एक यादृच्छिक माप पर एकीकृत करने का क्या मतलब है?

Question

मैं वर्तमान में डिरिचलेट प्रोसेस रैंडम इफेक्ट्स मॉडल का एक पेपर देख रहा हूं और मॉडल विनिर्देश निम्नानुसार है:

$$\begin{align*}y_{i} &= X_{i}\beta + \psi_{i} + \epsilon_{i}\\ \psi_{i} &\sim G \\ G &\sim \mathcal{DP}\left(\alpha, G_{0}\right) \end{align*}$$ कहाँ पे $\alpha$स्केल पैरामीटर है और आधार उपाय है। बाद में कागज पर, यह सुझाव देता है कि हम आधार माप पर एक फ़ंक्शन को एकीकृत करते हैं जैसे कि क्या Dirichlet प्रक्रिया में आधार उपाय एक cdf है या यह एक pdf है? यदि आधार उपाय एक गाऊसी है तो क्या होगा?$G_{0}$$G_{0}$ $$\int f\left(y_{j}|\theta, \psi_{j}\right)\, dG_{0}\left(\psi_{j}\right).$$

Answer 1

द्वारा निरूपित करें $\mathcal{M}$डिस्किलेट प्रक्रिया की वास्तविकताओं से युक्त प्रायिकता के उपायों का एक औसत दर्जे का स्थान। यादृच्छिक संभावना उपाय$G$ एक औसत दर्जे का कार्य है

$$G : \omega \mapsto G_\omega \in \mathcal{M}$$ और सम्मान के साथ अभिन्न $G$ यादृच्छिक चर है $$\int f(\,\cdot\,|\, \psi) dG(\psi) : \omega \mapsto \int f(\,\cdot\,|\,\psi) dG_\omega(\psi).$$ इस प्रकार $\int f(\,\cdot\,|\, \psi) dG(\psi)$अपने आप में एक यादृच्छिक pdf (यदि है)$f(\cdot| \psi)$ एक पीडीएफ है)।

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विचार यह है कि $\psi_i$ कुछ अज्ञात वितरण का अनुसरण करता है $G$। कुछ मामलों में, आपके पास ऐसा मानने के कारण हो सकते हैं$\psi_i$सामान्य रूप से वितरित किया जाता है और फिर माध्य और विचरण पर पूर्व रखा जाता है। अन्य मामलों में, आप ऐसी पैरामीट्रिक धारणाएँ नहीं बनाना चाहते हैं। उदाहरण के लिए, आपके मॉडल में, पूर्व पर$G$ एक Dirichlet प्रक्रिया है।

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क्या Dirichlet प्रक्रिया में आधार उपाय एक cdf है या यह एक pdf है?

आधार उपाय किसी भी प्रायिकता उपाय है, आमतौर पर पूर्ण समर्थन के लिए लिया जाता है। कुछ मामलों में, यह एक संभाव्यता घनत्व फ़ंक्शन द्वारा दर्शाया जा सकता है। यह बहुत महत्वपूर्ण नहीं है।