दो आश्रित बहुभिन्नरूपी सामान्य यादृच्छिक चर का रैखिक संयोजन

मान लें कि हमारे पास यादृच्छिक चर के दो वैक्टर हैं, दोनों सामान्य हैं, अर्थात, और । हम उनके रैखिक संयोजन के वितरण में रुचि रखते हैं , जहां और मैट्रीस हैं, एक वेक्टर है। यदि और स्वतंत्र हैं, तो । प्रश्न आश्रित मामले में है, यह मानते हुए कि हम किसी भी जोड़ी के सहसंबंध को जानते हैं । धन्यवाद। $X \sim N(\mu_X, \Sigma_X)$ $Y \sim N(\mu_Y, \Sigma_Y)$ $Z = A X + B Y + C$ $A$ $B$ $C$ $X$ $Y$ $Z \sim N(A \mu_X + B \mu_Y + C, A \Sigma_X A^T + B \Sigma_Y B^T)$ $(X_i, Y_i)$

शुभकामनाएं, इवान

probability normal-distribution multinomial

— इवान
स्रोत

जवाबों:

उस स्थिति में, आपको लिखना होगा (उम्मीद के साथ स्पष्ट संकेतन के साथ) ( संपादित: संयुक्त सामान्यता की मानकर ) फिर और यानी

(\begin{matrix} X \\ Y \end{matrix}) \sim N [(\begin{matrix} μ_{X} \\ μ_{Y} \end{matrix}), Σ_{X, Y}]

$\left(\begin{matrix}X\\Y \end{matrix}\right) \sim \mathcal{N}\left[ \left(\begin{matrix}\mu_X\\\mu_Y\end{matrix}\right), \Sigma_{X,Y} \right]$

(X, Y)

$(X,Y)$

A X + B Y = (\begin{matrix} A & B \end{matrix}) (\begin{matrix} X \\ Y \end{matrix})

$AX+BY=\left(\begin{matrix}A& B \end{matrix}\right) \left(\begin{matrix}X\\Y \end{matrix}\right)$

A X + B Y + C \sim N [(\begin{matrix} A & B \end{matrix}) (\begin{matrix} μ_{X} \\ μ_{Y} \end{matrix}) + C, (\begin{matrix} A & B \end{matrix}) Σ_{X, Y} (\begin{matrix} A^{T} \\ B^{T} \end{matrix})]

$AX+BY+C \sim \mathcal{N}\left[ \left(\begin{matrix}A& B \end{matrix}\right) \left(\begin{matrix}\mu_X\\\mu_Y\end{matrix}\right) + C, \left(\begin{matrix}A & B \end{matrix}\right)\Sigma_{X,Y} \left(\begin{matrix}A^T \\ B^T \end{matrix}\right)\right]$

A X + B Y + C \sim N [A μ_{X} + B μ_{Y} + C, A Σ_{X X} A^{T} + B Σ_{X Y}^{T} A^{T} + A Σ_{X Y} B^{T} + B Σ_{Y Y} B^{T}]

$AX+BY+C \sim \mathcal{N}\left[A\mu_X + B\mu_Y +C, A\Sigma_{XX}A^T+B\Sigma_{XY}^TA^T+A\Sigma_{XY}B^T+B\Sigma_{YY}B^T \right]$

— शीआन
स्रोत

यदि यह अनदेखा है, तो कृपया ध्यान दें कि टिप्पणी का उत्तर किसी अन्य उत्तर को इंगित करता है (ए) ये सहसंयोजक गणना ठीक हैं (यह समझते हुए कि वे एक प्राकृतिक लेकिन अस्थिर ब्लॉक मैट्रिक्स संकेतन को शामिल करते हैं) लेकिन (ख) हम वैध रूप से यह निष्कर्ष नहीं निकाल सकते हैं कि रैखिक संयोजन सामान्य रूप से हैं वितरित जब तक हम एक अतिरिक्त धारणा बनाते हैं; अर्थात्, और का संयुक्त बहुभिन्नरूपी सामान्य वितरण है।

X

$X$

Y

$Y$

— whuber

क्या आप बता सकते हैं कि आपको से अंतिम पंक्ति में कैसे मिला? मैंने सोचा होगा कि और परिणाम आगे सरल नहीं है। यहाँ है नहीं एक सममित मैट्रिक्स इसके बाद से मई के तत्व है जबकि इसके मई के तत्व है , और कोई कारण नहीं है कि ये सहसंयोजक समान होने चाहिए।

B Σ_{X Y}^{T} A^{T} + A Σ_{X Y} B^{T}

$B\Sigma_{XY}^TA^T+A\Sigma_{XY}B^T$

2 A Σ_{X Y} B^{T}

$2A\Sigma_{XY}B^T$

B Σ_{X Y}^{T} A^{T} + A Σ_{X Y} B^{T} = (A Σ_{X Y} B^{T})^{T} + A Σ_{X Y} B^{T}

$B\Sigma_{XY}^TA^T+A\Sigma_{XY}B^T = (A\Sigma_{XY}B^T)^T + A\Sigma_{XY}B^T$

Σ_{X Y}

$\Sigma_{XY}$

(i, j)

$(i,j)$

cov (X_{i}, Y_{j})

$\text{cov}(X_i,Y_j)$

(j, i)

$(j,i)$

cov (X_{j}, Y_{i})

$\text{cov}(X_j,Y_i)$

— दिलीप सरवटे

@DilipSarwate: (+1) आप सही हैं, सामान्य स्थिति में, इन दो शब्दों के बराबर होने का कोई कारण नहीं है।

— शीआन

आपके प्रश्न का एक अनूठा उत्तर नहीं है जैसा कि वर्तमान में प्रस्तुत किया गया है जब तक कि आप यह नहीं मानते हैं कि और संयुक्त रूप से सामान्य रूप से टॉप राइट ब्लॉक साथ वितरित किए जाते हैं । मुझे लगता है कि आपका यह मतलब है क्योंकि आप कहते हैं कि आपके पास एक्स और वाई के बीच प्रत्येक सहसंयोजक है। इस मामले में हम लिख सकते हैं जो कि बहुभिन्नरूपी सामान्य भी है। तब को संदर्भ में दिया गया है : $X$ $Y$ $\Sigma_{XY}$ $W=(X^T,Y^T)^T$ $Z$ $W$

Z = (A, B) W + C

$Z=(A,B)W+C$

फिर आप रैखिक संयोजन के लिए अपने सामान्य सूत्र का उपयोग करते हैं। ध्यान दें कि इसका मतलब अपरिवर्तित है लेकिन सहसंयोजक मैट्रिक्स में दो अतिरिक्त शब्द हैं $A\Sigma_{XY}B^T+B\Sigma_{XY}^TA^T$

— probabilityislogic
स्रोत

इस मुद्दे को इंगित करने के लिए धन्यवाद, वास्तव में, मैंने इसके बारे में सोचा भी नहीं था, लेकिन ऐसा लगता है कि चर वास्तव में देखे जा सकते हैं, मेरे मामले में, जैसा कि सामान्य रूप से वितरित किया जाता है, भले ही उनके घटक सहसंबद्ध हों।

— इवान

मैं सहमत हूं कि प्रश्न को हल के रूप में हल नहीं किया जा सकता है। इसे सीधे तरीके से हल किया जा सकता है यदि कोई मानता है, जैसा @ शीआन का जवाब है, कि और संयुक्त रूप से सामान्य रूप से वितरित किए जाते हैं। यह संकलित हो सकता है, संभवतः अधिक कठिनाई के साथ, यदि संयुक्त वितरण को सामान्य के अलावा कुछ और के रूप में निर्दिष्ट किया गया था। लेकिन अभी यह जानकर सभी के लिए , मतलब नहीं है कि करता है मल्टीवेरिएट सामान्य है । परिमित भिन्नताओं वाले किसी भी दो यादृच्छिक चर में एक सहसंयोजक होता है। कोवरियन केवल सामान्य या संयुक्त रूप से सामान्य यादृच्छिक चर के लिए परिभाषित नहीं है ।

X

$X$

Y

$Y$

cov (X_{i}, Y_{j})

$\text{cov}(X_i,Y_j)$

i, j

$i, j$ $W = (X^T,Y^T)^T$

— दिलीप सरवटे

मेरे मामले में, एक्स और वाई संयुक्त रूप से सामान्य हैं, मैं यह समझाने की कोशिश करूंगा कि अगर मैं गलत हूं तो कृपया मुझे सुधारें। मान लीजिए कि स्वतंत्र अविभाज्य सामान्य आरवी का एक सेट है। X और Y का प्रत्येक तत्व सेट से इन यूनिवर्स वेरिएबल्स का एक मनमाना रैखिक संयोजन है। इसलिए, चूंकि प्रारंभिक चर स्वतंत्र हैं और केवल रैखिक परिवर्तन शामिल हैं, जिसके परिणामस्वरूप वैक्टर एक्स, वाई, और जेड सभी बहुभिन्नरूपी सामान्य आरवी हैं। यह एक मल्टीवेरिएट सामान्य आर.वी., जहां की परिभाषा इस प्रकार किसी भी वेक्टर के लिए एक univariate सामान्य आर.वी. होना चाहिए । क्या इस का कोई मतलब निकलता है?

a^{T} X

$a^T X$

a

$a$

— इवान

@ इवान आपकी व्याख्या समझ में आता है, लेकिन शिकायत बयान के बारे में है "मान लीजिए कि हमारे पास यादृच्छिक चर के दो वैक्टर हैं, दोनों सामान्य हैं, अर्थात, और "जो मतलब यह नहीं है कि और हैं संयुक्त रूप से सामान्य । न ही कह रही है कि "हम किसी भी जोड़ी के सहसंबंध जानती है मतलब है कि" और हैं संयुक्त रूप से सामान्य भले ही, जैसा कि आप सही ढंग से राज्य, का तात्पर्य है कि सामान्य है (और इसी तरह ।) सामान्यता का अविरोध करें

X \sim N (μ_{X}, Σ_{X})

$X\sim N(\mu_X,\Sigma_X)$

Y \sim N (μ_{Y}, Σ_{Y})

$Y\sim N(\mu_Y,\Sigma_Y)$

X

$X$

Y

$Y$

(X_{i}, Y_{i})

$(X_i,Y_i)$

X_{i}

$X_i$

Y_{i}

$Y_i$

X \sim N (μ_{X}, Σ_{X})

$X\sim N(\mu_X,\Sigma_X)$

X_{i}

$X_i$

Y_{i}

$Y_i$ संयुक्त सामान्यता का अर्थ नहीं है। नीचे संदर्भ देखें।

— दिलीप सरवटे

@ इवान इस सवाल के

— दिलीप सरवटे