क्या एक असतत और एक सतत यादृच्छिक चर का योग निरंतर या मिश्रित है?

यदि एक असतत है और एक सतत यादृच्छिक चर है तो हम के वितरण के बारे में क्या कह सकते हैं ? क्या यह निरंतर है या यह मिश्रित है? $X$ $Y$ $X+Y$

उत्पाद बारे में क्या ? $XY$

self-study distributions random-variable

— user666
स्रोत

जवाबों:

मान लीजिए कि डिस्ट्रिब्यूट डिस्ट्रीब्यूशन साथ मान , जहां एक काउंटेबल सेट है, और , में घनत्व और CDF साथ वैल्यू मान । $X$ $k \in K$ $(p_k)_{k \in K}$ $K$ $Y$ $\mathbb R$ $f_Y$ $F_Y$

चलो । हमारे पास जिसे द्वारा दिए गए लिए घनत्व फ़ंक्शन प्राप्त करने के लिए विभेदित किया जा सकता है। $Z = X + Y$

पी (जेड \leq z) = पी (एक्स + Y \leq z) = \underset{क \in क}{Σ} पी (Y \leq z - एक्स | एक्स = क) पी (एक्स = क) = \underset{क \in क}{Σ} {एफ}_{Y} (z - क) {पी}_{क},

$\mathbb P( Z \leq z) = \mathbb P(X + Y \leq z) = \sum_{k \in K} \mathbb P(Y \leq z - X \mid X = k) \mathbb P(X = k) = \sum_{k \in K} F_Y(z-k) p_k,$

Z

$Z$

च_{जेड} (z) = \underset{क \in क}{Σ} च_{Y} (z - क) {पी}_{क} ।

$f_Z(z) = \sum_{k \in K} f_Y(z-k) p_k.$

अब और मान लें । तब जिसे फिर से एक घनत्व फ़ंक्शन प्राप्त करने के लिए विभेदित किया जा सकता है। $R = X Y$ $p_0 = 0$

पी (आर \leq आर) = पी (एक्स Y \leq आर) = \underset{क \in क}{Σ} पी (Y \leq आर / एक्स) पी (एक्स = क) = \underset{क \in क}{Σ} {एफ}_{Y} (आर / क) {पी}_{क},

$\mathbb P(R \leq r) = \mathbb P(X Y \leq r) = \sum_{k \in K} \mathbb P(Y \leq r/X) \mathbb P(X= k) = \sum_{k \in K} F_Y(r/k) p_k,$

हालाँकि अगर , तो , जो दर्शाता है कि इस मामले में में 0 पर परमाणु है। $p_0 > 0$ $\mathbb P(X Y = 0) \geq \mathbb P(X = 0) = p_0 > 0$ $XY$

— जोरिस बिएरकेन
स्रोत

को एक असतत यादृच्छिक चर होने दें जिसमें प्रायिकता मास फ़ंक्शन , जहां एक असतत सेट (संभवतः अनगिनत अनंत) है। रैंडम वेरिएबल को निम्नलिखित प्रायिकता घनत्व फ़ंक्शन के साथ एक सतत रैंडम वैरिएबल के रूप में सोचा जा सकता है $X$ $p_X : \mathcal{X} \to [0,1]$ $\mathcal{X}$ $X$

च_{एक्स} (एक्स) = \underset{{एक्स}_{क} \in एक्स}{Σ} {पी}_{एक्स} ({एक्स}_{क}) δ (एक्स - {एक्स}_{क})

$f_X (x) = \sum_{x_k \in \mathcal{X}} p_X (x_k) \, \delta (x - x_k)$

जहां Dirac डेल्टा फ़ंक्शन है। $\delta$

यदि एक सतत यादृच्छिक चर है, तो एक संकर यादृच्छिक चर है। जैसा कि हम और की संभावना घनत्व कार्यों को जानते हैं , हम की संभावना घनत्व फ़ंक्शन की गणना कर सकते हैं । यह सोचते हैं कि और स्वतंत्र हैं, की प्रायिकता घनत्व समारोह द्वारा दिया जाता है घुमाव के प्रायिकता घनत्व कार्यों का और $Y$ $Z := X+Y$ $X$ $Y$ $Z$ $X$ $Y$ $Z$ $f_X$ $f_Y$

च_{जेड} (z) = \underset{{एक्स}_{क} \in एक्स}{Σ} {पी}_{एक्स} ({एक्स}_{क}) च_{Y} (z - {एक्स}_{क})

$f_Z (z) = \sum_{x_k \in \mathcal{X}} p_X (x_k) \, f_Y (z - x_k)$

— रोड्रिगो डी अजेवेडो
स्रोत

क्यों होता है पतन?

— रॉड्रिगो डे अजेवेदो

हाँ, मैं नीचे के बारे में भी उत्सुक हूँ

— यार डॉन

@ यायर मैंने इसे अस्वीकार नहीं किया है, लेकिन यह एक भ्रामक और अपूर्ण उत्तर की तरह दिखता है। बस डिराक डेल्टा के संदर्भ में एक वितरण लिखना यह निरंतर नहीं बनाता है! यह उत्तर भी उसी में सीमित है (ए) यह सामान्य असतत वितरण पर विचार नहीं करता है, जिसमें परमाणुओं की गणना करने योग्य अनंतता हो सकती है और (बी) यह स्पष्ट रूप से मानता है कि और स्वतंत्र हैं।

X

$X$

Y

$Y$

— whuber

@ जब मैं सहमत हूं (बी)। हालांकि, यह कहा जाता है कि एक असतत आरवी "के रूप में सोचा जा सकता है ...", इसलिए मुझे लगता है कि यह एक दिलचस्प दृष्टिकोण जोड़ता है।

— यर दून

यही कारण है कि मैंने लिखा है कि आपका उत्तर भ्रामक है। क्योंकि सवाल असतत और निरंतर वितरण के बीच के अंतर की चिंता करता है - और यह अंतर गणितीय परिभाषा का विषय है, "स्वाद" नहीं - दोनों को भ्रमित करने के आपके प्रयास सहायक से कम होने की संभावना है।

— whuber

यह उत्तर मानता है कि और स्वतंत्र हैं। यहाँ एक समाधान है जिसे उस धारणा की आवश्यकता नहीं है। $X$ $Y$

संपादित करें: मैं मान रहा हूं कि "निरंतर" का अर्थ है "एक पीडीएफ होना।" यदि निरंतर के बजाय परमाणु रहित होने का इरादा है, तो प्रमाण समान है; सीधे शब्दों में "सिंगलबेल सेट" के साथ "लेब्सगेग नल सेट" को प्रतिस्थापित करें।

$X$ $\{x_1,x_2,x_3\dots\}$

$Z$ $P(Z\in E)=0$ $E$

$\square$

$X+Y$ $E$

पी (एक्स + Y \in इ) = \underset{क}{Σ} पी ({Y + {एक्स}_{क} \in इ} \cap {एक्स = {एक्स}_{क}}) \leq \underset{क}{Σ} पी (Y + {एक्स}_{क} \in इ)

$P(X+Y\in E)=\sum_k P(\{Y+x_k\in E\}\cap \{X=x_k\})\le \sum_k P(Y+x_k\in E)$

Y + x_{k} \in E

$Y+x_k\in E$

Y \in E - x_{k}

$Y\in E-x_k$

E - x_{k}

$E-x_k$

Y

$Y$

P (Y + x_{k} \in E) = 0

$P(Y+x_k\in E)=0$

X + Y

$X+Y$

$P(X=0)=0$ $P(X=0)=1$ $XY$ $P(XY=0)=1$ $XY$

— माइक बयाना
स्रोत