एक अवलोकन स्तरीय महालनोबिस दूरी का वितरण

Question

यदि मेरे पास एक बहुभिन्नरूपी सामान्य iid नमूना , और (जो एक महालनोबिस दूरी एक नमूना बिंदु से वेक्टर के लिए [चुकता] की तरह है मैट्रिक्स का उपयोग करते हुए भार के लिए), के वितरण क्या है के लिए (महालनोबिस दूरी नमूना covariance मैट्रिक्स ) का उपयोग कर नमूना ?घ 2 मैं ( ख , एक ) = ( एक्स मैं - ख ) ' एक - 1 ( एक्स मैं - ख ) एक $X_1, \ldots, X_n \sim N_p(\mu,\Sigma)$

$$d_i^2(b,A) = (X_i - b)' A^{-1} (X_i - b)$$ $a$$A$ ˉ एक्स$d_i^2(\bar X,S)$$\bar X$$S$

मैं एक पेपर देख रहा हूं जो यह दावा करता है कि यह , लेकिन यह स्पष्ट रूप से गलत है: वितरण लिए प्राप्त किया गया होगा (अज्ञात) जनसंख्या का मतलब वेक्टर और सहसंयोजक मैट्रिक्स। जब नमूना एनालॉग्स को प्लग इन किया जाता है, तो किसी को हॉटेलिंग वितरण, या स्केल्ड वितरण, या ऐसा कुछ प्राप्त करना चाहिए , लेकिन । मुझे न तो सटीक परिणाम मुइरहेड (2005) में मिला , न ही एंडरसन (2003) में , न ही मर्डिया, केंट और बिब्बी में (1979, 2003)$\chi^2_p$$\chi^2_p$$d_i^2(\mu,\Sigma)$$T^{\ 2}$$F(\cdot)$$\chi^2_p$। जाहिरा तौर पर, ये लोग बाहरी निदान से परेशान नहीं हुए, क्योंकि बहुभिन्नरूपी सामान्य वितरण एकदम सही है और हर बार जब एक व्यक्ति मल्टीवेरिएट डेटा एकत्र करता है: - /।

चीजें इससे अधिक जटिल हो सकती हैं। हॉटेलिंग वितरण परिणाम वेक्टर भाग और मैट्रिक्स भाग के बीच स्वतंत्रता ग्रहण करने पर आधारित है; इस तरह की स्वतंत्रता और , लेकिन यह और ।ˉ एक्स एस एक्स एक्स आई$T^{\ 2}$$\bar X$$S$$X_i$$S$

Comments

की परिभाषा में , क्या आप अभी भी X i को एक यादृच्छिक चर के रूप में देखते हैं या अब आप इसे एक निश्चित वेक्टर के रूप में मान रहे हैं? सबस्क्रिप्ट सहित उत्तरार्द्ध का सुझाव देता है, लेकिन यह थोड़ा अजीब लगता है। $d_i^2$$X_i$

— whuber

बस एक छोटी सी ऑफ-द-कफ ओर ध्यान दें, लेकिन सूचना है कि सम्मान करने के साथ सहायक है μ और Σ मैं घ 2 मैं ( ˉ एक्स$X_i - \bar{X}$$\mu$ एक निश्चित निरंतर के बराबर होता है (होना चाहिए n - पी , या इसी तरह, मुझे लगता है) लगभग निश्चित रूप से। $\sum_i d_i^2(\bar{X},S)$$n-p$

— कार्डिनल

@whuber - शायद इस बात पर जोर देने के लिए कि यह नमूने से अवलोकन का उपयोग करके गणना की जाती है, नया अवलोकन नहीं?

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@ व्हीबर, मोटे तौर पर जोमैन ने कहा कि यह संकेत करने के लिए कि यह एक अवलोकन-स्तर सांख्यिकीय है (नमूना स्तर सांख्यिकीय के विपरीत, नमूना मतलब की तरह)।

— StasK

के वितरण , एक बीटा है n / ( n - 1 ) 2 डी 2 मैं ( ˉ एक्स , एस ) ~ बी ( पी / 2 , ( एन - पी - 1 ) / 2 ) , लेकिन मैं अभी भी d 2 i ( μ , S ) के वितरण की मांग कर रहा हूं$d_i^2(\bar X,S)$$n/(n-1)^2 d_i^2(\bar X,S) \sim B(p/2, (n-p-1)/2)$$d^2_i(\mu, S)$। वितरण स्वतंत्र नहीं हैं। $d^2_i$

Answer 1

महालनोबिस डिस्टल ( वैकल्पिक लिंक ) को उजागर करके गौसियन मिक्स्चर मॉडलिंग की जाँच करें । पेज नंबर 13, दूसरा कॉलम देखें। लेखकों ने वितरण प्राप्त करने के लिए कुछ प्रमाण भी दिए। वितरण बीटा बढ़ा हुआ है। कृपया मुझे बताएं कि क्या यह आपके लिए काम नहीं कर रहा है। नहीं तो मैं कल एसएस विल्क्स की किताब में किसी भी संकेत की जांच कर सकता था।

Comments

कागज में दिया गया उत्तर है: । धन्यवाद! $\frac{n}{(n-1)^2} d_i^2(\bar X, S) \sim B(\frac{p}{2}, \frac{n-p-1}{2} )$

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Answer 2

3 प्रासंगिक वितरण हैं। जैसा कि उल्लेख किया गया है, यदि वास्तविक जनसंख्या मापदंडों का उपयोग किया जाता है तो वितरण साथ chi-squared है । यह अनुमानित मापदंडों और बड़े नमूना आकार के साथ स्पर्शोन्मुख वितरण भी है।$df=p$

एक अन्य उत्तर सबसे सामान्य स्थिति के लिए सही वितरण देता है, अनुमानित मापदंडों के साथ जब अवलोकन स्वयं अनुमान सेट का हिस्सा होता है: हालांकि, अगर अवलोकनएक्सiपैरामीटर मापदंडों से स्वतंत्र है, तो वितरण फिशर के एफ-अनुपात वितरण के लिए आनुपातिक है: (एनडी2(एन-पी

$$\frac{n(d^2)}{(n-1)^2} \sim Beta\left(\frac{p}{2}, \frac{(n-p-1)}{2}\right).$$ $x_i$ $$\left(\frac{nd^2(n-p)}{(p(n-1)(n+1)}\right) \sim F(p, n-p)$$

Comments

इस साइट पर आपका स्वागत है, @JoeSullivan। मैंने उपयोग करने की स्वतंत्रता ली$\LaTeX$पढ़ने के लिए अपने समीकरणों को आसान बनाने के लिए। कृपया सुनिश्चित करें कि वे अभी भी वही कहते हैं जो आप चाहते हैं।

— गंग - मोनिका

क्या आप F सूत्र का संदर्भ दे सकते हैं?

— पलक

एक संबंधित संदर्भ, हार्डिन, जोहान और डेविड एम। रॉके में धारा 3। 2005. "द डिस्ट्रीब्यूशन ऑफ़ रोबस्ट डिस्टेंस"। कम्प्यूटेशनल और ग्राफ़िकल स्टैटिस्टिक्स जर्नल 14 (4): 928–46। डोई: 10.1198 / 106186005X77685।

— जोसेफ