क्यों , लेकिन ?

Question

इस एपी केंद्रीय पृष्ठ पर रैंडम वेरिएबल्स बनाम बीजगणितीय वेरिएबल्स , लेखक, पीटर फ़्लेगन-हाइड, बीजीय और रैंडम वैरिएबल्स के बीच का अंतर बताते हैं।

भाग में वह कहता है

$x + x = 2x$ , लेकिन $X + X \neq 2X$

- वास्तव में यह लेख का उपशीर्षक है।

एक बीजगणितीय चर और एक यादृच्छिक चर के बीच बुनियादी अंतर क्या है?

Comments

एक विचार के बाद: -1 चूंकि प्रश्न में बहुत बदलाव आया था क्योंकि इसमें पहले से ही दो उत्तर थे, जिनमें से एक लंबा और विस्तृत था जो मूल प्रश्न से अलग किए गए उत्तर बनाता है। इसके अलावा, आपका दूसरा प्रश्न यह पूछ रहा है कि यादृच्छिक चर इस साइट पर पहले से ही उत्तर दिया गया था और इसे डुप्लिकेट के रूप में चिह्नित किया गया था - जवाब में आपने इस प्रश्न को बंद एक में बदल दिया।

— टिम

अपने वर्तमान रूप में (जो अब लगभग एक सप्ताह तक नहीं बदला था), यह प्रश्न कोई डुप्लिकेट नहीं है। मैंने फिर से खोलने के लिए मतदान किया है। मुझे उम्मीद है कि Glen_b उनके जवाब को भी मिटा देगा।

— अमीबा का कहना है कि

Answer 1

तो, चलिए पहले इस प्रश्न का समाधान करते हैं: '' एक बीजगणितीय चर और एक यादृच्छिक चर के बीच बुनियादी अंतर क्या है? '

एक यादृच्छिक चर एक बीजगणितीय चर पर नहीं है। औपचारिक रूप से, इसे एक प्रायिकता space से फ़ंक्शन के रूप में परिभाषित किया गया है ।Ω $X$$\Omega$$\mathbb R$

ठीक है ... इसका वास्तव में मतलब यह है कि आप यादृच्छिक प्रयोग करते हैं (जैसे एक पासा फेंकना, एक यादृच्छिक मानव चुनना), और आप इन प्रयोगों (जैसे पासा ऊपरी चेहरे पर संख्या, ऊंचाई, लिंग, मानव के कोलेस्ट्रॉल स्तर) पर उपाय करते हैं )। सेट सभी संभव प्रयोगों का सेट है। किसी विशेष प्रयोग , आप एक माप बनाते हैं : इसीलिए औपचारिक रूप से यह से का एक कार्य है ।ω ∈ Ω एक्स ( ω ) Ω $\Omega$$\omega\in\Omega$$X(\omega)$$\Omega$$\mathbb R$

अब सामान्य तौर पर हम पूरी तरह से बारे में भूल जाते हैं । यादृच्छिक चर को उनके संभाव्यता कानून की अवधि में परिभाषित किया गया है। एक निष्पक्ष पासा के मामले में, आप सिर्फ कहते हैं$\Omega$

• k=1,…,6Xk$\mathbb P(X = k) = {1\over 6}$ लिए ( बराबर की संभावना 1 से 6 तक लिए 1/6 है )$k=1,\dots,6$$X$$k$$k$

के बजाय

• एक्स $\mathbb P\left( \bigl\{ \omega \in \Omega \ : \ X(\omega) = k\bigr\}\right)$ (पासा का सेट जिस पर माप - ऊपरी चेहरा - संभावना 1/6 है ...$X$$k$

यह सरल है। तुम भी पूरी तरह से साथ छात्रों को परेशान करने से बच सकते हैं ।$\Omega$

मुझे उम्मीद है कि यह किसी तरह का प्रकाश डालेगा।

अब क्या इस आदमी से साधन कि इस तरह के एक उपाय का योग नहीं है के साथ ही दो बार इस उपाय नहीं है - दुर्भाग्य से, यह वह क्या लिखता है। उसका मतलब यह है कि विभिन्न प्रयोगों पर किए गए दो ऐसे उपायों का योग, एक माप से दो बार समान कानून नहीं है। इसे रूप में लिखा जा सकता है (तथ्य यह है कि और का समान वितरण नहीं है, अर्थ है कि का समान वितरण )।$X + X \ne 2X$$X_1 \sim X_2 \not\Rightarrow X_1 + X_2 \sim 2X_1$$X_1$$X_2$$X_1 + X_2$$2 X_1$

Comments

क्या यह आँकड़े.stackexchange.com/questions/235688/… का जवाब नहीं था, बल्कि फिर यह सवाल ..?

— टिम

@ टिम, हाँ जो था। लेकिन, इस सवाल को पहले यहाँ रखा गया था। फिर, मैंने इसे फिर से बदल दिया।

— user366312

@ अनाम, लेकिन जैसा कि यह अब खड़ा है, उत्तर आपके प्रश्न के लिए पूरी तरह से असंबंधित है, जबकि दो अन्य उत्तर इसका सीधा उत्तर देते हैं।

— टिम

@ टिम, मैं इसके लिए माफी मांगता हूं। मैंने जवाब देने वालों को मुद्दा उठाया, लेकिन उन्होंने कोई जवाब नहीं दिया। इसलिए, मैंने टिप्पणियों को हटा दिया और एक और प्रश्न पोस्ट किया। लेकिन, अब मुझे यह जवाब दिख रहा है और मैंने इसे स्वीकार कर लिया है।

— user366312

@ तैम जैसा गुमनाम ऊपर बताता है, उस समय यह सवाल यहाँ दिखाई दे रहा था। मैंने अपना जवाब पूरा कर लिया, मुझे लगता है कि अगर अनाम अपने भविष्य के लिए एक छोटा सा बदलाव करता है तो यह भविष्य के पाठकों को पहेली नहीं करेगा।

— एल्विस

Answer 2

[सवाल का एक पूर्व संस्करण एक जवाब के लिए पूछा जो पूरी तरह से गणित से बचा गया; यह उत्तर कुछ सहज ज्ञान युक्त प्रेरणा देने का प्रयास था, एक समान स्तर पर दस्तावेज़ के बारे में पूछा जा रहा है।]

लिंक पृष्ठ गलत है जब यह कहता है कि ।$X+X\neq 2X$

उदाहरण में एक यादृच्छिक चर है जो मरने के चेहरे पर दिखने वाली संख्या का प्रतिनिधित्व करता है - एक प्रयोग का परिणाम "एक बार एक छह-तरफा मरो और मरने के चेहरे पर संख्या में रिकॉर्ड करें"।$X$

तो आप एक मर को रोल करें और जो आपने देखा है उसे लिखें। आप जो भी संख्या दर्ज करेंगे वह ... इसलिए अपने आप में जोड़े गए परिणाम को दर्शाता है। यदि आप एक और डाई रोल करते हैं, तो उस नंबर को आपने नीचे लिखा होगा, जो पहले नहीं बदलता है।$X$$X+X$

बाद में पृष्ठ पर लिखा है:

जब दो पासे उतारे जाते हैं, हालांकि, परिणाम भिन्न होते हैं। यादृच्छिक चर को बुलाओ जो दो-पासा प्रक्रिया के परिणामों का प्रतिनिधित्व करता है ("दो" के लिए)। हम लिख सकते हैं । यह समीकरण इस तथ्य का प्रतिनिधित्व करता है कि यादृच्छिक चर के दो स्वतंत्र उदाहरणों का परिणाम है$T$$T = X + X$$T$$T$

उस उद्धरण का बहुत अंत संभवतः एक टंकण त्रुटि है, उनका मतलब है कि नहीं वहाँ (क्योंकि अगर यह था तो उन्होंने कहा केवल दो उदाहरणों का परिणाम था)। लेकिन उस प्रतिस्थापन के साथ यह अभी भी गलत है।$X$$T$$T$$T$

यदि आपके पास प्रयोग के दो स्वतंत्र उदाहरण हैं (एक डाई को रोल करें, संख्या दिखाते हुए रिकॉर्ड करें) आप दो अलग-अलग यादृच्छिक चर के साथ काम कर रहे हैं ।

तो कल्पना कीजिए कि मेरे पास एक लाल रंग और एक नीली डाई है। तब मैं कह सकता हूं "लाल मरने पर परिणाम और नीले रंग पर मरने का परिणाम हो ।" तब हम उस लिंक किए गए पृष्ठ पर उदाहरण का अनुसरण कर सकते हैं कि को परिभाषित करके उन दो पासा पर दिखाई जा रही संख्याओं का योग हो, इसलिए । यदि पासा और डाई-रोलिंग प्रक्रिया निष्पक्ष है तो और का वितरण समान है, लेकिन और - यादृच्छिक चर - अलग हैं।$X_1$ T T = X 1 + X 2 X 1 X 2 X 1 X $X_2$$T$$T=X_1+X_2$$X_1$$X_2$$X_1$$X_2$

[यादृच्छिक चर (और उनमें से रकम) के whuber द्वारा एक उत्कृष्ट चर्चा नहीं है यहां , और यादृच्छिक परिवर्तनीय की अवधारणा थोड़ा और अधिक विस्तार से कवर किया जाता है (स्थानों में यदि अधिक तकनीकी) यहाँ । मैं आपको कम से कम पहले लिंक पर उत्तर पढ़ने की सलाह देता हूं।]

यह समस्या इसलिए आई है क्योंकि लेखक ने इसके वितरण के साथ यादृच्छिक चर को भ्रमित किया है। आप इसे यहाँ देख सकते हैं:

इस मामले में, छात्र यादृच्छिक चर X को एकल, अज्ञात मान का प्रतिनिधित्व करने के बारे में सोचते हैं, उसी तरह जैसे वे बीजीय चर के बारे में सोचते हैं। लेकिन एक्स वास्तव में संभावित मूल्यों के वितरण और संबंधित संभावनाओं को संदर्भित करता है।

वह स्पष्ट रूप से इसके वितरण के साथ यादृच्छिक चर का खुलासा करता है।

वास्तव में यादृच्छिक चर कई तरीकों से अन्य बीजीय चर की तरह होते हैं और अक्सर एक ही तरीके से हेरफेर किए जा सकते हैं। विशेष रूप से, एक एकल अविभाजित यादृच्छिक चर एक ही समय में दो अलग-अलग मात्रा (जैसे दो अलग-अलग डाई रोल से परिणाम) के लिए खड़ा नहीं होता है। वास्तव में ।2 $X+X$$2X$

Answer 3

आपके द्वारा लिंक किया गया पृष्ठ गलत है। वह लिखता है, भले ही वह कहता है कि वह दो अलग-अलग स्वतंत्र पासा चला रहा है। इसका मतलब है कि उसे लिखना चाहिए जहां और दो पासा के परिणाम हैं।टी = एक्स + वाई एक्स $T = X + X$$T = X + Y$$X$$Y$

दोनों को फ्लैट करना गलत है, क्योंकि रैंडम वेरिएबल या दो नहीं बल्कि डाइस थ्रो को देखने का अहसास होना चाहिए ।एक्स ओ एन $X$$X$$one$

यादृच्छिक चर के लिए यह वास्तव में सही है कि$X+X=2X$