(x))$$\hat{y}=argmax_y(p_y(y))$$g(.)$