वितरण के फूरियर रूपांतरण

सामान्य वितरण और सामान्यीकृत आर्क्सिन वितरण के अलावा कौन से वितरण अपने स्वयं के फूरियर रूपांतरण हैं ?

distributions fourier-transform

मान लीजिए कि का फूरियर रूपांतरण जहां जहाँ । व्युत्क्रम परिवर्तन $x(t)$ $X(f)$

X (f) = \int_{- \infty}^{\infty} x (t) \exp (- i 2 π f t) d t

$X(f) = \int_{-\infty}^{\infty} x(t) \exp(-i2\pi f t) \mathrm dt$

i = \sqrt{- 1}

$i = \sqrt{-1}$

x (t) = \int_{- \infty}^{\infty} X (f) \exp (i 2 π f t) d f

$x(t) = \int_{-\infty}^{\infty} X(f) \exp(i2\pi f t) \mathrm df$

फूरियर रूपांतरण के कुछ गुण इस प्रकार हैं:

का फूरियर रूपांतरण $X(t)$ $x(-f)$
यदि की एक वास्तविक मूल्य भी समारोह है , तो के वास्तविक मूल्य भी समारोह है । $x(t)$ $t$ $X(f)$ $f$

इस प्रकार, यदि की एक वास्तविक मूल्य भी समारोह है , तो फूरियर वास्तविक मूल्य भी समारोह के बदलने है $x(t)$ $t$ $X(t)$ $x(f)$

अब मान लीजिए कि एक समान संभावना घनत्व फ़ंक्शन है (ताकि सभी लिए ) अतिरिक्त संपत्ति के साथ । यह भी मान लीजिए कि अपने फूरियर को बदलने संपत्ति है कि सभी के लिए । फिर, के बाद से एक भी गैर नकारात्मक वास्तविक मूल्य का कार्य है क्षेत्र के साथ , कि है, भी गुण के साथ एक प्रायिकता घनत्व फ़ंक्शन है जो $x(t)$ $x(t) \geq 0$ $t$ $x(0) = 1$ $X(f)$ $X(f) \geq 0$ $f$

x (0) = 1 = \int_{- \infty}^{\infty} X (f) d f

$x(0) = 1 = \int_{-\infty}^{\infty} X(f) \mathrm df$

X (f)

$X(f)$

f

$f$

1

$1$

X (f)

$X(f)$

X (0) = 1

$X(0) = 1$ । ऐसे कार्यों का एक उदाहरण ओपी नील जी द्वारा उद्धृत सामान्य वितरण है। और एक अन्य उदाहरण

x_{1} (t) = \exp (- π t^{2}), X_{1} (f) = \exp (- π f^{2})

$x_1(t) = \exp(-\pi t^2), ~~ X_1(f) = \exp(-\pi f^2)$

x_{2} (t) = (1 - | t |) 1_{[- 1, 1]}, X_{2} (f) = {sinc}^{2} (f) = {\begin{cases} {(\frac{\sin (π f)}{π f})}^{2}, & f \neq 0, \\ 1, & f = 0. \end{cases}

$x_2(t) = (1 - |t|)\mathbf 1_{[-1,1]}, ~~ X_2(f) = \operatorname{sinc}^2(f) = \begin{cases}\displaystyle \left(\frac{\sin(\pi f)}{\pi f}\right)^2,&f\neq 0,\\ 1,&f=0.\end{cases}$

अब ध्यान दें कि एक मिश्रण घनत्व है जिसका फूरियर रूपांतरण जो समान मिश्रण घनत्व है। $\frac{1}{2} x_2(t) + \frac{1}{2}X_2(t)$ $\frac{1}{2} X_2(f) + \frac{1}{2}x_2(f)$

इस प्रकार, यदि एक घनत्व फ़ंक्शन है जिसका फूरियर ट्रांसफॉर्म एक घनत्व फ़ंक्शन है, तो मिश्रण घनत्व फ़ंक्शन इसका अपना फूरियर रूपांतरण है। $x(t)$ $X(f)$ $\frac{1}{2} x(t) + \frac{1}{2}X(t)$

अंत में, दो घनत्व दिए गए जो अपने स्वयं के फूरियर रूपांतरण हैं, उदाहरण के लिए और , किसी भी मिश्रण का जहाँ एक घनत्व फ़ंक्शन है जो अपने स्वयं के फूरियर रूपांतरण है। $x_1(t)$ $\frac{1}{2} x_2(t) + \frac{1}{2}X_2(t)$

α x_{1} (t) + (1 - α) [\frac{1}{2} x_{2} (t) + \frac{1}{2} X_{2} (t)]

$\alpha x_1(t) + (1-\alpha)\left[\frac{1}{2} x_2(t) + \frac{1}{2}X_2(t)\right]$

α \in [0, 1]

$\alpha \in [0,1]$

— दिलीप सरवटे
स्रोत

(+1) यह काफी चालाक है। यह ध्यान दिया जाना चाहिए कि एक मान्य ट्रांसफ़ॉर्म जोड़ी की गारंटी देने के लिए, हमें पर एक पूर्णता स्थिति की आवश्यकता है । अर्थात्, गारंटी देगा कि उल्लिखित उलटा उचित घनत्व को पुनर्प्राप्त करेगा। एक अर्थ में आप ऐसी स्थिति को बाद में नियोजित करते हैं। (मैं पहले से ही पर nonnegativity बाधा मान लिया गया है, तो यह कोई मापांक की जरूरत है।)

X (f)

$X(f)$

\int_{- \infty}^{\infty} X (f) d f < \infty

$\int_{-\infty}^\infty X(f) \,\mathrm{d}f < \infty$

X (f)

$X(f)$

— कार्डिनल