एक बहुस्तरीय मिश्रित प्रभाव मॉडल के लिए गणितीय समीकरण लिखना

सीवी प्रश्न

मैं मिश्रित प्रभावों वाले मॉडल का (ए) विस्तृत और संक्षिप्त गणितीय प्रतिनिधित्व देने की कोशिश कर रहा हूं। मैं lme4आर में पैकेज का उपयोग कर रहा हूं । मेरे मॉडल के लिए सही गणितीय प्रतिनिधित्व क्या है?

डेटा, विज्ञान प्रश्न और आर कोड

मेरे डेटा सेट में विभिन्न क्षेत्रों की प्रजातियाँ हैं। मैं परीक्षण कर रहा हूं कि क्या प्रजातियों की व्यापकता विलुप्त होने की ओर अग्रसर होती है (विलुप्तता अनिवार्य रूप से स्थायी नहीं है; इसे याद कर सकते हैं), या एक उपनिवेशवाद का पालन करना।

lmer(prevalence ~ time + time:type + (1 + time + type:time | reg) + (1 + time + type:time | reg:spp))

प्रसार एक क्षेत्र-वर्ष में प्रजातियों द्वारा का अनुपात है
समय एक सतत चर है जो समय को विलुप्त होने या उपनिवेशण का संकेत देता है; यह हमेशा सकारात्मक होता है
टाइप दो स्तरों वाला एक श्रेणीगत चर है। ये दो स्तर "-" और "+" हैं। जब प्रकार है -, यह एक उपनिवेश (डिफ़ॉल्ट स्तर) है। जब प्रकार + होता है, तो यह विलुप्त हो जाता है।
रेग , नौ स्तरों के साथ एक स्पष्ट चर रहा है क्षेत्र का संकेत
एसपीपी एक श्रेणीगत चर है; स्तरों की संख्या क्षेत्रों के बीच भिन्न होती है, और 48 स्तरों और 144 स्तरों के बीच भिन्न होती है।

शब्दों में: प्रतिक्रिया चर व्यापकता (व्याप्त समता का अनुपात) है। स्थिर प्रभाव में 1) और अवरोधन, 2) घटना से समय, और 3) घटना के समय और घटना के प्रकार (उपनिवेश या विलुप्त होने) के बीच की बातचीत शामिल है। इन 3 निश्चित प्रभावों में से प्रत्येक क्षेत्रों के बीच यादृच्छिक रूप से भिन्न होता है। एक क्षेत्र के भीतर, प्रत्येक प्रभाव प्रजातियों के बीच यादृच्छिक रूप से भिन्न होता है।

मैं यह पता लगाने की कोशिश कर रहा हूं कि मॉडल के लिए गणितीय समीकरण कैसे लिखें। मुझे लगता है कि मैं समझता हूं कि आर कोड में क्या चल रहा है (हालांकि, मुझे यकीन है कि मेरे पास कुछ ज्ञान अंतराल हैं, और उम्मीद है कि औपचारिक गणितीय अभिव्यक्ति लिखने से मेरी समझ में सुधार होगा)।

मैंने वेब के माध्यम से और इन मंचों के माध्यम से काफी खोज की है। मुझे उपयोगी जानकारी के टन मिले, यह सुनिश्चित करने के लिए (और शायद मैं इस प्रश्न को संपादित करने के लिए इनमें से कुछ को लिंक करूंगा)। हालाँकि, मैं आर-कोड के "रोज़ेटा स्टोन" को गणित में अनुवादित नहीं कर पाया (मैं कोड के साथ अधिक आरामदायक हूं) जो वास्तव में मुझे पुष्टि करने में मदद करेगा कि मुझे ये समीकरण सही मिले हैं। वास्तव में, मुझे पता है कि पहले से ही कुछ अंतराल हैं, लेकिन हम इसे प्राप्त करेंगे।

मेरा प्रयास

एक मिश्रित प्रभाव मॉडल का मूल रूप, मैट्रिक्स में संकेतन (मेरी समझ के लिए) है:

Y = X β + Z γ + ϵ

$Y = X \beta + Z \gamma + \epsilon$

X = [\begin{matrix} 1 & Δ t & Δ t_{+} \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ \\ 1 & Δ t_{n} & Δ t_{+, n} \end{matrix}]

$X = \begin{bmatrix} 1 & \Delta t & \Delta t_{+} \\ \vdots & \vdots & \vdots \\ 1 & \Delta t_n & \Delta t_{+,n} \end{bmatrix}$

β^{^{'}} = [\begin{matrix} β_{0} & β_{1} & β_{2} \end{matrix}]

$\beta^{'} = \begin{bmatrix} \beta_0 & \beta_1 & \beta_2 \end{bmatrix}$

Z = [\begin{matrix} 1 I (r_{1}) & Δ t I (r_{1}) & Δ t_{+} I (r_{1}) & \dots & 1 I (r_{9}) & Δ t I (r_{9}) & Δ t_{+} I (r_{9}) \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋱ & ⋮ & ⋮ & ⋮ \\ 1 I (r_{1, n}) & Δ t_{n} I (r_{1, n}) & Δ t_{+, n} I (r_{1, n}) & \dots & 1 I (r_{9, n}) & Δ t I (r_{9, n}) & Δ t_{+, n} I (r_{9, n}) \end{matrix}]

$Z = \begin{bmatrix} 1 I(r_1) & \Delta t I(r_1) & \Delta t_{+} I(r_1) & \dots & 1 I(r_9) & \Delta t I(r_9) & \Delta t_{+} I(r_9) \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots & \vdots \\ 1 I(r_{1,n}) & \Delta t_n I(r_{1,n}) & \Delta t_{+,n} I(r_{1,n}) & \dots & 1 I(r_{9,n}) & \Delta t I(r_{9,n}) & \Delta t_{+,n} I(r_{9,n}) \\ \end{bmatrix}$

γ^{^{'}} = [\begin{matrix} γ_{0, 1} & γ_{1, 1} & γ_{2, 1} & \dots & γ_{0, 9} & γ_{1, 9} & γ_{2, 9} \end{matrix}]

$\gamma^{'} = \begin{bmatrix} \gamma_{0,1} & \gamma_{1,1} &\gamma_{2,1} & \dots & \gamma_{0,9} & \gamma_{1,9} &\gamma_{2,9} \end{bmatrix}$

ϵ \sim N (0, Σ)

$\epsilon \sim \mathcal{N}(0,\Sigma)$

तय प्रभाव के लिए डिजाइन मैट्रिक्स है, उपनिवेशन के बाद समय (है), और विलुप्त होने के बाद समय है () $X$ $\Delta t$ time $\Delta t_{+}$ time:type
यादृच्छिक प्रभावों के लिए डिज़ाइन मैट्रिक्स है (स्तर 1?), I () संकेतक फ़ंक्शन दे रहा है 1 यदि नमूना निर्दिष्ट क्षेत्र और 0 से संबंधित है, तो आर नौ क्षेत्रों में से एक को इंगित करने के लिए अनुक्रमित है। $Z$
और पैरामीटर $\beta$ $\gamma$
त्रुटियाँ हैं; मैं पूरी तरह यकीन है कि कैसे समझाने के लिए नहीं कर रहा हूँ , हालांकि मैं इन विचरण में से एक का एहसास / सहप्रसरण मैट्रिक्स ढलानों और अवरोध, जैसे बीच सहप्रसरण व्यक्त करेंगे $\epsilon$ $\Sigma$

अब तक की बातों को सही मानें, तो इसका मतलब है कि मैं शीर्ष स्तर पर अच्छा हूं। हालांकि, मापदंडों पर प्रजातियों-विशिष्ट भिन्नता की व्याख्या करते हुए, जो प्रत्येक क्षेत्र के भीतर निहित है, मुझे और भी अधिक स्टंप किया।

लेकिन मैंने कुछ इस तरह की दरार ली कि शायद समझ में आए ...

$\gamma$ $\gamma$

- $U_{p,r}$ $r$ $p$ $b_{p,r}$ $S$ $\eta_{p,r}$

$\gamma_{p,r}$

γ_{0, आर} = {यू}_{0, आर} ख_{0, आर} + η_{0, आर}

$\gamma_{0,r} = U_{0,r} b_{0,r} + \eta_{0,r}$

γ_{0, आर} = [\begin{matrix} 1 मैं ({रों}_{1}) ... 1 मैं ({रों}_{एस}) \end{matrix}] + [\begin{matrix} ख_{0, 1} \\ ⋮ \\ ख_{0, एस} \end{matrix}] + η_{0, आर}

$\gamma_{0,r} = \begin{bmatrix} 1 I(s_1) \dots 1 I(s_S) \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} b_{0,1}\\ \vdots \\ b_{0,S} \end{bmatrix} + \eta_{0,r}$

γ_{1, आर} = {यू}_{1, आर} ख_{1, आर} + η_{1, आर}

$\gamma_{1,r} = U_{1,r} b_{1,r} + \eta_{1,r}$

γ_{1, आर} = [\begin{matrix} Δ टी मैं ({रों}_{1}) ... Δ टी मैं ({रों}_{एस}) \end{matrix}] + [\begin{matrix} ख_{1, 1} \\ ⋮ \\ ख_{1, एस} \end{matrix}] + η_{1, आर}

$\gamma_{1,r} = \begin{bmatrix} \Delta t I(s_1) \dots \Delta t I(s_S) \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} b_{1,1}\\ \vdots \\ b_{1,S} \end{bmatrix} + \eta_{1,r}$

γ_{2, आर} = {यू}_{2, आर} ख_{2, आर} + η_{2, आर}

$\gamma_{2,r} = U_{2,r} b_{2,r} + \eta_{2,r}$

γ_{2, आर} = [\begin{matrix} Δ {टी}_{+} मैं ({रों}_{1}) ... Δ {टी}_{+} मैं ({रों}_{एस}) \end{matrix}] + [\begin{matrix} ख_{2, 1} \\ ⋮ \\ ख_{2, एस} \end{matrix}] + η_{2, आर}

$\gamma_{2,r} = \begin{bmatrix} \Delta t_+ I(s_1) \dots \Delta t_+ I(s_S) \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} b_{2,1}\\ \vdots \\ b_{2,S} \end{bmatrix} + \eta_{2,r}$

$\eta \sim \mathcal{N}(0,\Sigma_{\eta})$ $\epsilon$ $\Sigma$ $G$

संपादित करें: अन्य क्यू / ए कि कुछ हद तक मददगार थे

यह क्यू / ए अच्छा था, लेकिन पूर्ण मैट्रिक्स के रूप में चीजों को नहीं लिखा

r mixed-model multilevel-analysis lme4-nlme

— rbatt
स्रोत

मुझे संदेह है कि इस पेपर में आपके प्रश्न का "उत्तर" है, लेकिन इसने मुझे HMM मॉडल समीकरणों के लिए एक प्राइमर के रूप में अच्छी तरह से सेवा दी है। यह भूल जाओ कि यह एसएएस में निहित है, यह मॉडल के इस वर्ग का सिर्फ एक उत्कृष्ट अवलोकन है। जूडिथ सिंगर, एसएएस प्रोक मिक्स्ड टू फिट मल्टीलेवल मॉडल्स, हायरार्चिकल मॉडल्स और इंडिविजुअल ग्रोथ मॉडल्स, जेईबीएस , विंटर 1998, वॉल्यूम का उपयोग कर रहे हैं। 24, नंबर 4, पीपी। 323-355।

— माइक हंटर

क्या आपने यहां खंड 2.3 पढ़ा है ?

— रॉबर्ट लॉन्ग

मैंने उन्हें पढ़ा है, और इस तरह के संसाधन मुझे बहुत दूर से मिले हैं। यह हो सकता है कि मुझे बस कोशिश करते रहने की ज़रूरत है, लेकिन मुझे ऐसा कोई उदाहरण नहीं मिला, जो मेरे वर्तमान दृष्टिकोण में मुझे पर्याप्त आत्मविश्वास देने के लिए पर्याप्त जटिल हो।

— rbatt

जहाँ तक मैं समझता हूँ, "नेस्टिंग" केवल lmer मॉडल में सहभागिता है। इसी सिंटैक्स के उपयोग से इस धारणा को बल मिलता है। इसलिए मेरा मानना है कि reg: spp को एक एकल

— श्रेणीगत

मैं यह भी मानूंगा कि lmer सही कॉलिनैरिटी से बचेंगे और केवल अतिरिक्त वेरिएबल के भीतर गैर-निरर्थक इंटरैक्शन शामिल करेंगे।

— दिनशुम्भा

अगर मुझे कोड ठीक से समझ में आ रहा है, तो क्यों न कुछ लिखा जाए

y_{मैं} = (α + ν_{जे [मैं]}^{(α)} + η_{क [मैं]}^{(α)}) + (β + ν_{जे [मैं]}^{(β)} + η_{क [मैं]}^{(β)}) {टी}_{मैं} + (δ + ν_{जे [मैं]}^{(δ)} + η_{क [मैं]}^{(δ)}) ({टी}_{मैं} * {जेड}_{मैं}) + ε_{मैं}

$y_{i} = \Big(\alpha + \nu_{j[i]}^{(\alpha)} + \eta_{k[i]}^{(\alpha)}\Big) + \Big(\beta + \nu_{j[i]}^{(\beta)} + \eta_{k[i]}^{(\beta)}\Big)T_{i} + \Big(\delta + \nu_{j[i]}^{(\delta)} + \eta_{k[i]}^{(\delta)}\Big)(T_{i} * Z_{i}) + \epsilon_i$ साथ में

\begin{aligned} [ν_{जे}^{(α)}, ν_{जे}^{(β)}, ν_{जे}^{(δ)}] & ~ मल्टी सामान्य (0, Σ_{ν}) \\ [η_{जे}^{(α)}, η_{जे}^{(β)}, η_{जे}^{(δ)}] & ~ मल्टी सामान्य (0, Σ_{η}) \\ ε_{मैं} & ~ साधारण (0, σ_{ε}) \end{aligned}

$\begin{aligned} \Big[\nu_{j}^{(\alpha)}, \nu_j^{(\beta)}, \nu_j^{(\delta)}\Big] &\sim \text{Multi-Normal}(\mathbf 0, \boldsymbol \Sigma_\nu) \\ \Big[\eta_{j}^{(\alpha)}, \eta_j^{(\beta)}, \eta_j^{(\delta)}\Big] &\sim \text{Multi-Normal}(\mathbf 0, \boldsymbol \Sigma_\eta)\\ \epsilon_i & \sim \text{Normal}(0, \sigma_\epsilon) \end{aligned}$ या, यदि पहला समीकरण बहुत लंबा है, तो कुछ ऐसा है

y_{मैं} = α_{जे [मैं], क [मैं]} + β_{जे [मैं], क [मैं]} {टी}_{मैं} + δ_{जे [मैं], क [मैं]} ({टी}_{मैं} * {जेड}_{मैं}) + ε_{मैं}

$y_{i} = \alpha_{j[i],k[i]} + \beta_{j[i],k[i]}T_{i} + \delta_{j[i],k[i]}(T_i * Z_i) + \epsilon_i$ तथा

\begin{aligned} α_{जे [मैं], क [मैं]} & = α + ν_{जे}^{(α)} + η_{क}^{(α)} \\ β_{जे [मैं], क [मैं]} & = β + ν_{जे}^{(β)} + η_{क}^{(β)} \\ δ_{जे [मैं], क [मैं]} & = δ + ν_{जे}^{(δ)} + η_{क}^{(δ)} \end{aligned}

$\begin{aligned} \alpha_{j[i],k[i]} &= \alpha + \nu_{j}^{(\alpha)} + \eta_{k}^{(\alpha)} \\ \beta_{j[i],k[i]}&=\beta + \nu_{j}^{(\beta)} + \eta_{k}^{(\beta)}\\ \delta_{j[i],k[i]}&=\delta + \nu_{j}^{(\delta)} + \eta_{k}^{(\delta)}\\ \end{aligned}$ ऊपर के रूप में एक ही covariance संरचना के साथ? यह डेटा की नेस्टेड संरचना के साथ-साथ किन स्तरों पर गुणांक अलग-अलग है, यह दर्शाता है।

— baruuum
स्रोत