यादृच्छिक चर के एक सेट का न्यूनतम वितरण कैसे किया जाता है?

Question

यदि स्वतंत्र रूप से जाने वाले यादृच्छिक चर हैं, तो सामान्य रूप से के वितरण के बारे में क्या कहा जा सकता है ?$X_1, ..., X_n$$\min(X_1, ..., X_n)$

Answer 1

यदि X_i के cdf को F (x)$X_i$ द्वारा निरूपित किया जाता है , तो न्यूनतम का cdf 1- [1-F (x)] ^ n द्वारा दिया जाता है ।$F(x)$$1-[1-F(x)]^n$

Answer 2

यदि $X_i$ का CDF $F(x)$ द्वारा निरूपित किया जाता है , तो न्यूनतम का CDF $1-[1-F(x)]^n$ द्वारा दिया जाता है ।

रीजनिंग: $n$ रैंडम वेरिएबल्स को देखते हुए , प्रायिकता $P(Y\leq y) = P(\min(X_1\dots X_n)\leq y)$ का तात्पर्य है कि कम से कम एक $X_i$$y$ से छोटा है ।

संभावना है कि कम से कम एक $X_i$ , $y$ से छोटा है, एक शून्य के बराबर है कि सभी $X_i$$y$ से अधिक हैं , यानी $P(Y\leq y) = 1 - P(X_1 \gt y,\dots, X_n \gt y)$ ।

यदि की स्वतंत्र हैं हूबहू वितरित, तो संभावना है कि सभी से अधिक हैं है । इसलिए, मूल संभावना ।$X_i$$X_i$$y$$[1-F(y)]^n$$P(Y \leq y) = 1-[1-F(y)]^n$

उदाहरण : कहते हैं कि , फिर सहजता से प्रायिकता बराबर होनी चाहिए (क्योंकि न्यूनतम मान हमेशा से 1 से कम होगा) सभी के लिए )। इस स्थिति में इस प्रकार प्रायिकता हमेशा 1 होती है।$X_i \sim \text{Uniform} (0,1)$$\min(X_1\dots X_n)\leq 1$$0\leq X_i\leq 1$$i$$F(1)=1$

Comments

यह साइट संपादन के लिए मार्कडाउन सिंटैक्स का समर्थन करती है, और गणितीय अभिव्यक्तियों के लिए LATEX भी। अधिक जानकारी यहां से प्राप्त की जा सकती है: आंकड़े . stackexchange.com/editing-help ।

— CHL

तर्क प्रदान करने के लिए धन्यवाद। मुझे गैर-पहचान वाले वितरित चर के साथ एक समस्या थी, लेकिन न्यूनतम तर्क अभी भी अच्छी तरह से लागू किया गया :)

— माचू

Answer 3

रोब हंडमैन ने निश्चित एन के लिए आसान सटीक उत्तर दिया। यदि आप बड़े एन के लिए असममित व्यवहार में रुचि रखते हैं, तो इसे चरम मूल्य सिद्धांत के क्षेत्र में नियंत्रित किया जाता है । संभावित सीमित वितरणों का एक छोटा परिवार है; उदाहरण के लिए इस पुस्तक के पहले अध्यायों को देखें ।

Comments

मेरी राय है कि यह पुस्तक द एक्सट्रीम वैल्यू थ्योरी के बारे में किताब है

— रॉबिन जिरार्ड

Answer 4

मुझे लगता है कि उत्तर 1- (1-F (x)) ^ n विशेष मामलों में सही है। विशेष मामलों की स्थिति यह है कि आरवी का पीएफएफ, आरवी के डोमेन के लिए एक फॉर्मूला पर आधारित है। यदि उपर्युक्त सूत्र के डोमेन के विभिन्न हिस्सों में यह अलग है, तो वास्तविक सिमुलेशन परिणामों से थोड़ा विचलन होता है।

Comments

@gung मैं समझता हूं कि आप ऐसा क्यों करेंगे, लेकिन यह उत्तर प्रश्न के IID सेटिंग पर लागू नहीं होता है: इसलिए यह प्रश्न के लिए एक (सही और संभावित रूप से दिलचस्प) टिप्पणी के रूप में सामने आता है।

— whuber

यह आप पर निर्भर है, अगर आप इसे टिप्पणी में बदलना चाहते हैं, तो यह आपका कॉल है।

— गूँग - मोनिका