एकाधिक अपेक्षाओं की गणना करते समय ड्रॉ को कैसे फैलाना है

Question

मान लें कि हम कुछ अपेक्षा की गणना करना चाहते हैं:

$$E_YE_{X|Y}[f(X,Y)]$$

मान लीजिए कि हम मोंटे कार्लो सिमुलेशन का उपयोग करके इसे अनुमानित करना चाहते हैं।

$$E_YE_{X|Y}[f(X,Y)] \approx \frac1{RS}\sum_{r=1}^R\sum_{s=1}^Sf(x^{r,s},y^r)$$

लेकिन मान लीजिए कि दोनों वितरणों से नमूने खींचना महंगा है, ताकि हम केवल एक निश्चित संख्या आकर्षित कर सकें । $K$

हमें कैसे आवंटित करना चाहिए ? उदाहरणों में प्रत्येक वितरण के लिए ड्रॉ शामिल हैं, या चरम में, बाहरी में एक ड्रा और आंतरिक में ड्रॉ, इसके विपरीत आदि .....$K$$K/2$$K-1$

मेरा अंतर्ज्ञान मुझे बताता है कि यह एक दूसरे के सापेक्ष वितरण के विचरण / प्रवेश के साथ करना होगा। मान लीजिए कि बाहरी एक द्रव्यमान बिंदु है, तो का विभाजन जो MC त्रुटि को कम करता है वह का और का आकर्षित करेगा । $K$$Y$$K-1$$X|Y$

उम्मीद है कि यह स्पष्ट था।

Comments

यह आपके लिए निश्चित है

— wolfsatthedoor

"इसके विपरीत" और @ शीआन के जवाब के लिए आपकी टिप्पणी से लगता है कि आप बाहरी चर की तुलना में बाहरी चर को खींचना संभव मानते हैं, लेकिन यह कैसे समझ में आ सकता है - सभी बाहरी नहीं हैं जिसके लिए inners बर्बाद कर रहे हैं? $0$

— जुहो कोक्कल

उचित पर्याप्त, बाहरी प्रति न्यूनतम एक ड्रा मुझे लगता है। या आप इसे सोच सकते हैं कि मैं जो ड्रॉ

— बचाऊं

@robertevansanders कृपया पुष्टि करें कि क्या Xi'ans जवाब के पहले दो वाक्यों में अपने प्रश्न की व्याख्या सही है

— Juho Kokkala

जैसा आपने कहा, हाँ, लेकिन y और x

— wolfsatthedoor

Answer 1

यह मोंटे कार्लो साहित्य में थोड़ा प्रलेखन के साथ स्तरीकरण और राव-ब्लैकवेलिस के संबंध में एक बहुत ही दिलचस्प सवाल है । यह संभवतः इस तथ्य के कारण है कि अपेक्षित सशर्त विचरण और सशर्त अपेक्षा के विचरण की गणना शायद ही संभव है।

पहले, मान लें कि आप सिमुलेशन को , और प्रत्येक सिम्युलेटेड , आप , से सिमुलेशन चलाते हैं। । आपका मोंटे कार्लो अनुमान तो है इस अनुमान का विचलन निम्नानुसार विघटित है $R$$\pi_X$$x_1,\ldots,x_R$$x_r$$S$$\pi_{Y|X=x_r}$$y_{1r},\ldots,y_{sr}$

$$\delta(R,S)=\frac{1}{RS}\sum_{r=1}^R\sum_{s=1}^S f(x_r,y_{rs})$$ $$\begin{align*} \text{var} \{\delta(R,S)\} &= \frac{1}{R^2S^2} R\text{var} \left\{\sum_{s=1}^S f(x_r,y_{rs})\right\}\\ &= \frac{1}{RS^2} \text{var}_X\mathbb{E}_{Y|X}\left\{\sum_{s=1}^S f(x_r,y_{rs})\big|x_r\right\}+\frac{1}{RS^2}\mathbb{E}_{X}\text{var}_{Y|X} \left\{\sum_{s=1}^S f(x_r,y_{rs})\big|x_r\right\}\\ &=\frac{1}{RS^2} \text{var}_X\{ S \mathbb{E}_{Y|X}[f(x_r,Y)|x_r]\}+ \frac{1}{RS^2} \mathbb{E}_{X}[S\text{var}_{Y|X}\{f(x_r,Y)|x_r\}]\\ &=\frac{1}{R} \text{var}_X\{\mathbb{E}_{Y|X}[f(x_r,Y)|x_r]\}+ \frac{1}{RS} \mathbb{E}_{X}[\text{var}_{Y|X}\{f(x_r,Y)|x_r\}]\\ &\stackrel{K=RS}{=}\frac{1}{R}\text{var}_X\{\mathbb{E}_{Y|X}[f(x_r,Y)|x_r]\}+ \frac{1}{K} \mathbb{E}_{X}[\text{var}_{Y|X}\{f(x_r,Y)|x_r\}] \end{align*}$$ इसलिए यदि कोई इस भिन्नता को कम करना चाहता है तो इष्टतम विकल्प$R=K$। इसके विपरीत कि । सिवाय जब पहला विचरण शब्द शून्य है, तो किस मामले में यह मायने नहीं रखता है। हालाँकि, जैसा कि टिप्पणियों में चर्चा की गई है, धारणा अवास्तविक है क्योंकि यह एक के उत्पादन के लिए [या मानता है कि यह मुफ्त में आता है]।$S=1$$K=RS$$x_r$

अब हम अलग-अलग सिमुलेशन लागत और बजट बाधा , जिसका अर्थ है कि का की तुलना में अनुकरण करने में कई गुना अधिक खर्च होता । विचरण का उपरोक्त अपघटन तब जिसे कम किया जा सकता है रूप में [निकटतम सीमा के अन्दर पूर्णांक और ], सिवाय इसके कि जब पहला विचरण शून्य के बराबर हो, तो किस स्थिति में$R+aRS=b$$y_{rs}$$a$$x_r$

$$\frac{1}{R}\text{var}_X\{\mathbb{E}_{Y|X}[f(x_r,Y)|x_r]\}+ \frac{1}{R(b-R)/aR} \mathbb{E}_{X}[\text{var}_{Y|X}\{f(x_r,Y)|x_r\}]$$ $R$ $$R^*=b\big/1+\{a\mathbb{E}_{X}[\text{var}_{Y|X}\{f(x_r,Y)|x_r\}/\text{var}_X\{\mathbb{E}_{Y|X}[f(x_r,Y)|x_r]\}\}^{1/2}$$ $R\ge 1$$S\ge 1$$R=1$ । जब , न्यूनतम विचरण अधिकतम मेल खाता है , जिसके कारण होता है वर्तमान औपचारिकता में ।$\mathbb{E}_{X}[\text{var}_{Y|X}\{f(x_r,Y)|x_r\}]=0$$R$$S=1$

यह भी ध्यान दें कि इस समाधान की तुलना सममित समाधान के साथ की जानी चाहिए जब आंतरिक इंटीग्रल दिए गए और बाहरी इंटीग्रल में सीमांत के खिलाफ है (इस क्रम में सिमुलेशन भी संभव हैं)।$X$$Y$$Y$

प्रश्न के लिए एक दिलचस्प विस्तार प्रत्येक सिम्युलेटेड लिए सिमुलेशन की एक अलग संख्या पर विचार करना होगा , जो मूल्य पर निर्भर करता है। ।$S(x_r)$$x_r$$\text{var}_{Y|X}\{f(x_r,Y)|x_r\}$

Comments

अंतिम निष्कर्ष में, आप मान रहे हैं, लेकिन प्रश्न की सेटिंग में चूंकि बाहरी चर के ड्रा को भी गिना जाना चाहिए। यहां परिणाम यह कहता है कि यदि बाहरी चर का नमूना लेना नि: शुल्क था, तो निश्चित रूप से हर आंतरिक के लिए एक नया बाहरी नमूना होना चाहिए। (साथ ही, प्रश्न की तुलना में और की भूमिका को यहां बदल दिया गया है, लेकिन निश्चित रूप से इससे कोई फर्क नहीं पड़ता)। $K=RS$$K=RS+R$$x$$y$

— जुहो कोक्कला

हां, लेकिन हम का मान तय कर सकते हैं ... पतित सेटिंग पर विचार करें जहां बाहरी संस्करण स्थिर है। निरंतर बार और बार (जो का अर्थ होगा) के बजाय स्थिर और बार का नमूना लेना बेहतर है ? या मैं इस प्रश्न को पूरी तरह से गलत समझ रहा हूं? (मैं केवल अब आपकी टिप्पणी का दूसरा वाक्य पढ़ता हूं - क्या इस सवाल में कहा गया अनुमान नहीं है कि उनकी लागत समान है)$R$$X$$Y$ $K-1$$K/2$$Y$ $K/2$$S=1$

— जुहो कोक्कल

@ शीआन हां कोलकाता सही है, आपका समाधान आम तौर पर नहीं हो सकता। अब मान लीजिए कि आंतरिक चर का एक पतित वितरण है और बाहरी का सार्थक विचरण है, तो आप संभव के रूप में कुछ आंतरिक

— आरेखों

मुझे लगता है कि आपका उत्तर सही नहीं हो सकता। मान लें कि अंदर वितरण पतित है और बाहर बड़ा विचरण है, तो S 1 कैसे हो सकता है

— wolfsatthedoor

@robertevansanders: यदि आंतरिक वितरण पतित है, तो , इसलिए और हम निकटतम पूर्णांक को चुनते हैं। बाधाएं और , जिसका अर्थ है कि को लेना को समीप बनाने के लिए । $\text{var}_{Y|X}\{f(x_r,Y)|x_r\}=0$$R^*=b$$R$$S\ge 1$$R(1+aS)\le b$$S=1$$R$$b$

— शीआन