N iid सामान्य चर के अधिकतम अनुपात का अपेक्षित मूल्य

मान लीजिए $X_1,...,X_n$ से आईआईडी रहे $N(\mu,\sigma^2)$ और जाने $X_{(i)}$ निरूपित $i$ 'से वां सबसे छोटा तत्व $X_1,...,X_n$ । में लगातार दो तत्वों के बीच अनुपात की अपेक्षित अधिकतम सीमा को ऊपरी करने में सक्षम व्यक्ति कैसे होगा $X_{(i)}$ ? अर्थात्, आप एक ऊपरी आधार की गणना कैसे कर सकते हैं:

E [max_{i = 1, . . ., n - 1} (\frac{X_{(i + 1)}}{X_{(i)}})]

$E\left[\max\limits_{i=1,...,n-1}\left(\frac{X_{(i+1)}}{X_{(i)}}\right)\right]$

जो साहित्य मुझे मिल गया है, वह ज्यादातर दो यादृच्छिक चर के बीच के अनुपात पर केंद्रित है, जिसके परिणामस्वरूप अनुपात वितरण होता है, जिसके लिए दो असंबद्ध सामान्य वितरण के लिए पीडीएफ यहां दिया गया है: https://en.wikipedia.org/wiki/ Ratio_distribution # Gaussian_ratio_distribution । हालांकि यह मुझे $n$ चरों के अपेक्षित औसत अनुपात को ऊपरी तौर पर सक्षम करने में सक्षम होगा, मैं यह नहीं देख सकता कि इस अवधारणा को सामान्य रूप से $n$ चरों के अधिकतम अनुपात का पता लगाने के लिए कैसे सामान्य किया जाए ।

— मैक्स
स्रोत

जैसा कि व्हूबर ने नीचे उल्लेख किया है, दो लगातार ऑर्डर आँकड़ों के अनुपात की उम्मीद नहीं है। लेकिन अगर ऐसा किया है, या यदि आप उनके अंतर में रुचि रखते हैं, तो ... समस्या वास्तव में दो बड़े ऑर्डर आँकड़ों के अनुपात (या अंतर, जैसा भी मामला हो) को खोजने के लिए सरल हो सकती है अर्थात ... केवल सामान्य पूंछ के आकार से।

E [max_{i = 1, . . ., n - 1} (X_{(i + 1)} - X_{(i)})]

$E\left[\max\limits_{i=1,...,n-1}\left(X_{(i+1)} - X_{(i)} \right)\right]$

E [X_{(n)} - X_{(n - 1)}]

$E[X_{(n)} -X_{(n-1)}]$

— भेड़िये जू

उम्मीद अपरिभाषित है।

निम्नलिखित संपत्ति के साथ किसी भी वितरण अनुसार को iid होने दें : एक सकारात्मक संख्या और एक सकारात्मक मौजूद है जैसे कि $X_i$ $F$ $h$ $\epsilon$

\begin{matrix} (1) & F (x) - F (0) \geq h x \end{matrix}

$F(x) - F(0) \ge h x\tag{1}$

सभी के लिए । यह गुण किसी भी निरंतर वितरण, इस तरह के एक सामान्य वितरण, जिसका घनत्व का सच है पर सतत और अशून्य है के लिए, तो हमें करने की इजाजत दी, के लिए ले के बीच कोई निश्चित मान और । $0 \lt x \lt \epsilon$ $f$ $0$ $F(x) - F(0) = f(0)x + o(x)$ $h$ $0$ $f(0)$

विश्लेषण को सरल बनाने के लिए मैं और , यह दोनों सभी सामान्य वितरणों के लिए सही हैं। ( यदि आवश्यक हो तो को rescaling द्वारा बाद में आश्वासन दिया जा सकता है। पूर्व का उपयोग केवल एक संभावना के एक साधारण कम को अनुमति देने के लिए किया जाता है।) $F(0) \gt 0$ $1-F(1) \gt 0$ $F$

मान लें कि और हमें इस अनुपात के उत्तरजीविता समारोह को कम करने दें $t \gt 1$

\begin{aligned} Pr (\frac{X_{(i + 1)}}{X_{(i)}} > t) & = Pr (X_{(i + 1)} > t X_{(i)}) \\ > Pr (X_{(i + 1)} > 1, X_{(i)} \leq 1 / t) \\ > Pr (X_{(i + 1)} > 1, 1 / t \geq X_{(i)} > 0, 0 \geq X_{(i - 1)}) . \end{aligned}

$\eqalign{ \Pr\left(\frac{X_{(i+1)}}{X_{(i)}} \gt t\right) &= \Pr(X_{(i+1)} \gt t X_{(i)}) \\ &\gt \Pr(X_{(i+1)}\gt 1,\ X_{(i)} \le 1/t) \\ &\gt \Pr(X_{(i+1)}\gt 1,\ 1/t \ge X_{(i)} \gt 0,\ 0 \ge X_{(i-1)}).}$

यही कारण है कि बाद संभावना है कि वास्तव में मौका है की से अधिक अंतराल में, ठीक एक झूठ , और शेष (यदि हो तो) nonpositive कर रहे हैं। के मामले में कि मौका दिया जाता है बहुराष्ट्रीय अभिव्यक्ति द्वारा $n-i$ $X_j$ $1$ $(0,1/t]$ $i-1$ $F$

(\binom{n}{n - i, 1, i - 1}) (1 - F (1))^{n - i} (F (1 / t) - F (0)) F (0)^{i - 1} .

$\binom{n}{n-i,1,i-1}(1-F(1))^{n-i}(F(1/t)-F(0))F(0)^{i-1}.$

जब , असमानता लिए एक निचली सीमा प्रदान करती है जो कि समानुपाती होती है , जो दिखाती है $t \gt 1/\epsilon$ $(1)$ $1/t$

अस्तित्व समारोह की , एक पूंछ के रूप में asymptotically व्यवहार कर दिया है : जो है, कुछ सकारात्मक संख्या के लिए । $S(t)$ $X_{(i+1)}/X_{(i)}$ $1/t$ $S(t) = a/t + o(1/t)$ $a$

परिभाषा के अनुसार, किसी भी रैंडम वैरिएबल की अपेक्षा इसके पॉजिटिव पार्ट की अपेक्षा होती है, साथ ही इसके नेगेटिव पार्ट की उम्मीद । उम्मीद के सकारात्मक भाग के बाद से - अगर यह मौजूद है - अस्तित्व समारोह ( से ) का अभिन्न अंग है और $\max(X,0)$ $-\max(-X,0)$ $0$ $\infty$

\int_{0}^{x} S (t) d t = \int_{0}^{x} (1 / t + o (1 / t)) d t \propto \log (x),

$\int_0^x S(t) dt = \int_0^x (1/t + o(1/t))dt\; \propto\; \log(x),$

डायवर्ज की अपेक्षा का सकारात्मक भाग । $X_{(i+1)}/X_{(i)}$

चर लागू एक ही तर्क अपेक्षा के विचलन का नकारात्मक हिस्सा दिखाता है। इस प्रकार, अनुपात की उम्मीद भी अनंत नहीं है: यह अपरिभाषित है। $-X_i$

— व्हीबर
स्रोत

+1 मैं केवल एक 'सरल' मामले की कोशिश कर रहा था , और अपेक्षाओं का मूल्यांकन करने की कोशिश की ... और एक ही निष्कर्ष पर आया: कि उम्मीद अभिन्न अभिसरण नहीं करता है। शायद ओपी इस प्रश्न को एक अलग रूप में फिर से कास्ट करेंगे, जैसे कि अनुपात के बजाय अंतर

n = 3

$n = 3$

— भेड़िये