प्रायिकता की परिभाषा; क्या कोई औपचारिक परिभाषा मौजूद है?

क्या कोई संभावना (गणितीय) की परिभाषा है जो 'फ्रीक्वेंसी' के तहत आवृत्तियों को समझते हैं। मैंने पढ़ा कि यह लंबे समय में होने वाली घटना की सापेक्ष आवृत्ति है '', लेकिन क्या इसे परिभाषित करने का कोई औपचारिक तरीका है? क्या कोई ज्ञात संदर्भ हैं जहां मुझे वह परिभाषा मिल सकती है?

संपादित करें:

बार-बार कहने वाले (@whuber द्वारा टिप्पणी देखें और उस उत्तर के नीचे @Kodiologist और @Graeme Walsh के लिए मेरी टिप्पणी) मेरा मतलब है कि उन '' विश्वास '' का अर्थ है कि यह लंबे समय तक चलने वाली सापेक्ष आवृत्ति मौजूद है। हो सकता है कि यह (आंशिक रूप से) @Tim के प्रश्न का भी उत्तर दे

probability frequentist definition

कृपया बताएं कि "फ्रीक्वेंटिस्ट" से आपका क्या मतलब है। अन्य थ्रेड्स में मैंने जो उपयोग देखे हैं, उनसे संकेत मिलता है कि कई लोगों को इस शब्द का कोई सुसंगत या स्पष्ट अर्थ नहीं है। इसलिए परिभाषा किसी भी उत्तर को प्रासंगिक बनाए रखने में मदद करेगी।

— whuber

@whuber मुझे लगता है कि frequentist की परिभाषा "गैर बायेसियन" है और बायेसियन "गैर frequentist" ज्यादातर मामलों में :) है

— टिम

निकटता से संबंधित: en.wikipedia.org/wiki/Empirical_probability

— सिल्वरफ़िश

मैं यह कहने जा रहा था कि यह आंकड़े .stackexchange.com / a / 230943 / 113090 शायद आपके हित में होंगे, लेकिन तब मुझे महसूस हुआ कि आप ही वह व्यक्ति हैं, जिसने उस उत्तर को पोस्ट किया है, इसलिए कभी भी बुरा नहीं मानना चाहिए। वैसे भी आपकी विचार प्रक्रिया दूसरों के लिए रूचि की हो सकती है, जिनके पास भी आपके जैसा ही सवाल है (उदाहरण के लिए) "क्या प्रायिकता की औपचारिक लगातार परिभाषा मौजूद है"

— Chill2Macht

मुझे यकीन नहीं है कि मेरे पास खुद एक उत्तर लिखने की ऊर्जा होगी, लेकिन मैं यहां एक ही लिंक छोड़ना चाहूंगा कि स्टैनफोर्ड एनसाइक्लोपीडिया ऑफ फिलॉसफी में इंटरप्रिटेशन ऑफ प्रोस्पेक्टबिलिटी पर मैंने जो संबंधित थ्रेड में आपके उत्तर के तहत पोस्ट किया है। लगातार व्याख्या / परिभाषा पर खंड एक अच्छा पढ़ा है। यह प्रायिकता की एक क्रमिक परिभाषा देने के प्रयासों के साथ विभिन्न वैचारिक समस्याओं के बारे में विस्तार से बात करता है।

— अमीबा

जवाबों:

TL; DR ऐसा नहीं लगता कि कोल्मोगोरोव ढांचे के अनुरूप सुसंगतता की एक निरंतर परिभाषा को परिभाषित करना संभव है जो पूरी तरह से परिपत्र नहीं है (अर्थात परिपत्र तर्क के अर्थ में)।

बहुत लंबे समय तक नहीं तो मैंने पढ़ा: मुझे पता है कि मैं संभावित संभावित प्रत्याशी परिभाषा के साथ कुछ संभावित समस्याओं के रूप में क्या देखता हूं

lim_{n \to \infty} \frac{n_{A}}{n}

$\underset{n \to \infty}{\lim} \frac{n_A}{n}$ सबसे पहले, को केवल एक यादृच्छिक चर के रूप में उचित रूप से व्याख्या किया जा सकता है, इसलिए उपरोक्त अभिव्यक्ति को कठोर अर्थ में ठीक से परिभाषित नहीं किया गया है। हमें इस यादृच्छिक चर के लिए अभिसरण के मोड को निर्दिष्ट करने की आवश्यकता है, यह लगभग निश्चित रूप से, संभाव्यता में, वितरण में, माध्य में, या माध्य वर्ग में होना चाहिए।

n_{A}

$n_A$

लेकिन अभिसरण की इन सभी धारणाओं को सार्थक होने के लिए परिभाषित किए जाने वाले प्रायिकता स्थान पर एक माप की आवश्यकता होती है। सहज पसंद, ज़ाहिर है, अभिसरण को लगभग निश्चित रूप से चुनना होगा। इसमें यह सुविधा है कि सीमा को माप शून्य की एक घटना को छोड़कर बिंदुवार मौजूद होना चाहिए। जो माप शून्य का एक सेट का गठन करता है, वह किसी भी ऐसे उपाय के परिवार के लिए मेल खाता है जो एक-दूसरे के संबंध में पूरी तरह से निरंतर हैं - यह हमें लगभग निश्चित रूप से अभिसरण की धारणा को परिभाषित करने की अनुमति देता है, जो कि अंतर्निहित होने के बारे में कुछ हद तक अज्ञेय होने के बावजूद उपरोक्त सीमा को कठोर बना देता है। घटनाओं की औसत दर्जे की जगह के लिए उपाय है (क्योंकि यह कुछ चुने हुए माप के संबंध में कोई भी उपाय पूरी तरह से निरंतर हो सकता है)। इससे परिभाषा में परिपत्रता को रोका जा सकेगा, जो पहले से दिए गए उपाय को ठीक करने से उत्पन्न होगा,

हालांकि, अगर हम लगभग सुनिश्चित अभिसरण का उपयोग कर रहे हैं, तो इसका मतलब है कि हम खुद को बड़ी संख्या के मजबूत कानून की स्थिति तक सीमित कर रहे हैं (इसलिए SLLN)। यहाँ संदर्भ के लिए मुझे वह प्रमेय (जैसा कि चुंग के पृष्ठ १३३ पर दिया गया है) बताएं:

Let स्वतंत्र, समान रूप से वितरित यादृच्छिक चर का एक क्रम हो। फिर हमारे पास जहाँ पर | $\{X_n\}$
$E | X_{1} | < \infty ⟹ \frac{S_{n}}{n} \to E (X_{1}) a . s .$ $\mathbb{E}|X_1| < \infty \implies \frac{S_n}{n} \to \mathbb{E}(X_1)\quad a.s.$ $इ | {एक्स}_{1} | = \infty ⟹ \underset{n \to \infty}{लिम सुड़कना} \frac{| {एस}_{n} |}{n} = + \infty ए । रों ।$ $\mathbb{E}|X_1| = \infty \implies \underset{n \to \infty}{\lim\sup}\frac{|S_n|}{n} = + \infty \quad a.s.$ $S_n:= X_1 + X_2 + \dots + X_n$

तो लें कि हमारे पास एक औसत दर्जे का स्थान है और हम कुछ घटनाओं की संभावना को परिभाषित करना चाहते हैं कुछ परिवार के संबंध में परस्पर बिल्कुल निरंतर संभावना उपायों । फिर या तो कोलमोगोरोव एक्सटेंशन प्रमेय या (मुझे लगता है कि दोनों काम), हम उत्पाद रिक्त स्थान का निर्माण कर सकते हैं , प्रत्येक लिए एक । (ध्यान दें कि अनंत उत्पाद स्थानों का अस्तित्व जो कोलमोगोरोव के प्रमेय का एक निष्कर्ष है, प्रत्येक स्थान के माप की आवश्यकता होती है , इसलिए मैं अब मनमाना, उपायों के बजाय संभावना को सीमित कर रहा हूं)। फिर परिभाषित करें $(X, \mathscr{F})$ $A \in \mathscr{F}$ $\{\mu_i\}_{i \in I}$ $\{(\prod_{j=1}^{\infty} X_j)_i\}_{i \in I}$ $\mu_i$ $1$ $\mathbb{1}_{A_j}$ सूचक यादृच्छिक चर, अर्थात जो बराबर होती है होना करने के लिए अगर में होता है वें कॉपी और यदि ऐसा नहीं होता है, दूसरे शब्दों मेंफिर स्पष्ट रूप से (जहाँ संबंध में अपेक्षा को दर्शाता है ), इसलिए बड़ी संख्या का मजबूत कानून वास्तव में होगा पर लागू होते हैं (क्योंकि निर्माण के द्वारा $1$ $A$ $j$ $0$

n_{ए} = 1_{ए_{1}} + 1_{ए_{2}} + \dots + 1_{ए_{n}} ।

$n_A = \mathbb{1}_{A_1} + \mathbb{1}_{A_2} + \dots + \mathbb{1}_{A_n}.$

0 \leq E_{i} 1_{A_{j}} \leq 1

$0 \le \mathbb{E}_i \mathbb{1}_{A_j} \le 1$

E_{i}

$\mathbb{E}_i$

μ_{i}

$\mu_i$

(\prod_{j = 1}^{\infty} X_{j})_{i}

$(\prod_{j=1}^{\infty} X_j)_i$

1_{A_{j}}

$\mathbb{1}_{A_j}$ समान रूप से वितरित और स्वतंत्र रूप से वितरित - ध्यान दें कि स्वतंत्र रूप से वितरित होने का मतलब है कि उत्पाद स्थान का माप समन्वय उपायों के संबंध में गुणक है) इसलिए हमें उस और इस प्रकार संबंध में की संभावना के लिए हमारी परिभाषा स्वाभाविक रूप से होनी चाहिए ।

\frac{n_{ए}}{n} \to इ_{मैं} 1_{ए_{1}} ए । रों ।

$\frac{n_A}{n} \to \mathbb{E}_i \mathbb{1}_{A_1} \quad a.s.$

A

$A$

μ_{i}

$\mu_i$

E_{1} 1_{A}

$\mathbb{E}_1 \mathbb{1}_{A}$

मुझे सिर्फ इतना एहसास हुआ कि भले ही यादृच्छिक चर का क्रम लगभग निश्चित रूप से संबंध में होगा, अगर और केवल अगर यह लगभग निश्चित रूप से , ( जहाँ ) का मतलब यह नहीं है कि यह समान मूल्य में परिवर्तित होगा ; वास्तव में, SLLN गारंटी देता है कि यह तब तक नहीं होगा जब तक कि जो कि सत्य नहीं है। $\frac{n_A}{n}$ $\mu_{i_1}$ $\mu_{i_2}$ $i_1, i_2 \in I$ $\mathbb{E}_{i_1} \mathbb{1}_A = \mathbb{E}_{i_2} \mathbb{1}_A$

अगर " किसी तरह" विहित पर्याप्त है ", एक परिमित सेट के लिए समान वितरण की तरह कहें, तो शायद यह अच्छी तरह से काम करता है, लेकिन वास्तव में कोई नई जानकारी नहीं देता है। विशेष रूप से, समान वितरण के लिए, , यानी की संभावना में अंक या प्राथमिक घटनाओं की सिर्फ अनुपात है जो से संबंधित हैं , जो फिर से मुझे कुछ गोलाकार लगता है। एक सतत यादृच्छिक चर के लिए, मैं यह नहीं देखता कि हम कभी भी " ” के "विहित" विकल्प पर कैसे सहमत हो सकते हैं । $\mu$ $\mathbb{E}\mathbb{1}_A = \frac{|A|}{|X|}$ $A$ $X$ $A$ $\mu$

यानी ऐसा लगता है कि यह किसी घटना की आवृत्ति को घटना की संभावना के रूप में परिभाषित करने के लिए समझ में आता है, लेकिन ऐसा नहीं लगता है कि यह घटना की संभावना को आवृत्ति (कम से कम परिपत्र होने के बिना) को परिभाषित करने के लिए समझ में आता है। यह विशेष रूप से समस्याग्रस्त है, क्योंकि वास्तविक जीवन में हम वास्तव में नहीं जानते हैं कि संभावना क्या है; हमें इसका अनुमान लगाना होगा।

यह भी ध्यान दें कि एक औसत दर्जे का स्थान के सबसेट के लिए आवृत्ति की यह परिभाषा चुने हुए उपाय पर एक संभावना स्थान होने पर निर्भर करती है; उदाहरण के लिए, कोई भी उत्पाद माप नहीं है बाद से, , Lebesgue के उपाय की कई प्रतियों से संपन्न है । इसी प्रकार, विहित उत्पाद के माप का उपयोग करके का माप , जो या तो अनंत तक उड़ जाता है अगर या शून्य हो जाता है , अर्थात कोलमोगोरोव और तुलसी के विस्तार सिद्धांत बहुत ही विशेष परिणाम हैं जो प्रायिकता के उपायों के लिए हैं। $\mathbb{R}$ $\mu(\mathbb{R})=\infty$ $\prod_{j=1}^n X$ $(\mu(X))^n$ $\mu(X) >1$ $\mu(X) <1$

— Chill2Macht
स्रोत

अच्छे उत्तर के लिए धन्यवाद (+1)। मैं मानता हूं कि लंबे समय से चली आ रही सापेक्ष आवृत्ति के संदर्भ में परिभाषा के साथ '' समस्याएं '' हैं, शायद यही एक कारण था कि कोलमोगोरोव ने अपनी ग्रुंडबीग्रिफ का विकास किया। हालाँकि जब हम बारंबारता के बारे में बोलते हैं तो हमें कोलमोगोरोव के सिद्धांत से पहले खुद को समय सीमा में रखना होगा?

@ एफकॉप मुझे लगता है कि मुझे ईमानदारी से पता नहीं है। मुझे लगता है कि मैं जो कहने की कोशिश कर रहा हूं वह यह है कि मैं यह नहीं देखता कि प्रायिकता की लगातार समझ के लिए कोई कठोर औचित्य कैसे उपयोगी / गैर-परिपत्र परिभाषा को जन्म दे सकता है।

— Chill2Macht

@fcop मैं वास्तव में उदार इनाम की सराहना करता हूं - मैं इसे प्राप्त करने से पहले आज वास्तव में काफी खराब मूड में था। यह ईमानदारी से मुझे कुछ हद तक (अच्छे तरीके से) फ़्लॉयर किया है। फिर, मैं वास्तव में इसकी सराहना करता हूं

— Chill2Macht

इसका उल्लेख न करें, आपका जवाब बहुत अच्छी तरह से विकसित और गणितीय रूप से ध्वनि है।

मुझे नहीं लगता कि कोई गणितीय परिभाषा है, नहीं। संभाव्यता की विभिन्न व्याख्याओं के बीच का अंतर इस बात का अंतर नहीं है कि संभाव्यता को गणितीय रूप से कैसे परिभाषित किया जाता है। संभावना को गणितीय रूप से इस तरह परिभाषित किया जा सकता है: यदि , साथ एक माप स्थान है , तो किसी भी घटना की संभावना सिर्फ । मुझे आशा है कि आप इस बात से सहमत हैं कि यह परिभाषा ऐसे प्रश्नों के प्रति उदासीन है, जैसे कि हमें एक अक्सरवादी या बेइज़ियन फैशन में संभावनाओं की व्याख्या करनी चाहिए। $(Ω, Σ, μ)$ $μ(Ω) = 1$ $S ∈ Σ$ $μ(S)$

— Kodiologist
स्रोत

यह ठीक है लेकिन कोलम्बोगोरोव के स्वयंसिद्ध शब्दों को पूरा करने वाले रूप में संभावना की यह परिभाषा बहुत सार है, इसे विशिष्ट मामलों में परिभाषित करने की आवश्यकता है। यह उसी तरह है जैसे 'एक वृत्त बिंदुओं का समूह है जो एक निश्चित बिंदु से कुछ दूरी पर है'। इसका कोई मतलब नहीं है जब तक आप यह नहीं कहते हैं कि आप किस मीट्रिक स्थान पर हैं: आपको यह कहना चाहिए कि '' दूरी '' की परिभाषा क्या है। मुझे लगता है कि एक लंबे समय तक चलने वाली आवृत्ति के रूप में को परिभाषित करना कोलमोगोरोव के स्वयंसिद्ध को पूरा करता है, आपको क्या लगता है? PS @Silverfish की टिप्पणी में रक्षा भी इन स्वयंसिद्धों को पूरा करती है।

μ

$\mu$

P

$\mathbb{P}$

(जारी) तो संक्षेप में, मैं परिभाषित कर सकता हूं ( परिभाषित करना सही शब्द है), कई जो कोलमोगोरोव के स्वयंसिद्ध को पूरा करते हैं और ये सभी स्वयंसिद्ध सिद्धांत के अनुसार सभी वैध संभावनाएं हैं।

μ

$\mu$

तर्कपूर्ण रूप से, कोलमोगोरोव की प्रणाली एक स्वयंसिद्ध आधार प्रदान करती है - जो एक अतिवादी या बायोसियन व्याख्या की आवश्यकता नहीं है। बार-बार देखने वाले की भावना में, मूल विचार यह है कि जैसे-जैसे परीक्षणों की संख्या ity नाइटी में बढ़ती है, अनुभवजन्य आवृत्ति चारों ओर स्थिर हो जाती है, या कुछ मूल्य में परिवर्तित हो जाती है; घटना की संभावना। हालांकि आवृत्ति दृष्टिकोण शास्त्रीय दृष्टिकोण में सुधार करता है, कठोरता की कमी स्वयंसिद्ध नींव की ओर जाता है। क्या यह संभावना सिद्धांत के इतिहास के बारे में अधिक प्रश्न है?

lim_{n \to \infty} (n_{A} / n) = P_{A} = P (A) .

$\lim_{n\rightarrow \infty} \left(n_{A}/ n\right) = P_A = P(A).$

— ग्रीम वाल्श

@ ग्रेमी वॉल्श: क्या आप इसे एक उत्तर में रख सकते हैं, और इसे तर्कों के साथ पूरा कर सकते हैं कि की ऐसी परिभाषा कोलमोगोरोव के स्वयंसिद्ध शब्दों के अनुरूप क्यों है ? (बेशक कोई सीमा के अस्तित्व पर सवाल उठा सकता है, लेकिन फिर हम कह सकते हैं कि

P (A)

$P(A)$

@fcop जैसा कि वाल्श नोट करते हैं, यह "परिभाषा" कठोर नहीं है।

— कोडियालॉजिस्ट