क्या आस्ट्रेलिया में कभी कोई दुखी ट्रबल होगा?

Question

यहां एक छात्र द्वारा मेरे लिए एक मनोरंजक समस्या लाई गई। यद्यपि यह मूल रूप से एक बंदूक द्वारा नियमित अंतराल पर चलाई गई गोलियों को नष्ट करने के संदर्भ में चित्रित किया गया था, मैंने सोचा कि आप एक और अधिक मनोरंजक प्रस्तुति का आनंद ले सकते हैं।

ओज की अनंत समतल दुनिया में, येलो ब्रिक रोड एमराल्ड सिटी के केंद्र में शुरू होता है, जो पूरे देश में फैला हुआ है, और बिना पार किए ही हमेशा के लिए आगे बढ़ जाता है। प्रत्येक दिन दोपहर में, एक लिस्टी युवा हेर्मैप्रोडिटिक ट्रिबल इस सड़क के साथ एक समान रूप से बेतरतीब ढंग से प्रति दिन एक किलोमीटर तक की गति से इस सड़क के साथ रोलिंग सेट करता है। अपनी पूरी यात्रा में यह एक ही गति से लुढ़कता रहेगा, कभी नहीं रुकेगा। लेकिन अगर कभी कोई ट्रिबुल सड़क पर एक दूसरे से आगे निकल जाता है, तो प्रत्येक तुरंत अपनी आत्मा को पहचान लेता है और दो तरफ से गिर जाता है (संभवतः प्रजनन के लिए और अंततः अधिक ट्राइबल्स वापस घर में आपूर्ति करता है)।

जैसा कि आप जानते हैं, इस तरह के संभोग अक्सर होते हैं, क्योंकि किसी भी दो ट्राइबल्स को समान गति से रोल करने की संभावना शून्य है। हे खुश ट्रिबल्स! लेकिन क्या जीवन उन सभी के लिए अच्छा होने की गारंटी है?

क्या मौका है कि कम से कम एक ट्रिब्बल हमेशा के लिए जारी रहे, कभी भी आगे निकल जाए या आगे निकल जाए?

Comments

क्या यह माना जाता है कि ट्रिबल्स एक विशेष समय बिंदु पर यात्रा करना शुरू कर दिया (ताकि ट्रिबेल # 1 था) और तब से हमेशा के लिए जारी रहे, और इस अनंत समय अवधि पर संभावना की गणना की जानी चाहिए?

— अमीबा का कहना है कि

@amoeba अगर आपको लगता है कि यह मानने के लिए कोई फर्क पड़ता है कि शुरुआती समय था, तो उस अंतर का विश्लेषण करना बहुत दिलचस्प होगा।

— व्हिबर

math.stackexchange.com/questions/1526292/colliding-bullets

— एलेक्स आर।

ओज में कबीले? आपके काल्पनिक ब्रह्मांड थोड़े मिश्रित प्रतीत होते हैं।

— कोडियोलॉजिस्ट

@ कोडियो दोनों ब्रह्मांड अन्य ब्रह्मांडों को जोड़ने के लिए प्रसिद्ध हैं। :-)

— व्हीबर

Answer 1

संपादित करें: मुझे लगता है कि सकारात्मक संभावना और संभावना के विचार को मिलाया गया है। यहां साबित किया गया बयान जितना मैं उम्मीद कर रहा था उससे कहीं ज्यादा कमजोर है।

सहज रूप से, उत्तर 0. यह साबित करना मुश्किल नहीं है

सकारात्मक संभावना के साथ किसी भी दिए गए ट्रिबल को अंततः एक साथी मिलता है।

लेकिन मुझे लगता है कि सकारात्मक संभावना के साथ, यह संभव नहीं हो सकता है कि ज़ेनो के विरोधाभास के अनुसार , प्रत्येक आदिवासी को अंततः एक साथी मिल जाए।

यहाँ उद्धृत कथन का प्रमाण है। सबसे पहले, आइए समस्या को इस प्रकार से सरल वैकल्पिक सूत्रीकरण के साथ बदलें। एक स्टैक है जो खाली शुरू होता है। एक कंप्यूटर क्रमिक रूप से और समान रूप से [0, 1] से क्रमबद्ध रूप से यादृच्छिक संस्करण बनाता है। हर बार एक मान निकाला जाता है, स्टैक बदलता है।

• यदि स्टैक खाली है, या स्टैक पर शीर्ष आइटम का अधिक मूल्य है, तो एक नया आइटम नए मूल्य के साथ जोड़ा जाता है। (अंतिम बुलेट की तुलना में एक बुलेट धीमी या अंतिम ट्रिबेल की तुलना में ट्रिबेबल धीमी बनाई गई है।)
• अन्यथा, शीर्ष आइटम हटा दिया जाता है। (गोलियां या ट्रिबल्स टकराते हैं।)

(इस फॉर्मूलेशन में बुलेट या ट्रिबेल की घटना को पहले वाले की तुलना में तेज़ी से शामिल नहीं किया जाता है, लेकिन फिर इसे पहले वाले को हिट करने से पहले नष्ट कर दिया जाता है, लेकिन इस तरह की घटना स्टैक को छोड़ देती है, इसलिए इसका कोई परिणाम नहीं होता है।)

$1$$I_0$$v_0$$k$$I_0$$v_1,\; v_2,\; …,\; v_k$$v_k$$k + 1$$(v_k, 1)$$(v_{k-1}, 1)$$(v_0, 1)$$I_0$$(1 - v_k)(1 - v_{k-1})\cdots(1 - v_0)$