प्रायिकता बनाम लगभग सुनिश्चित अभिसरण में रूपांतरण

Question

मैंने वास्तव में अभिसरण के इन दो उपायों के बीच के अंतर को कभी नहीं टटोला है। (या, वास्तव में, विभिन्न प्रकार के अभिसरण, लेकिन मैं इन दोनों का उल्लेख विशेष रूप से बड़ी संख्या के कमजोर और मजबूत कानूनों के कारण करता हूं।)

ज़रूर, मैं प्रत्येक की परिभाषा को उद्धृत कर सकता हूं और एक उदाहरण दे सकता हूं जहां वे भिन्न हैं, लेकिन मैं अभी भी इसे प्राप्त नहीं करता हूं।

अंतर समझने का एक अच्छा तरीका क्या है? अंतर महत्वपूर्ण क्यों है? क्या कोई विशेष रूप से यादगार उदाहरण है जहां वे भिन्न हैं?

Comments

इसका भी जवाब: आंकड़े.stackexchange.com/questions/72859/…

— kjetil b halvorsen

संभावित डुप्लिकेट क्या एक सांख्यिकीय अनुप्रयोग है जिसमें मजबूत स्थिरता की आवश्यकता होती है?

— kjetil b halvorsen 10

Answer 1

मेरे दृष्टिकोण से अंतर महत्वपूर्ण है, लेकिन मोटे तौर पर दार्शनिक कारणों से। मान लें कि आपके पास कुछ उपकरण हैं, जो समय के साथ बेहतर होते जाते हैं। इसलिए, हर बार जब आप डिवाइस का उपयोग करते हैं, तो इसके विफल होने की संभावना पहले की तुलना में कम होती है।

संभाव्यता में अभिसरण कहते हैं कि विफलता की संभावना शून्य हो जाती है क्योंकि उपयोग की संख्या अनंत तक जाती है। इसलिए, डिवाइस को बड़ी संख्या में उपयोग करने के बाद, आप इसे सही तरीके से काम करने के लिए बहुत आश्वस्त हो सकते हैं, यह अभी भी विफल हो सकता है, यह सिर्फ बहुत संभावना नहीं है।

अभिसरण लगभग निश्चित रूप से थोड़ा मजबूत है। यह कहता है कि विफलताओं की कुल संख्या परिमित है । यही है, यदि आप असफलताओं की संख्या को गिनते हैं क्योंकि हमारे लिए संख्या की अनंतता चली जाती है, तो आपको एक परिमित संख्या मिल जाएगी। इसका प्रभाव इस प्रकार है: जैसा कि आप डिवाइस का अधिक से अधिक उपयोग करते हैं, आप कुछ परिमित संख्याओं के बाद, कुछ विफलताओं को समाप्त करेंगे। तब से डिवाइस पूरी तरह से काम करेगा ।

जैसा कि श्रीकांत बताते हैं, आप वास्तव में नहीं जानते हैं कि आपने सभी विफलताओं को समाप्त कर दिया है, इसलिए विशुद्ध रूप से व्यावहारिक दृष्टिकोण से, अभिसरण के दो तरीकों में बहुत अंतर नहीं है।

हालांकि, व्यक्तिगत रूप से मुझे बहुत खुशी है कि, उदाहरण के लिए, बड़ी संख्या में मजबूत कानून मौजूद हैं, बस कमजोर कानून के विपरीत। क्योंकि अब, प्रकाश की गति को प्राप्त करने, कहने के लिए एक वैज्ञानिक प्रयोग, औसत लेने में उचित है। कम से कम सिद्धांत में, पर्याप्त डेटा प्राप्त करने के बाद, आप मनमाने ढंग से प्रकाश की वास्तविक गति के करीब पहुंच सकते हैं। औसत प्रक्रिया में कोई असफलता (हालांकि असंभव) नहीं होगी।

$\delta > 0$$n$$X_1,X_2,\dots,X_n$$\mu$

$$S_n = \frac{1}{n}\sum_{k=1}^n X_k.$$ $n$$S_n$$n = 1,2,\dots$$X_n$ $$P(|S_n - \mu| > \delta) \rightarrow 0$$ $n$$\infty$$|S_n - \mu|$$\delta$$I(|S_n - \mu| > \delta)$$|S_n - \mu| > \delta$ $$\sum_{n=1}^{\infty}I(|S_n - \mu| > \delta)$$ $S_n$$n_0$$|S_n - \mu| < \delta$$n > n_0$$n > n_0$

Comments

धन्यवाद, मुझे अनंत श्रृंखला के अभिसरण के दृष्टिकोण पसंद हैं!

— राएगेटिन

मुझे लगता है कि आप गिनती करने योग्य थे और जरूरी नहीं कि मैं परिमित हूं, क्या मैं गलत हूं? या मैं अभिन्न के साथ मिश्रण कर रहा हूँ।

— रॉय

अधिक सटीक होने के लिए, घटनाओं का सेट ऐसा होता है (या नहीं) शून्य की माप के साथ -> शून्य होने की संभावना।

— रॉय

$n_0$$n_0$

Answer 2

मैं इस सवाल पहले से ही उत्तर गया है (और काफी अच्छी तरह से, मेरे विचार में) पता है, लेकिन एक अलग सवाल ही नहीं था यहाँ जो था एक टिप्पणी @NRH कि चित्रमय विवरण का उल्लेख किया और के बजाय चित्रों डाल वहाँ यह करने के लिए अधिक उपयुक्त प्रतीत होता है उन्हें यहाँ रखो।

तो, यहाँ जाता है। यह एक आर पैकेज के रूप में अच्छा नहीं है। लेकिन यह स्व-निहित है और इसे JSTOR की सदस्यता की आवश्यकता नहीं है।

$X_{i}= \pm 1$

$$\frac{S_{n}}{n} = \frac{1}{n}\sum_{i = 1}^{n}X_{i},\quad n=1,2,\ldots.$$

SLLN (लगभग निश्चित रूप से अभिसरण) कहता है कि हम 100% सुनिश्चित हो सकते हैं कि दाहिनी ओर फैला यह वक्र अंततः कुछ परिमित समय पर पूरी तरह से बैंड के भीतर हमेशा के लिए (दाईं ओर) गिर जाएगा।

इस ग्राफ को उत्पन्न करने के लिए उपयोग किया जाने वाला R कोड नीचे है (प्लॉट लेबल संक्षिप्तता के लिए छोड़ा गया है)।

n <- 1000;  m <- 50; e <- 0.05
s <- cumsum(2*(rbinom(n, size=1, prob=0.5) - 0.5))
plot(s/seq.int(n), type = "l", ylim = c(-0.4, 0.4))
abline(h = c(-e,e), lty = 2)

---

$n$

ग्राफ के लिए आर कोड इस प्रकार है (फिर से, लंघन लेबल)।

x <- matrix(2*(rbinom(n*m, size=1, prob=0.5) - 0.5), ncol = m)
y <- apply(x, 2, function(z) cumsum(z)/seq_along(z))
matplot(y, type = "l", ylim = c(-0.4,0.4))
abline(h = c(-e,e), lty = 2, lwd = 2)

Answer 3

मैं इसे इस प्रकार समझता हूं,

संभाव्यता में परिवर्तन

यादृच्छिक चर का अनुक्रम लक्ष्य मान के बराबर होने की संभावना असमान रूप से घट रही है और 0 तक पहुंचती है, लेकिन वास्तव में कभी भी 0 प्राप्त नहीं होती है।

लगभग निश्चित रूप से परिवर्तित

यादृच्छिक चर का अनुक्रम लक्ष्य मान को समान रूप से बराबर करेगा लेकिन आप अनुमान नहीं लगा सकते कि यह किस बिंदु पर होगा।

$\equiv$

विकि दोनों के कुछ उदाहरण जो (समस्या में अभिसरण के संदर्भ और लगभग यकीन है कि अभिसरण के संदर्भ में दान के उदाहरण में आर्चर के उदाहरण देखने के विशेष रूप से) के ऊपर स्पष्ट की मदद करनी चाहिए है।

एक व्यावहारिक दृष्टिकोण से, संभाव्यता में अभिसरण पर्याप्त है क्योंकि हम विशेष रूप से बहुत अप्रत्याशित घटनाओं की परवाह नहीं करते हैं। एक उदाहरण के रूप में, एक अनुमानक की संगति अनिवार्य रूप से संभाव्यता में अभिसरण है। इस प्रकार, एक सुसंगत अनुमान का उपयोग करते समय, हम इस तथ्य को स्पष्ट रूप से स्वीकार करते हैं कि बड़े नमूनों में बहुत कम संभावना है कि हमारा अनुमान सही मूल्य से बहुत दूर है। हम संभाव्यता में अभिसरण के इस 'दोष' के साथ रहते हैं जैसा कि हम जानते हैं कि अस्मितात्मक रूप से अनुमानक की सत्यता से दूर होने की संभावना लुप्त होती है।

Comments

प्रयास किए गए संपादक का तर्क है कि इसे पढ़ना चाहिए, "संभावना है कि यादृच्छिक चर का अनुक्रम लक्ष्य मान के बराबर नहीं है ..."।

— गुंग

"संभावना है कि यादृच्छिक चर का अनुक्रम लक्ष्य मान के बराबर होता है, समान रूप से घटता है और 0 तक पहुंचता है लेकिन वास्तव में कभी भी 0. प्राप्त नहीं करता है।" यह नहीं होना चाहिए मई वास्तव में कभी नहीं 0 प्राप्त करता है?

— ज्योतिष रॉबिन

@gung वह संभाव्यता जो इसे लक्ष्य मान दृष्टिकोण 1 के बराबर करती है या संभाव्यता यह लक्ष्य मानों के दृष्टिकोण के बराबर नहीं है। वर्तमान परिभाषा गलत है।

— अंडरस्टेनबो

Answer 4

यदि आप दृश्य स्पष्टीकरण का आनंद लेते हैं, तो इस विषय पर अमेरिकी सांख्यिकीविद् (नीचे उद्धृत) में एक अच्छा 'शिक्षक का कोना' लेख था। एक बोनस के रूप में, लेखकों ने सीखने की सुविधा के लिए एक आर पैकेज को शामिल किया ।

@article{lafaye09,
  title={Understanding Convergence Concepts: A Visual-Minded and Graphical Simulation-Based Approach},
  author={Lafaye de Micheaux, P. and Liquet, B.},
  journal={The American Statistician},
  volume={63},
  number={2},
  pages={173--178},
  year={2009},
  publisher={ASA}
}

Answer 5

यह आखिरी आदमी इसे बहुत अच्छी तरह से समझाता है। यदि आप यादृच्छिक चर Xn = 1 का अनुक्रम लेते हैं, तो प्रायिकता 1 / n और शून्य के साथ अन्यथा। यह देखना आसान है कि सीमा को शून्य करने की संभावना में यह परिवर्तित होता है, लेकिन लगभग निश्चित रूप से अभिसरण करने में विफल रहता है। जैसा कि उन्होंने कहा, संभावना यह ध्यान नहीं देती है कि हम सड़क से नीचे उतर सकते हैं। लगभग निश्चित रूप से करता है।

लगभग निश्चित रूप से संभावना में अभिसरण का अर्थ है, लेकिन याह के आसपास दूसरा तरीका नहीं है?

Comments

साइट में आपका स्वागत है, @ टिम-ब्राउन, हम यहां सवालों के जवाब देने में आपकी मदद की सराहना करते हैं। ध्यान देने वाली बात यह है कि उत्तरदाता के उपयोगकर्ता नाम से अन्य उत्तरों की पहचान करना सबसे अच्छा है, "यह आखिरी आदमी" बहुत प्रभावी नहीं होगा। उदाहरण के लिए, सूची को समय के साथ फिर से आदेश दिया जाएगा क्योंकि लोग मतदान करेंगे। आप हमारे FAQ को पढ़ना चाह सकते हैं ।

— गंग

Answer 6

एक चीज जिसने मुझे अंतर को समझने में मदद की वह है निम्नलिखित समानता

∀ ε > $P({\lim_{n\to\infty}|X_n-X|=0})=1 \Leftarrow \Rightarrow \lim_{n\to\infty}({\sup_{m>=n}|X_m-X|>\epsilon })=0$ $\forall \epsilon > 0$

तुलना स्टोकेस्टिक अभिसरण में:

∀ ε > $\lim_{n\to\infty}P(|X_n-X|>\epsilon) = 0$ $\forall \epsilon >0$

स्टोचस्टिक अभिसरण के साथ ऊपरी संतुलन के दाईं ओर की तुलना करते समय, अंतर स्पष्ट हो जाता है जो मुझे लगता है।